МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

« ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ »

ПОДШИВАЛОВ В. П.

КУРС ЛЕКЦИЙ

по

ВЫСШЕЙ ГЕОДЕЗИИ

( РАЗДЕЛ «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ» )

Для студентов 4 – 5 курсов специальности « Геодезия »

Новополоцк

2007

УДК 528. 23

Курс лекций ведется на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета для студентов специальности «Геодезия». В настоящем издании приводится авторский курс, отработанный за годы его преподавания студентам.

Содержание курса соответствует программе изучения дисциплины «Высшая геодезия» для студентов 4 курса очной и 5 курса заочной форм обучения специальности «Геодезия».

Может быть полезен магистрантам и аспирантам для подготовки к сдаче вступительных и кандидатского экзаменов, а также специалистам, занимающимся вопросами формирования и модернизации координатных геодезических систем общегосударственного назначения, решением задач редуцирования измерений на поверхность земного эллипсоида.

Рассмотрен и одобрен учебно-методической комиссией геодезического факультета.

Рецензенты:

Кафедра геодезии и фотограмметрии Учреждения образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия», г. Горки;

Докт. техн. наук профессор - профессор кафедры прикладной геодезии и фотограмметрии Учреждения образования «Полоцкий государственный университет».

СОДЕРЖАНИЕ

1.  ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ4

2.  ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

2.1. Общие сведения о потенциале силы тяжести. . 5

2.2. Нормальный и возмущающий потенциал силы тяжести . 7

3.  УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНЫХ ЛИНИЙ 11

3.1. Общие сведения. . 11

3.2. Астрономо-геодезический вывод уклонений отвеса

3.3. Уравнение Лапласа для геодезических азимутов

3.4. Гравиметрические уклонения отвеса. 16

3.5. Астрономо-гравиметрические уклонения отвеса

3.6. Топографические и топографо-изостатические уклонения отвеса

4.  СИСТЕМЫ ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫСОТ21

4.1. Общие сведения. 21

4.2. Приближенные высоты

4.3 Ортометрические высоты. . 24

4.4. Нормальные высоты

4.5. Динамические высоты

4.6. Нивелирование квазигеоида27

5.  РЕДУКЦИОННАЯ ПРОБЛЕМА. 30

5.1. Сущность редукционной проблемы и пути ее решения . 30

5.2. Редукция базисных измерений

5.3. Редуцирование свето и радиодальномерных расстояний. 34

5.4. Редуцирование горизонтальных направлений. 36

6.  МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ. . . 40

6.1. Общие сведения о методах градусных измерений

6.2. Уравнения градусных измерений по меридиану

6.3. Уравнение градусных измерений по параллели. 47

6.4. Уравнения градусных измерений по методу площадей . . 49

6.5. Исходные геодезические даты и методы их установления 4

7.  УРАВНИВАНИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 56

7.1. Постановка задачи и пути ее решения

7.2. Полигональное уравнивание сети 1 класса

7.3. Современное уравнивание астрономо-геодезической сети 1 – 2 классов

8.  МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ СВЯЗИ СИСТЕМ КООРДИНАТ63

8.1. Референцные системы координат СК – 42 и СК –

8.2. Общеземные системы координат ПЗ 90 и WGS –

8.3. Параметры связи систем координат. . 65

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 67

1. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ.

Теоретическая геодезия является завершающей частью курса « Высшая геодезия », ее основной задачей является определение формы и размеров Земли как физического и геометрического тела на основе законов механики и результатов измерений, выполненных на поверхности Земли и в околоземном пространстве.

В сфероидической геодезии мы рассмотрели методы решения задач на поверхности земного эллипсоида, параметры которого принимались известными. В теоретической геодезии рассматриваются методы определения этих параметров, определение физической модели Земли – геоида, а также изучаются методы определения отступлений физических и геометрических характеристик земного эллипсоида и геоида. Физической характеристикой этих отступлений служит аномалия силы тяжести, а геометрическими – уклонения отвеса и аномалии высот.

В теоретической геодезии изучаются основы создания системы геопотенциальных высот точек земной поверхности и методы их вычисления по результатам измерений, когда речь идет о высокоточной передаче высот на большие расстояния.

Рассматривается проблема редуцирования измерений с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида, которая в геодезии является координатной или поверхностью относимости.

Определение параметров земного эллипсоида и ориентирование его поверхности в теле Земли рассматривается как традиционными методами, основанными на астрономо-геодезических и гравиметрических измерениях, так и на основе современных методов, основанных на спутниковых системах позиционирования. Вводится понятие исходных геодезических дат для геодезической основы государства и методы их установления. Рассматриваются вопросы установления государственных геодезических систем координат как классическими, так и современными способами.

Поскольку в качестве основы для решения задач геодезии вообще и теоретической геодезии в частности является государственная астрономо-геодезическая сеть первого класса, рассмотриваются также методы уравнивания этой сети в историческом аспекте, также рассматриваются вопросы совместного уравнивания сплошной сети первого-второго классов в современных условиях.

С развитием измерительных технологий на основе современных достижений науки и техники реализованы новые возможности установления систем координат. Так на смену референцной системе координат СК – 42 приходят современные общеземные системы координат WGS – 84 ( США ) и ПЗ – 90 ( РФ ), рекомендованные для целей навигации и решения общепланетарных задач, а также референцные СК – 95 и другие, рекомендованные для целей геодезии, картографии и топографии в масштабах государства, а также для решения задач геодезического обеспечения ГИС-технологий. В теоретической геодезии рассматриваются вопросы установления параметров преобразования различных систем координат, а также методы установления их взаимосвязи.

2. ОСНОВЫ ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

2. 1. Общие сведения о потенциале силы тяжести

Сила F взаимного притяжения двух точечных масс M и m , удаленных друг от друга на расстояние r, определяется законом всемирного тяготения Ньютона

, (

где f – гравитационная постоянная, определяющая силу притяжения двух точечных единичных масс на единичном расстоянии в принятой системе мер. Если речь идет о земном притяжении, тогда, для массы Земли ( учитывая массу ее атмосфе-ры ) M, сосредоточенной в ее центре, имеют геоцентрическую гравитационную постоянную Земли, определяемую произведением fM .

Если расстояние между двумя точками увеличится на бесконечно малую величину dr, то будет совершена элементарная работа

,

равная потере потенциальной энергии

dA = - dV.

Отсюда потенциальная энергия притяжения двух точечных масс определится выражением

(

Если взять единичную массу m = 1, то пользуются скалярной функцией

,

которую называют потенциалом массы М или потенциальной функцией. Потенциал точки равен работе, затраченной гравитационной силой на перемещение единичной массы из бесконечности в данную точку. Для подтверждения этого утверждения принтегрируем уравнение (для двух точек Q0 до Q, находящихся на конечном расстоянии. Работа по перемещению единичной массы из одной точки в другую определится разностью их потенциалов

Если одна из точек Q0 находится на бесконечном удалении, ее потенциал равен нулю V(Q0) = 0.

Согласно второму закону механики сила F связана с ускорением g уравнением

, (

где получено уравнение связи потенциала силы притяжения и ускорения.

Потенциальная функция V в пространстве массы М задает поле гравитационных ускорений, разложенных по осям геоцентрической системы пространственных координат OXYZ, определяемое уравнениями

(

При этом модуль вектора ускорения силы притяжения имеет выражение

При вычислении потенциала силы притяжения реальной массы, определенным образом распределенной внутри какого-либо тела, используют свойство суперпозиции отдельных точечных масс dmi ( i = 1, 2, 3, …, n ). В случае, когда общая притягивающая масса М объемного тела образуется суммой элементарных масс dm, ее потенциал равен сумме потенциалов элементарных масс и определяется интегральным уравнением

В геодезии имеют дело с потенциалом Земли. В этом случае необходимо учесть две особенности, во-первых, ее масса и размеры определяются из материалов астрономических, гравиметрических и геодезических измерений, во-вторых, Земля обращается вокруг своей оси, следовательно, на материальные точки действует сила тяжести, равная сумме силы притяжения и центробежной силы.

Таким образом, потенциал силы тяжести W равен сумме потенциала силы притяжения V и потенциала центобежной силы U/.

W = V + U/ (

Потенциал центробежной силы определяется суточным вращением Земли. Пусть радиус Земли равен R, а геоцентрические пространственные координаты точки определяются известными уравнениями

Найдем производные от координат по времени Для чего принимаем во внимание то, что с изменением времени изменяется только долгота L, отсчитанная от некоторого начала в пространстве.

Здесь - угловая скорость суточного вращения Земли. Производные выражают скорость изменения пространственных координат. Вторые производные от выражений (будут выражать соответствующие составляющие ускорения центробежной силы

(

Потенциал центробежной силы имеет известное выражение

(

Следовательно, потенциал силы тяжести Земли согласно формуле (будет иметь выражение

Поверхности, в каждой точке которых потенциал постоянен, называются изопотенциальными или уровенными поверхностями. Эти поверхности не пересекаются друг с другом и не касаются друг друга. Работа по перемещению точечной массы по уровенной поверхности равна нулю. Линии, касательные к которым являются нормалями к уровенным поверхностям ( векторами силы тяжести ), называются силовыми линиями гравитационного поля.

Уровенные поверхности, проходящие внутри Земли на разном удалении от ее центра, имеют различную форму и непараллельны друг другу потому, что распределение плотностей материи внутри Земли неоднородно. В геодезии выделяют одну из уровенных поверхностей, которая проходит через точку, служащую началом счета высот. Обычно эта точка совпадает со средним уровнем воды в море, прилегающем к территории государства. Эта поверхность является физической моделью Земли и называется геоидом при условии равенства ее массы всей массе Земли ( вместе с массой атмосферы ). Поверхность геоида совпадает с невозмущенным средним уровнем Мирового океана, а под материками проходит ортогонально силовым линиям гравитационного поля Земли.

Следует иметь в виду, что уровень Мирового океана подвержен колебаниям, вызванными различными внешними воздействиями ( лунно-солнечное притяжение, температурные колебания и др. ). В связи с этим поверхность геоида не может совпадать с реальной фигурой водной оболочки. Полезно отметить, что в зоне Панамского канала, соединяющего бассейны Тихого и Индийского океанов, отмечена разность уровней их водной поверхности, составляющая 0. 6 м. Уровень Черного моря ниже на 0. 7 м нуль-пункта Кронштадского футштока.

2. 2. Нормальный и возмущающий потенциал силы тяжести.

Аномалии силы тяжести

Изучение формы и размеров Земли требует изучения ее гравитационного поля, которое характеризуется потенциалом силы тяжести. Эта задача решается на основе измерений, выполненных в реальных условиях. Как видно из выражения (потенциал силы тяжести определяется двумя составляющими: потенциалом притяжения V и потенциалом центробежной силы U/. Вторая составляющая существенно меньше первой и может быть получена без затруднений, так как скорость суточного вращения Земли определена из астрономических измерений, а координаты точек известны. Гораздо сложнее определяется первая составляющая, определяющая потенциал притяжения Земли. Здесь необходимо знать детальное распределение плотностей внутри Земли, их реальными данными мы не располагаем. В связи с этим выражение (не может служить для решения задачи определения потенциала силы тяжести без привлечения каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли.

Из потенциала силы притяжения V можно выделить некоторую модельную часть. При условии выбора хорошей модели Земли эта часть будет составлять основную часть потенциала силы притяжения. Ее называют нормальным потенциалом и обозначают U, тогда можем записать для потенциала силы тяжести Земли

W = U + T , (

где величину Т назвыают возмущающим потенциалом.

За нормальный потенциал U принимают потенциал эллипсоида вращения с известными геометрическими параметрами, имеющего массу и угловую скорость, равные массе и угловой скорости реальной Земли. Такой эллипсоид называют Нормальной Землей. Здесь возникает проблема, как быть с внутренним распределением плотностей внутри Нормальной Земли для определения нормального потенциала или потенциала нормальной силы тяжести. Эту проблему впервые решил английский ученый Стокс, который в 1849 году доказал теорему, согласно которой потенциал силы тяжести любого тела может быть определен из вычислений однозначно как на его поверхности, так и во внешнем пространстве, если известны его внешняя уровенная поверхность, а также масса и угловая скорость вращения тела вокруг неизменной оси, независимо от распределения плотностей внутри этого тела. Если форма поверхности сложная, например, поверхность геоида, то вычисление потенциала в конечном виде проблемотично. Если же поверхность простая, как сфера или эллипсоид, то задача решается по замкнутым формулам.

Таким образом мы видим, что для Нормальной Земли потенциал может быть вычислен. Здесь отметим, что потенциал центробежной силы также вычисляется без проблем, поэтому на основе теоремы Стокса достаточно вычислять потенциал силы притяжения Нормальной Земли.

Для эллипсоида вращения итальянским ученым Сомильяно в 1929 году получено строгое уравнение для вычисления ускорения нормальной силы тяжести в точке с широтой В на его поверхности ( Н = 0 )

, (

где gВ, g0, g90 – значения ускорения нормальной силы тяжести в некоторой точке с широтой В, а также на экваторе и полюсе. Последние два значения постоянны и определяются при установлении параметров Нормальной Земли. Для удобства вычислений вручную раньше формулу (преобразовывали путем разложения в ряд, принимая обозначения:

полярное сжатие - a = ( a – b )/a ;

коэффициент - b = ( g90 - g0 ) / g0 .

Используя различные геометрические и физические параметры Нормальной Земли по мере их уточнения, получают различные уравнения в виде разложений в ряды. Так в 1908 году немецкий ученый Гельмерт получил формулу для размеров и формы эллипсоида Бесселя и массы Земли, вычисленной на основе измерений ускорения силы тяжести, выполненных на 1603 пунктах.

(

Известны также формулы Кассиниса ( 1930 г ), Жонголовича ( 1952 г ), Грушинского ( 1962 г ) и др.

При современной вычислительной технике представление (в виде (неактуально. Вместе с тем традиционная форма представления уравнения (имеет место. Например, в системе координат ПЗ – 90, полученной российскими учеными по результатам современных данных на эпоху 1990 г, это уравнение предлагается в виде

(

Необходимо заметить, что при поверхности Нормальной Земли в форме эллипсоида вращения с параметрами a и b на различном удалении от нее форма изопотенциальных поверхностей силы тяжести меняется. Это понятно из того, что по мере удаления от поверхности земного эллипсоида центробежная сила возрастает, а сила притяжения уменьшается.

Величина возмущающего потенциала, как было отмечено, зависит от того, насколько Нормальная Земля отличается от реальной ( геоида ). Из определения нормального потенциала видно, что возмущающий потенциал обусловлен только несовпадением поверхностей геоида и земного эллипсоида. На поверхности Земли значения реальных ускорений силы тяжести g могут быть получены из гравиметрических измерений. Следовательно для каждого геодезического пункта, широта которого известна, может быть вычислено ускорение нормальной силы тяжести и измерено ускорение реальной силы тяжести, а также получены их разности Dg, которые называют аномалией силы тяжести

Dg = g - g. (

Здесь возникает вопрос, заключающийся в том, что значение g измерено на реальной поверхности Земли ( Н ¹ 0 ), а значение g вычислено на поверхности эллипсоида ( Н = 0 ). Необходимо редуцировать ускорение нормальной силы тяжести на некоторую высоту Н по нормали n к поверхности эллипсоида. В этом случае применяем разложение по формуле Тейлора

(

здесь частная производная называется вертикальным градиентом силы тяжести. Высоты точек земной поверхности малы по сравнению с радиусом Земли, поэтому в разложении (для решения многих задач достаточно ограничиться только первым членом разложения, более того, при вычислении производной можно пренебречь сжатием Земли. Тогда будем иметь

С учетом этого формула (принимает вид

(

Мы показали принцип определения аномалии силы тяжести, которые характеризуют несовпадения реального и нормального гравитационных полей. Также важной характеристикой этого несовпадения является возмущающий потенциал, значение которого необходимо знать для решения самых различных задач геодезии. Мы получили связь потенциала силы тяжести с ускорением (Следовательно и возмущающий потенциал аналогично связан с аномалией силы тяжести ( разностью ускорений ). Проблемы с установлением аналитической зависимости между этими величинами обусловлены тем, что, вообще говоря, не существует аналитического выражения аномалии силы тяжести. Здесь можно предложить некоторую модель, в той или иной степени приближающуюся к реальности. Решение задачи упрощается за счет того, что аномалии силы тяжести при достаточно хорошей модели Земли имеют малые величины.

Наиболее известна модель для вычисления возмущающего потенциала некоторой сферической области s, предложенная Стоксом

где y - сферическое расстояние от данной точки до текущей точки поверхности;

R – радиус сферы, принятый равным средему радиусу кривизны Земли;

S ( y ) – функция Стокса, имеющая выражение

Для практического применения в формуле Стокса (удобнее перейти от интегрирования по поверхности s к интегрированию по сферическим расстоянию y и азимуту А. Элемент сферической поверхности при этом имеет известное выражение

ds = R2sinydydA

и уравнение Стокса принимает вид

(

3.  УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНЫХ ЛИНИЙ

3. 1. Общие сведения

Несовпадение поверхностей геоида и эллипсоида, принятого в качестве координатной, обусловлено аномалиями силы тяжести. В каждой точке вектор нормальной силы тяжести n не равен вектору реальной силы тяжести o. Разность их модулей характеризует возмущающий потенциал силы тяжести, а разность их направлений определяет угол u, образованный отвесной линией и нормалью к поверхности эллипсоида, который называют уклонением отвеса. Таким образом видим из рисунка 3. 1, что уклонения отвеса характеризуют непараллельность отсчетной уровенной поверхности ( геоида ) и поверхности эллипсоида. Как известно, в геодезии применяют как общеземные, так и референцные системы координат. Принято считать уклонения отвеса, отсчитанные от нормалей к поверхности общего земного эллипсоида, абсолютными, а от нормалей к поверхности референц-эллипсоида – относительными.

Рис. 3. 1

Как правило, государственные геодезические сети определяются в референцных системах координат относительно принятых исходных геодезических дат. Из астрономических измерений на пунктах Лапласа получают астрономические координаты. На этих пунктах определяют астрономо-геодезические уклонения отвеса, которые являются относительными. Такой метод определения уклонений отвесных линий называют геометрическим.

Уклонения отвеса являются геометрическими характеристиками отступлений поверхностей геоида и эллипсоида и характеризуют их непараллельность. Как видим из рисунка они связаны с векторами реальной и нормальной силы тяжести, следовательно, уклонения отвеса должны иметь аналитическую связь с аномалиями силы тяжести. Определение уклонений отвеса по аномалиям силы тяжести носит название гравиметрического и относится к физическому методу.

Как будет показано далее, как астрономо-геодезический, так и гравиметрический методы определения уклонений отвеса имеют свои достоинства и недостатки. Поэтому на практике применяется, в основном, астрономо-гравиметрический метод вывода уклонений отвеса. В этом методе сведены к минимуму недостатки обоих методов и объеденены их достоинства.

В высшей геодезии уклонения отвеса играют важную роль:

-  удобные и наглядные геометрические характеристики отступлений реального и нормального гравитационных полей, используются для изучения фигуры Земли ( геоида );

-  используются для решения задачи редуцирования измерений, выполненных на физической поверхности Земли, на поверхность земного эллипсоида, на которой определена система координат;

Уклонение отвеса u называется полным уклонением отвеса. Этот угол лежит в некоторой плоскости, образующей с плоскостью меридиана некоторый угол q, называемый азимутом полного уклонения отвеса. Для удобства решения научных и практических задач высшей геодезии полное уклонение отвеса в данной точке разлагают на две составляющие – в плоскости меридиана x и плоскости первого вертикала h. Также определяют составляющую уклонения отвеса в заданном направлении.

Существуют простые зависимости между полным уклонением отвеса и его составляющими

(

3. 2. Астрономо-геодезический вывод уклонений отвеса

Пусть на физической поверхности Земли ( рис.имеется некоторая точка Т, кроме того, для простоты предположим, что через эту точку проходит поверхность референц – эллипсоида ( геодезическая высота точки равна нулю ). Если точка Т является центром астрономо-геодезического пункта Лапласа, то для нее известными являются астрономические широта j, долгота l и азимут am направления, полученные из астрономических наблюдений, а также геодезические широта В, долгота L, и азимут Аm направления.

Рис. 3. 2.

На рисунке 3. 2 имеем сферу единичного радиуса с центром в точке Т, кроме того: Р – полюс мира, TP – прямая, параллельная оси вращения Земли; Z – геодезический зенит точки Т, ZT – нормаль к поверхности эллипсоида; Z/ - астрономический зенит, TZ/ - отвесная линия; ZP = 90 – B – дуга круга единичного радиуса, равная дополнению до 900 геодезической широты В; Z/P = 90 – j – дуга круга единичного радиуса, равная дополнению до 900 астрономической широты j ; ZZ/ = u - полное уклонение отвеса; Z/c – дуга первого вертикала, образующая прямой угол с геодезическим меридианом PZ в точке с; PZ/ - астрономический меридиан точки Т; дуги Zc = x и Z/c = h - составляющие уклонения отвеса в меридиане и первом вертикале соответственно; q - геодезический азимут полного уклонения отвеса; q/ - астрономический азимут полного уклонения отвеса; Tm – направление на местный предмет, Am и am – его геодезический и астрономический азимуты; l - L – угол, образованный астрономическим и геодезическим меридианами, равный разности астрономической и геодезической долготы точки Т; Zm = Z и Z/m = z – дуги единичного круга, соответственно равные геодезическому и измеренному зенитным расстояниям на предмет m .

Для решения задачи определения астрономо-геодезического уклонения отвеса рассмотрим на рис.прямоугольный сферический треугольник PcZ/, в котором угол при вершине с прямой, катеты Pc = 90 – B - x , Z1c = h, а гипотенуза PZ/ = 90 - j . Применяя аналогии Непера для решения прямоугольных сферических треугольников ( косинус любого элемента прямоугольного сферического треугольника равен произведению котангенсов смежных с ним элементов, или произведению синусов несмежных с ним элементов, при этом значения катетов берется как дополнение до 900, а прямой угол не считается элементом ), имеем

(

При хорошо ориентированном референц-эллипсоиде относительно геоида полное уклонение отвеса, его составляющие, а также разность астрономических и геодезических долгот в любой точке будут малыми величинами. В уравнениях (можем разложить тригонометрические функции малых аргументов в ряд Маклорена, ограничиваясь только первыми членами разложений, в результате получим с необходимой точностью

(

Как видим, для определения астрономо-геодезических уклонений отвеса в каждом пункте необходимо иметь как астрономические, так и геодезические широты и долготы. В соответствии со схемой построения государственной геодезической сети это имеет место только на пунктах Лапласа. Точность астрономо-геодезических уклонений отвеса соответствует точности определения астрономических долгот и широт. Если они определены по программе астрономических наблюдений первого класса, то это составляет величину в 0. 3//.

Для решения задачи редуцирования измерений на поверхность эллипсоида необходимо знать составляющую полного уклонения отвеса uА в заданном направлении. Для решения этой задачи спроектируем дугу ZZ1 на дугу Zm, получим прямоугольный треугольник, который по малости можно считать плоским. Один из катетов его ( на дуге Zm ) равен искомой величине uА, которая выражается уравнением

С учетом выражений (получаем

(

На практике центры M геодезических пунктов не лежат на поверхности эллипсоида, а расположены на некоторой высоте H. В связи с этим возникает задача редуцирования уклонений отвеса с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида. При этом следует иметь в виду, что силовая линия гравитационного поля Земли имеет кривизну, обусловленную неравномерным распределением плотностей горных пород в земной коре. Это видно из рисункаОна лежит в плоскости меридиана, следовательно, ее кривизна не влияет на составляющую уклонения отвеса в плоскости первого вертикала.

Рис. 3. 3

На рисункепоказана отвесная линия Mn, проведенная в точке М, и силовая линия гравитационного поля – дуга Mn, которая ортогональна изопотенциальным поверхностям, проходящим на любом удалении от поверхности эллипсоида, Wm = const, W0 = const и т. д. Здесь видно, что направление отвеса на поверхности эллипсоида ( касательная к силовой линии ) непараллельно направлению отвеса в точке М. Это значит, что астрономическая широта j , измеренная в точке М, не будет равна широте ее проекции на поверхности эллипсоида. Их разность определяется уравнением

.

Таким образом, окончательные формулы для вычисления астрономо-геодезических уклонений отвеса принимают вид

(

Как видно из формул (, поправка на один километр высоты в составляющую уклонения отвеса в плоскости меридиана на широте В = 450 равна - 0. 171//.

3. 3. Уравнение Лапласа для вычисления геодезических азимутов

Если обратиться к рисунку 3. 2 , видны следующие уравнения

(

Из треугольника ZZ/ P, в котором угол при вершине Z/ равен 180 - q, можем записать по теореме косинуса угла сферической тригонометрии

.

Учитывая то, что при хорошо ориентированном референц-эллипсоиде величина ( l -L ) малая и можно учитывать в разложении в ряд по формуле Маклорена тригонометрических функций только первые члены разложений, как и при выводе составляющих уклонения отвеса, а также полагая sinB = sinj, получаем

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5