Курс лекций по высшей геодезии (стр. 2 )

Далее вычисляют поправки ( разности ) точных астрономо-геодезических и приближенных грвиметрических уклонений отвеса, приходящиеся на один километр длины данного звена.

.

Поправки к приближенным значениям уклонений отвеса на пунктах звена получают по формулам линейного интерполирования

; (

где Si – расстояние от пункта А до текущего пункта звена.

Точные астрономо-гравиметрические уклонения отвеса для всех пунктов первоклассного звена получают по формулам

( I = 1, 2, 3, … n ) (

Анализ уклонений отвеса, полученных таким образом на пунктах государственной геодезической сети СССР, показывает их точность, не ниже астрономо-геодезических уклонений отвеса. Здесь возникает вопрос о том, что звено может располагаться в аномальном районе ( что можно увидеть из материалов местной гравиметрической съемки ) и поправки в приближенные уклонения отвеса не будут линейно зависеть от расстояния. В этом случае необходимо применять нелинейное интерполирование либо в середине звена произвести астрономические определения широты и долготы. Опыт показывает, что подобные случаи могут иметь место исключительно редко потому, что на расстояниях в 200 – 250 км резких изменений ускорения силы тяжести быть не может. Именно это обстоятельство учитывалось при разработке схемы и программы построения астрономо-геодезической сети СССР.

3. 6. Топографические и топографо-изостатические уклонения отвеса

Как мы рассмотрели, для вывода астрономо-геодезических и гравиметрических уклонений отвеса, необходимо иметь как астрономо-геодезические пункты, так и материалы мировых гравиметрических измерений. В случае, когда на всей территории государства не завершены работы по построению астрономо-геодезической сети и не выполнены гравиметрические измерения, при этом необходимо установить исходные геодезические даты для ориентирования референц-эллипсоида, редуцировать на его поверхность измерения, рассмотренные ранее методы определения уклонений отвеса неприемлемы. Такое положение имело место в Великобритании и других государствах в XIX в., когда метрополии не были связаны единой геодезической основой с колониями, а для освоения их территорий необходимы были точные карты и геодезическая основа. В Советском Союзе к 30–м годам XX в. возникла проблема уточнения параметров эллипсоида Бесселя, выводов параметров и ориентировки референц-эллипсоида Красовского. При этом на территории, расположенной восточнее Урала, отсутствовала государственная геодезическая сеть, гравиметрические измерения.

Для решения задачи определения уклонений отвеса в случаях, когда недостает информации для астрономо-гравиметрического метода, используют топографо-изостатические уклонения отвеса. Идея их вычисления заключается в том, что при вычислении гравиметрических уклонений отвеса наибольшее влияние оказывают ближние зоны. Поэтому возникла мысль о том, что рельеф местности ( топография ), окружающей данную точку в основном определяет уклонения отвеса. Избыток масс горных пород, заключенный в горных массивах, оказывает большее притяжение по сравнению с равнинными районами. Зная объем горных пород и их среднюю плотность, можно вычислить их притяжение и топографические уклонения отвеса. Впервые топографические уклонения отвеса вычислялись английскими геодезистами для обработки материалов астрономо-геодезических измерений в Индии. Так на одном из пунктов, расположенном на севере Индии у подножия Гималайского хребта, получили топографические уклонения отвеса, равные 27. 9//, астрономо-геодезические уклонения отвеса имели значение 5. 2//. На побережье Индийского океана это отличие достигало еще больших значений ( 30-40// вместо 5-8// ). Это говорит о том, что рельеф местности хотя и оказывает влияние на величину уклонений отвеса, но это влияние сглажено или компенсировано. Были предложены ряд гипотез о природе такой компенсации.

К гипотезе Пратта К гипотезе Венинг-Мейнеса

Рис. 3. 5 Рис. 3. 6

Одна из таких гипотез была предложена в середине XIX в. англичанином Д. Праттом. Смысл этой гипотезы состоит в том, что масса вертикальных блоков с равными основаниями, расположенными выше поверхности полной компенсации или изостазии ( греч. равновесия ) одинакова для всей поверхности Земной коры. Избыточные объемы в горных районах ( рис.имеют меньшую плотность по сравнению с плотностью горных пород под морями и океанами. Однако эта гипотеза не нашла экспериментального подтверждения. Известно, что плотности горных пород не зависят от рельефа. Вместе с тем, было установлено, что изостатическая поверхность имеет место. Неизвестной оставалась природа изостатической компенсации. Выдвигались самые различные гипотезы. Например, в гипотезах Эри и Венинг-Мейнеса, появившихся почти одновременно с гипотезой Пратта, предполагается, что земная кора имеет двусторонние прогибы, симметричные относительно поверхности полной изостазии ( рис.Избыток масс горных пород над уровнем моря компенсируется их избытком ниже поверхности изостазии.

Уклонения отвеса, вычисленные с учетом указанных гипотез называют топграфо-изостатическими. Здесь необходимо определить глубину залегания поверхности изостазии относительно уровня морей и океанов. В среднем эта величина составляет примерно 100 км. При выводе параметров эллипсоида Красовского для восточной части территории Советского Союза вычислялись уклонения отвеса на основе гипотезы Пратта. Глубина изостатической компенсации принималась равной 96 км.

Отметим, что в современных условиях топографо-изостатические уклонения отвеса не применяются, однако изостатическая компенсация является важнейшей особенностью физического строения Земли.

4.  СИСТЕМЫ ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫСОТ

4.  1. Общие сведения

Высота точек земной поверхности относительно исходной отсчетной поверхности является одной из координат, характеризующей рельеф местности. Высота отсчитывается от исходной поверхности по нормали к ней. Если в качестве исходной поверхности принят земной эллипсоид, то высота, отсчитанная от нее, называется геодезической и обозначается H. Геодезические измерения выполняются в реальном гравитационном поле Земли, приборы устанавливаются в рабочее положение по отвесу и визирная ось нивелира перпендикулярна ему. Поэтому непосредственная передача геодезических высот из нивелирования невозможна. Уровенной поверхностью реального гравитационного поля и физической моделью Земли является геоид. Высота, отсчитанная от геоида, называется ортометрической и обозначается Hg. Высоту геоида над поверхностью эллипсоида называют аномалией высоты и обозначают z.. Таким образом, для геодезической высоты можно записать выражение

, (

где Hg – гипсометрическая составляющая ( рельеф над уровнем моря ), получаемая из измерений, z. – геоидальная составляющая, характеризующая рельеф геоида над эллипсоидом и получаемая из обработки комплекса астрономо-геодезических и гравиметрических измерений.

Геоид – физическая модель Земли, поле силы тяжести которой совпадает с реальным, а его поверхность всюду гладкая и выпуклая, на морях и океанах совпадающая со средним невозмущенным уровнем поверхности воды. Под материками продолжена так, что в каждой ее точке вектор реальной силы тяжести пересекает поверхность геоида по нормали к ней.

В земной коре плотность неоднородна и силовая линия реального поля тяжести на промежутке от физической поверхности Земли до поверхности геоида ( в промежуточном слое ) представляет собой кривую линию. Характер и величина неоднородностей плотности земной коры достоверно неизвестен. Можно лишь выдвигать какие-либо предположения или гипотезы об этом. Поэтому нельзя только из измерений, без привлечения гипотез однозначно определить положение поверхности геоида внутри Земли. Советский ученый впервые в мире указал на это. Вместе с тем для практических целей необходимо знать высоты над уровенной поверхностью. Молоденский предложил вычислять нормальные высоты Hg, отсчитанные от вспомогательной поверхности, которую он назвал квазигеоидом. Квазигеоид на морях и океанах совпадает с поверхностью геоида, а под материками незначительно ( до 1-2 м. ) отступает от него. Отвесная линия в каждой точке земной поверхности пересекает поверхность квазигеоида под прямым углом. Положение отвеса в любой точке земной поверхности может быть определено, следовательно, и поверхность квазигеоида может быть определена без привлечения гипотез о распределении плотностей в промежуточном слое. Для этого достаточно отложить нормальную высоту, полученную из нивелирования.

При передаче высот нивелированием II класса и ниже такая схема работает без каких-либо проблем. Вместе с тем, при нивелировании I класса протяженность ходов может достигать сотен километров, а периметры полигонов - тысячу и более. В этом случае сумма измеренных превышений между двумя точками, полученных из разных нивелирных ходов, будет разная. Другими словами, сумма измеренных превышений зависит от пути нивелирования, а в замкнутом полигоне она не равна нулю и имеет место теоретическая невязка нивелирного полигона. Значение этой невязки зависит от периметра полигона и разности высот точек нивелирных ходов. Это видно из рисунка 4. 1.

Рис. 4. 1

На рисунке показан нивелирный ход от точки О до точки М, вдоль которого имерены превышения Dh, сумма которых дает измеренную разность отметок этих точек. Если начальная точка О расположена в начале счета высот ( на поверхности геоида ), получаем измеренную высоту точки М

Hизм = S Dh (

Если предположить, что нивелирный ход прошел другим путем, например, по ОМ0М или ОМ1М, то видно из рисунка, что суммы превышений будут другими, так как они определяются отрезками ОМ0 и М1М соответственно и которые не равны между собой из-за непараллельности уровенных поверхностей W = const. На практике такое может иметь место, например одни нивелирные ходы проложены вдоль дорог, другие вдоль рек и т. п.

Для устранения этого недостатка используют формулу, связывающую расстояние ( dh ) между двумя бесконечно близкими уровенными поверхностями и разностью их потенциалов ( dW )

dW = gdh (

Приращение потенциала силы тяжести в данной точке относительно потенциала начального футштока, взятое с обратным знаком, называется геопотенциалом. Поскольку разность потенциалов между любыми точками, лежащими на двух уровенных поверхностях постоянна, можем записать

(

Применяя теорему о среднем интегрального исчисления, запишем

(

Далее получаем для превышения, не зависящего от пути нивелирования

(

Здесь числитель дроби, стоящей в правой части, определяется из геодезических и гравиметрических измерений. Проблема заключается в определении среднего интегрального значения ускорения реальной силы тяжести на отрезке ММ1. Дело в том, что для этого необходимо знать распределение плотностей горных пород в промежуточном слое, а такая информация отсутствует. В этом уравнении приращение высот вычисляется через геопотенциал, поэтому высоты называют геопотенциальными и они не зависят от пути нивелирования.

В зависимости от того, каким образом решается уравнение (, различают системы геопотенциальных высот: приближенные, ортометрические, нормальные и динамические.

4.  2. Приближенные высоты

Приближенные высоты вычисляют в нормальном гравитационном поле Земли. В этом случае пренебрегают аномалиями силы тяжести. Приближенные высоты служат одним из этапов вычисления других систем высот и вычисляются при отсутствии гравиметрической съемки.

В исходной для вычисления геопотенциальных высот формуле (следует принять вместо характеристик реального поля характеристики нормального поля

,

где gmM – среднее значение ускорения нормальной силы тяжести на отвесной линии ММ1, g - ускорение нормальной силы тяжести в точках нивелирного хода.

Получим более удобную формулу для вычисления приближенных высот, для чего правую часть уравнения (преобразуем

(

Здесь видно, что измеренные высоты исправляют только за непараллельность уровенных поверхностей нормального гравитационного поля.

4. 3. Ортометрические высоты

Ортометрические высоты отсчитываются от поверхности геоида до определяемой точки по отвесной линии. Формула (в этом случае работает следующим образом. При перемещении от О к М1 по поверхности геоида ортометрическая высота остается постоянной и равной нулю, а ортометрическая высота точки М определится отрезком ММ1. Тогда можем записать

Применив теорему Лагранжа о среднем значении функции, запишем

, (

где - среднее значение ускорения действительной силы тяжести на отрезке отвесной линии М1М, а - приращение ортометрической высоты. Тогда для приращения ортометрической высоты получаем выражение

(

Из-за отсутствия полной и достоверной информации о распределении плотностей внутри Земли, как уже отмечалось ранее, ортометрические высоты однозначно по результатам измерений и без привлечения гипотез не могут быть определены. По этой причине ортометрические высоты не нашли до настоящего времени практического применения. Следует заметить при этом, что с развитием новых измерительных технологий и прежде всего, основанных на спутниковых системах позиционирования, а также современных результатах гравиметрических измерений появляются новые возможности вычисления ортометрических высот. Несомненным достоинством этих высот является то, что они отсчитываются от уровенной поверхности реального гравитационного поля Земли - геоида.

4. 4. Нормальные высоты

Рис. 4. 2

На рисунке 4. 2 имеем:

О0М0 – эллипсоид ( Нормальная Земля );

ОМ1 – геоид ( физическая модель Земли );

ОМ3 – квазигеоид;

О2 М – уровенная поверхность потенциала реальной силы тяжести в точке М;

О1М2 – уровенная поверхность потенциала нормальной силы тяжести, равной реальной силе тяжести в точке М;

ММ0 – геодезическая высота точки М;

ММ1 – ортометрическая высота точки М;

ММ3 – нормальная высота точки М;

М0 М1 – аномалия высоты геоида в точке М;

М0 М3 – аномалия высоты квазигеоида в точке М.

Из условий, следуемых из построения рисунка 4. 2 можем записать

W0 – WM = u0 - uM , (

следовательно имеем равенство отрезков ММ3 = М0 М2 = H¡ M

Используя формулу связи геопотенциала и высоты (и следуемые из нее формулы, можем записать

(

Отсюда имеем

(

Формула для нормальной высоты принимает вид

Полученную формулу преобразуем для удобства ее практического применения

(

Здесь первый член выражает измеренную высоту, второй – поправку за аномалию силы тяжести, третий - поправку за непараллельность уровенных поверхностей.

Если ход нивелирования замкнутый, должно соблюдаться равенство

и сумма измеренных превышений по замкнутому нивелирному ходу ( теоретическая невязка нивелирного полигона ) имеет выражение

(

Для удобства вычисления нормальных высот в ЦНИИГАиК разработана специальная Инструкция и соответствующие вспомогательные таблицы.

Отметим, что в наихудшем случае для территории бывшего СССР ( Н = 4 км, Dg = 500 млг ) максимальные значения отступлений поверхности геоида от квазигеоида могут достигать величины 2м, а значение f может достигать нескольких миллиметров. При построении государственных опорных построений геопотенциальные высоты вычисляются только при нивелировании 1 класса. В более низких классах нивелирования используют измеренные высоты.

Вместе с тем, следует отметить, что территория Беларуси расположена в равнинном безаномальном районе, с высотами, не превышающими 400 м, поэтому отступления поверхности геоида от квазигеоида, могут достигать величин в несколько долей миллиметров, а значение f здесь пренебрегаемо мало для любого класса нивелирования.

4. 5. Динамические высоты.

Как видно из предыдущего материала, уровенные поверхности ( поверхности равной силы тяжести ), проходящие через точки на разных высотах, непараллельны друг другу, расстояния между ними различны. Это приводит к тому, что нормальные высоты этих поверхностей различаются. Эти различия невелики, вместе с тем, при инженерно-геодезическом обеспечении строительства это обстоятельство необходимо учитывать.

При строительстве больших водохранилищ, тоннелей большой протяженности, прецизионных сооружений задают поверхности равных высот методом высокоточного нивелирования. Например, разности высот уровня воды в крупных озерах и водохранилищах весьма существенно ( озеро - Байкал 165 мм, озеро Севан – 88 мм ). При этом замечено, что эти разности тем существеннее, чем больше высота над уровнем моря и разность широт водного контура.

В связи с этим при геодезическом обеспечении строительства сооружений, расположенных на больших по размеру территориях или предъявляющих особо высокие требования к точности вынесения в натуру, используют динамические высоты.

Опуская выводы, приведем формулу для вычисления динамических высот

Первый член выражает измеренную высоту, второй – поправку за широту, третий – поправку за высоту.

Нивелирование квазигеоида.

Под нивелированием квазигеоида понимают комплекс астрономических, гравиметрических и геодезических измерений для вычисления высоты квазигеоида над поверхностью эллипсоида. Геодезическая высота определяется над поверхностью эллипсоида, принятой в качестве координатной. Поскольку государственные геодезические построения задают референцную систему координат, нивелирование производится относительно принятого референц-эллипсоида.

Высота ( геоида ) квазигеоида связана с уклонениями отвеса. Это видно из рисункаПусть в некоторой точке А поверхности эллипсоида и геоида ( квазигеоида ) касаются друг друга. Вследствие их непараллельности ( наличия уклонения отвеса ), по мере удаления от точки А на некоторое расстояние dS, эти поверхности будут отступать друг от друга на величину аномалии высоты dz..

Рис. 4. 3

При дифференциально малых расстояниях dS и хорошо подобранном эллипсоиде, когда u - малая величина, можно записать очевидное равенство

Высота геоида ( квазигеоида ) над поверхностью эллипсоида в точке В, находящейся на конечном расстоянии от точки А. изменится на величину

(

Данное уравнение лежит в основе вычисления аномалий высот. В зависимости от того, какие уклонения отвеса используются в формуле (, различают астрономическое или астрономо-гравиметрическое нивелирование геоида ( квазигеоида ). В общем случае интегрирование правой части уравнения (затруднено, так как не имеется функциональной зависимости между u и S. На практике участок нивелирования разбивают на части, где можно допустить постоянное значение составляющей уклонения отвеса u . Искомая аномалия высоты получается из формулы

(

По результатам нивелирования составляется карта аномалий высот. Точность аномалий высот, полученных из астрономического и астрономо-гравиметрического нивелирования невелика и составляет 0.5 – 2 м. Этого вполне достаточно для решения редукционной проблемы.

В настоящее время широко внедряются в геодезическое производство методы, основанные на спутниковых системах позиционирования. На их основе появляются принципиально новые возможности решения задачи нивелирования геоида ( квазигеоида ). Идея состоит в следующем. Из результатов спутниковых измерений получают пространственные прямоугольные ( X, Y, Z ) и геодезические ( B, L, H ) координаты. Точность вычисления геодезической высоты Н при этом может достигать величиным. Нормальные высоты Hg получают из высокоточного геометрического нивелирования. Разность этих высот дает искомые аномалии высот. Как видим, точность современного метода выше классических практически в сто раз. Это раскрывает перспективы расширения возможностей решения прикладных задач на основе геодезических баз данных.

По результатам нивелирования квазигеоида над общим земным эллипсоидом с параметрами Красовского получены следующие значения аномалий высот: максимальные значения, экстраполированные на экватор, достигают величины в - 140 м на долготе 700 и + 125 м на долготе 3450 . При этом имеют место как глобальные волны геоида над эллипсоидом, обусловленные влиянием материков и океанических впадин, так и локальные, обусловленные неравнмерным распределением плотностей горных пород.

5.  РЕДУКЦИОННАЯ ПРОБЛЕМА

5. 1. Сущность редукционной проблемы и пути ее решения

Геодезические измерения выполняются между точками на земной поверхности, которые могут быть расположены на определенных геодезических высотах, которые могут быть получены методами, рассмотренными нами ранее. Вычисление координат производится на поверхности эллипсоида. Геодезические приборы ориентируются по отвесной линии, а редуцирование измеренных величин на поверхность эллипсоида производится по нормалям к нему. В связи с этим в измеренные значения необходимо ввести поправки, обусловленные как высотой соответствующих точек над эллипсоидом, так и уклонением отвеса.

Геодезические высоты и уклонения отвеса могут быть вычислены астрономо-гравиметрическим методом, для чего необходимо наличие астрономо-геодезической сети, нивелирования 1 класса, гравиметрической съемки на всей территории. Вместе с тем, для этого необходимо производить редуцирование измерений. Получается замкнутый круг. Для решения задачи редуцирования измерений на стадии построения государственной геодезической сети применяли единственно возможный метод развертывания, при котором пренебрегали отступлениями поверхности геоида и эллипсоида. Другими словами, здесь вводились поправки в измеренные величины только за нормальные высоты, а за уклонения отвеса и аномалии высот считались пренебрегаемо малыми. Измерения, редуцированные на поверхность геоида ( квазигеоида ), как бы развертывались без деформаций на поверхность эллипсоида. Для территорий ограниченной площади, при отсутствии аномалий силы тяжести такой метод решает задачу редуцирования на референц-эллипсоид.

Для территорий большой площади, как это имело место в Советском Союзе, метод развертывания приводил к весьма существенным погрешностям. Поэтому здесь астрономо-геодезическая сеть после завершения ее построения редуцировалась на поверхность референц-эллипсоида Красовского по методу проектирования с учетом всех поправок.

Принципиальным является вопрос необходимой точности вычисления редукционных поправок. Здесь необходимо помнить, что геодезические измерения выполняются по строгим методикам, напраленным на то, чтобы ошибки измерений носили случайный характер и подчинялись нормальному закону распределения. Только в этом случае математическая обработка измерений по методу наименьших квадратов приводит к вероятнейшим значениям. Ошибки округления при вычислениях, как известно, случайные, но подчиняются равномерному закону распределения. Для того, чтобы ошибки округления не налагались на ошибки измерений, в геодезии всегда вычисления производят с ошибками, на порядок меньшими ошибок соответствующих измерений. В этом случае редуцированные значения измеренных величин можно считать измеренными с точки зрения характера распределения их ошибок.

Рассмотрим выводы основных формул редуцирования по методу проектирования. При этом следует заметить, что задача редуцирования азимутов рассмотрена нами ранее, при выводе уравнения Лапласа.

5. 2. Редукция базисных измерений

На рисунке 5. 1 показана схема масштабирования первоклассного звена триангуляции. Из измерений подвесным базисным прибором измеряется базис b с относительной погрешностью 1 : 1 Длина выходной стороны S0 , соединяющая пункты Лапласа, вычисляется из базисного геодезического четырехугольника, в котором измерены и уравнены за все возникающие условия углы. Для обеспечения высокой точности измерений базис располагается в наиболее благоприятных для измерений условиях, длина его, как правило, порядка 10 км. Длина выходной стороны триангуляции 1 класса составляет порядка 20 км. Из за этого при вычислениях длины S0 существенной является ошибка геометрической связи и длина выходной стороны вычисляется с относительной погрешностью порядка 1 : Эта величина и определяет точность масштабирования звеньев триангуляции 1 класса.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5