Например в группе C2v имеем:

Таблица 8.

Преобразование компонент тензора второго ранга в группе C2v

Теперь интегралы <k|a|i> могут рассматриваться также как и для случая поглощения. Они будут равны нулю, если симметрия произведений двух рассматриваемых уровней не имеет общих типов симметрии с компонентами axx, ayy, azz.

КОРРЕЛЯЦИИ

Предположим, что физическая система подвергается воздействию некоторого возмущения. Система, представляющая собой атом или молекулу, может быть помещена во внешнее поле, например, электростатическое или магнитное. Речь может идти также о поведении молекулы (или иона) в поле кристаллической решетки. Возмущающим (внешним) полем в этом случае является поле, действующее на молекулу со стороны других атомов или ионов.

Возникает вопрос о том, в какой мере возмущение может привести к расщеплению вырожденных уровней. Внешнее поле имеет само по себе некоторую собственную симметрию. Если эта симметрия та же, что и у молекулы, или более высокая, то симметрия полного гамильтониана H0+H` совпадает с симметрией H0, т. к. симметрия суммы двух выражений совпадает с более низкой симметрией. Если же симметрия возмущения ниже симметрии невозмущенной системы, то симметрия гамильтониана будет совпадать с симметрией возмущения. Собственные состояния (волновые функции) или нормальные координаты, осуществляющие неприводимые представления невозмущенной системы, могут оказаться приводимыми в более низкой группе симметрии. Физически это означает расщепление вырожденного уровня. В качестве примера рассмотрим невозмущенную систему, обладающую симметрией Td. Рассмотрим трехкратно-вырожденный уровень, соответствующий неприводимому представлению F2 этой группы; характеры этого представления равны:

Если система подвергается воздействию возмущения с симметрией C3v (причем ось C3 совпадает с одной из осей C3 в Td), то характеры преобразований общих элементов симметрии равны характерам в исходном представлении группы Td, т. е.

Это представление, однако, приводимо в группе C3v:

Числа ni, записанные в правой колонке получены путем разложения представления F2 на неприводимые представления A1, A2 и E группы C3v:

nA1 = 1/6(3*1*1+0*1*2+1*1*3)=1

nA2 = 1/6(3*1*1+0*1*2-1*1*3)=0

nE = 1/6(3*2*1-0*1*2+0*1*3)=1

Можно рассмотреть все неприводимые представления группы Td и C3v и найти между ними соответствие. Это соответствие удобно выражать с помощью карты корреляций:

Td C3v

A1

A2 A1 Tz

E A2

Tx, Ty, Tz F1 E Tx, Ty

F2

Если симметрия возмущающего поля не является подгруппой группы молекулы, то общая симметрия определяется общими элементами симметрии молекулы и возмущения (принцип Кюри).

Проблема классификации кристаллических сред по симметрии состоит в том, чтобы найти такие группы (R,t), в которых бы содержались указанные выше операции и которые были бы совместимы с пространственной периодичностью. Число таких групп 230. Из них 73 группы не содержат частичных трансляций; они называются симморфными.

Точечной группой решетки (голоэдрической группой) называют совокупность операций (R,0) первого и второго рода, совмещающих решетку саму с собой. Очевидным элементом такой группы является центр инверсии (поскольку всегда существуют вектора трансляций tn и -tn). Далее, если точечная группа решетки имеет ось симметрии C2,то всегда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси, т. е. существует группа C2h; если имеется ось Cn (n=3,4,6), то точечная группа решетки содержит группу Cnv. Таким образом, для выяснения голоэдрических групп нужно составить список точечных групп, которые имеют:

·  а) центр инверсии I;

·  b) оси порядка 2,3,4 и 6 - C2, C3, C4, C6;

·  c) плоскости отражения sh для C2 и sv для C3, C4, C6.

Этим условиям удовлетворяют 7 точечных групп, называемых кристаллическими системами (сингониями).

Таблица 7.

Кристаллические системы - сингонии

В каждой из семи кристаллических систем (точечных групп решетки) находится определенное число типов решеток, которые могут быть простыми (P), базоцентрированными (C), гранецентрированними (F), и объемоцентрированными (I). Поэтому полное количество решеток может быть равно 14 (решетки Браве). Вид элементарной ячейки и возможные типы решеток Браве перечислены ниже.

1.ТРИКЛИННАЯ - Ci. На углы и длины элементарных векторов трансляции не наложено никаких ограничений (из-за отсутствия элементов симметрии, кроме Ci). Решетка примитивная - ; a¹b¹g¹90о и а¹b¹c.

2. МОНОКЛИННАЯ - C2h. Есть C2 и плоскость, перпендикулярная оси C2. Таким образом, одна их трансляций может быть выбрана перпендикулярно двум другим. Поэтому a¹b¹90о, g=90о и а¹b¹c. Нетрудно видеть, однако, что ячейка этого типа может быть не только примитивной, т. е. атомы могут быть расположены не только в ее вершинах. Элементарная ячейка может быть примитивная - P и базоцентрированая - C. (Элементарной ячейкой называют ячейку, обладающую симметрией решетки и имеющую наименьший объем).

3. ОРТОРОМБИЧЕСКАЯ - D2h. Все три элементарных вектора трансляции могут быть выбраны в соответствии с требованиями симметрии, т. е. вдоль ортогональных осей C2 группы D2h. a=b=g=90о и а¹b¹c. Любая грань в элементарной ячейке в этой сингонии может иметь дополнительный узел. Поэтому ячейка может быть примитивной - P, базоцентрированной - C, объемоцентрированной - I, и гранецентрированной - F.

4. ТРИГОНАЛЬНАЯ - D3d. a=b=g¹90о и а=b=c. Ячейка - P.

5. ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ - D4h. a=b=g=90о и а=b¹c. Ячейка P и I.

6. ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ - D6h. a=b=90о; g=120о и а=b¹c. Ячейка только P.

7. КУБИЧЕСКАЯ - Oh. a=b=g=90о и а=b=c. Ячейка P, I, F.

ФАКТОР-ГРУППА.

Если H - инвариантная подгруппа G, то все элементы G можно получить так: G=H+X2H+X3H+....+XgH. Каждое слагаемое в этой сумме можно рассматривать как элемент новой группы, называемой фактор-группой; обозначается она как G/H. Элементами фактор-группы являются смежные (правые или левые) классы по H: H, X2H, X3H....XgH. Произведение двух смежных классов также смежный класс:

(XiH)(XjH)=Xi(HXj)H=XiXj(HH)=XiXjH=XqH

Единичный элемент - H: H(XiH)=(HXi)H=XiHH=XiH

Поскольку подгруппа трансляций T - инвариантная подгруппа пространственной группы G, для описания симметрии кристалла можно ввести понятие фактор-группы G/T :

G=T+(R2,tR2)T+(R3,tR3)T+(R4,tR4)T+..+(Rg,tRg)T

Так как величины трансляций tRi весьма малы по сравнению с величинами, рассматриваемыми при изучении макроскопических свойств, все дело происходит так, как будто все элементы симметрии пересекаются в одной точке. Тогда операции симметрии E, R2, R3,....Rg образуют конечную группу, изоморфную фактор-группе, поскольку правила умножения элементов той и другой группы идентичны. Таким образом, фактор-группа изоморфна одной из точечных групп, совместимых с пространственной периодичностью кристалла. Такие точечные группы называются кристаллическим классом и их существует всего 32. Они перечислены в следующей таблице, полученной простым перечислением возможных для кристалла точечных групп. В первой колонке таблицы дан общий вид возможных точечных групп, допустимых для периодической пространственной решетки, а во втором столбце перечислены возможные точечные группы.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6