Изгиб пластинок (стр. 4 )

Тогда формулы для определения осесимметричных составляющих прогиба, а также составляющие изгибающих моментов в радиальном и окружном направлениях (при ) можно записать следующим образом:

; ; ;

; ;

,

где , и – осесимметричные составляющие прогиба и изгибающие моменты (при ), записанные в безразмерных величинах.

В табл. 2.1 приведены значения , и для круглой пластинки при .

Т а б л и ц а 2.1

Результаты расчëта прогибов и изгибающих моментов при

2.4 Круглая изотропная пластинка под действием кольцевой нагрузки

Рассмотрим пластинку, изображëнную на рис. 2.3. Опорный контур пластинки расположен на окружности . По кольцевой поверхности на пластинку действует распределëнная нагрузка интенсивностью .

Рис. 2.3. Круглая пластинка под действием кольцевой нагрузки

В радиальном направлении такой пластинки при переходе от одного силового участка к другому поперечная сила меняется скачкообразно. По этой причине для решения такого класса задач целесообразно использовать методы, основанные на применении разрывных функций, так как в этом случае решение строится с помощью непосредственного интегрирования исходных дифференциальных уравнений, не разрезая пластинку на отдельные элементы, которые в дальнейшем было бы необходимо сопрягать по статическим и кинематическим характеристикам.

Используя понятие единичной функции (п.2.1.1), определим закон изменения поперечной силы в зависимости от радиальной координаты . Для этого рассмотрим равновесие пластинки на трëх участках:

;

;

.

На участке внешняя нагрузка отсутствует, поэтому поперечная сила равняется нулю, то есть имеем

(2.25)

В произвольном кольцевом сечении на участке уравнение равновесия по направлению вертикальной оси примет вид

(2.26)

где – суммарная вертикальная нагрузка, действующая на кольцо с радиусами и ; – длина окружности, на которой определяется поперечная сила. Напомним, что поперечной силой является сила, отнесëнная к единице длины рассматриваемого сечения.

В произвольном кольцевом сечении на участке по аналогии с построением формулы (2.26) получим

(2.27)

Объединяя все три значения поперечной силы, будем иметь

(2.28)

где и – единичные функции.

Нетрудно убедиться, используя свойства единичной функции, что формула (2.28) удовлетворяет условиям (2.25), (2.26) и (2.27).

Тогда разрешающее дифференциальное уравнение осесимметричных деформаций запишем в виде:

,

где поперечная сила определяется по формуле (2.28).

Учитывая, что левая часть дифференциального уравнения (2.21) есть дифференциальное уравнение Эйлера и его всегда можно представить в виде единого дифференциального оператора следующего вида:

(2.29)

то с учëтом соотношения (2.28) расчëтное дифференциальное уравнение для круглой пластинки, находящейся под действием кольцевой нагрузки интенсивностью можно представить в такой форме:

(2.30)

Решение этого дифференциального уравнения находится при помощи его последовательного интегрирования.

С учëтом формулы (2.3), определяющей интегрирование выражений, содержащих единичную функцию, первое интегрирование уравнения (2.30) даëт

. (2.31)

Последовательно интегрируя соотношение (2.31), получим формулы для определения угла поворота и прогиба пластинки. Здесь приводится лишь конечный результат интегрирования, так как выполнение промежуточных операций достаточно ясно из процесса построения формулы (76).

Выражение для угла поворота:

(2.32)

Выражение для прогиба:

. (2.33)

Не останавливаясь на процессе вычисления второй производной от прогиба, построим формулы для определения изгибающих моментов в радиальном и окружном направлениях пластинки, используя для этого соотношения:

;

.

Это даëт

; (2.34)

. (2.35)

Примечания:

1. Если координата , то ,

если , то .

2. Если пластинка не имеет отверстия в центре, то есть при то в силу ограниченности прогиба в центре должно быть что следует из формулы (2.33).

2.4.1 Пластинка, не имеющая отверстия в центре и шарнирно опëртая по наружному контуру

Для пластинки шарнирно опëртой по наружному контуру и не имеющей отверстия в центре, должно быть

, . (2.36)

Так как на наружном контуре пластинки, то есть при

,

то из условия получим

. (2.37)

Условие запишется в таком виде:

.

. (2.38)

Отсюда окончательно будем иметь

.

Следует отметить, что раскрывать значение постоянной интегрирования в формуле (2.38) не имеет смысла.

Учитывая значения произвольных постоянных и , прогиб пластинки можно записать следующим образом:

(2.39)

где

Аналогично с учëтом соотношений (2.34) и (2.35) изгибающие моменты и можно представить в такой форме:

(2.40)

где

(2.41)

где

.

При этом

при ,

при .

В табл. 2.2 приведены значения коэффициентов , и при следующих значениях отношений и : 1) 0,25; 0,50; 2) 0,25; 0,75; 3) 0,50; 0,75. Коэффициент Пуассона материала пластинки

Т а б л и ц а 2.2

Значения коэффициентов , и при различных отношениях и

Для сравнения укажем, что для круглой пластинки, шарнирно опëртой по наружному контуру и по всей поверхности загруженной равномерным давлением интенсивностью : ; ; .

2.4.2 Пластинка, не имеющая отверстия в центре и защемлëнная по наружному контуру

В этом случае (см. рис. 2.3) граничные условия имеют вид:

Поскольку , из формулы (2.32) сразу получим

. (2.42)

Формула (2.33) позволяет определить произвольную постоянную . Она равна

.

С учëтом значений произвольных постоянных и прогиб пластинки и еë изгибающие моменты определятся по формулам:

(2.43)

где

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5