Изгиб пластинок (стр. 3 )

Исходные данные для расчëта прямоугольной пластинки

Глава 2. Решение дифференциальных уравнений пластин с

использованием разрывных функций

В данной главе рассматриваются аналитические методы, основанные на использовании разрывных функций, что позволяет получать решения задач по исследованию напряженно-деформированного состояния пластин достаточно эффективным и быстрым путëм.

2.1 Интегрирование выражений, содержащих разрывные функции

В случаях действия на пластину сосредоточенных усилий , нагрузок интенсивности , распределëнных по части пластинки, например, по кольцевой поверхности пластины или по сектору, удобно проводить расчëт с использованием разрывных функций.

Чаще всего для этой цели используются: единичная функция (Хевисайда) , дельта-функция (Дирака) и еë производные [2, 3, 6, 7].

2.1.1 Единичная функция

По определению одномерная единичная функция имеет следующий вид:

(2.1)

В точке функция не определена.

Аналогично определяются единичные функции от радиальной и окружной координат:

(2.2)

Неопределенный интеграл от произведения единичной функции на какую-либо непрерывную на рассматриваемом промежутке функцию определяется таким образом:

, (2.3)

где произвольная постоянная интегрирования.

Аналогично вводится единичная функция двух переменных

(2.4)

Функция (2.4) показана на рис. 2.1, где в заштрихованной области

Рис. 2.1. Единичная функция двух переменных

Поэтому, если функция непрерывна на рассматриваемом промежутке, то

(2.5)

В формуле (52.5) опущены функции, зависящие от и , появляющиеся при интегрировании.

2.1.2 Дельта-функция и еë производные

Дельта-функция может быть определена следующим образом:

(2.6)

При этом дельта-функции определяется соотношением [1]:

(2.7)

С другой стороны

(2.8)

то есть производная от единичной функции равняется дельта-функции.

Интегрируя уравнение (2.8) получим важную формулу

, (2.9)

где произвольная постоянная интегрирования.

Кроме того, дельта-функция обладает так называемым фильтрующим свойством:

(2.10

где – некоторая непрерывная на рассматриваемом промежутке функция.

Учитывая соотношения (2.9) и (2.10), получим

(2.11)

Соотношение (2.11) позволяет интегрировать выражения, содержащие дельта-функцию. Аналогично можно построить фильтрующее свойство первой производной от дельта-функции

(2.12)

поэтому

. (2.13)

Дельта-функция может быть использована в том случае, если в точке с координатами и , приложена сосредоточенная сила . Тогда в исходном уравнении равновесия (обращаем на это особое внимание) всех сил на ось вместо необходимо ввести выражение , то есть произвести замену

. (2.14)

В полярной системе координат получим

(2.15)

где и координаты точки приложения силы .

Примечание. Если величина была заменена на по формулам (2.14) или (2.15), но не в исходном уравнении равновесия, а в каком-либо уже преобразованном уравнении, это может привести к грубым ошибкам.

Аналогично, если в точке с координатами и приложен сосредоточенный момент , действующий в плоскости параллельной оси , то в исходном уравнении равновесия замена производится по схеме

. (2.16)

Аналогично с учëтом введения производной по производится замена

. (2.17)

Если на круглую пластинку на радиусе действует погонная кольцевая нагрузка , то замена производится по формуле

(2.18)

Если же на радиусе действует погонный кольцевой радиальный момент , то следует использовать формулу

(2.19)

2.2 Общая схема решения дифференциальных уравнений изгиба круглых изотропных пластин с использованием разрывных функций

В качестве исходных принимаются уравнения равновесия пластинки и уравнения, связывающие функции усилий и перемещения. В результате совместного решения этих уравнений получается разрешающее дифференциальное уравнение четвëртого порядка в частных производных. Такое уравнение для круглой изотропной пластинки представлено в форме (1.24) [7, 8].

Поскольку здесь рассматриваются круглые пластинки, замкнутые в окружном направлении, то, используя условие периодичности всех функций, определяющих напряжëнно-деформированное состояние пластинки, исходное дифференциальное уравнение путëм разложения по косинусам или по синусам в ряд Фурье сводится к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений по радиальной координате .

Тогда общее решение задачи складывается из его отдельных решений, соответствующих каждому из возможных при заданном нагружении и заданных условиях закрепления пластинки типов деформаций. Это могут быть осесимметричная, кососимметричная и циклически симметричные составляющие деформации (здесь будем рассматривать только осесимметричные деформации). Любое из этих решений может быть определено из дифференциального уравнения следующего вида:

, , (2.20)

где – оператор Лапласа в полярных координатах относительно прогиба; параметр, определяющий тип деформации пластинки.

Однако для осесимметричных деформаций круглой изотропной пластинки с разрешающее дифференциальное уравнение может иметь третий порядок и тогда будет записано в следующей форме:

, (2.21)

где радиальная перерезывающая сила.

Для нахождения частного решения полученного обыкновенного дифференциального уравнения, правая часть которого содержит единичную функцию или дельта-функцию, предварительно необходимо его левую часть представить в виде единого дифференциального оператора.

Для этого строится общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения и, с помощью его последовательного дифференцирования, исключаются из его правой части все функции, образующие это решение [7].

Построенное для каждой из гармоник общее решение складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения, содержащего единичную функцию.

2.3 Круглая изотропная пластинка под действием равномерно

распределëнной нагрузки

Рассмотрим круглую изотропную пластинку с радиусом наружного контура равным , радиусом опорного контура и нагруженную равномерно распределëнной нагрузкой интенсивности . Очевидно, что деформации такой пластинки будут осесимметричными (рис. 2.2).

Если же, например, пластинка расположена на точечных опорах, находящихся на одной окружности и равноудалëнных друг от друга и еë центра (рис. 2.2), то помимо осесимметричных деформаций необходимо также учесть циклически симметричные деформации с номерами , кратными количеству опор.

Так для пластинки, расположенной на трëх точечных опорах, среди циклически симметричных деформаций останутся лишь гармоники кратные трëм, то есть .

Рис. 2.2. Расчëтная схема пластинки

Ниже будем рассматривать только осесиметричное деформирование круглой пластинки.

Для построения решения в правой части разрешающих дифференциальных уравнений осесимметричных деформаций должны быть учтены составляющие реакций опор, которые для осесимметричных деформаций выражаются через единичную функцию.

В этом случае из уравнения (2.21) получим

, (2.22)

где первое слагаемое в правой части учитывает действие внешней нагрузки , а второе слагаемое учитывает поперечную силу, возникающую от действия реакций опор, при этом левая часть дифференциального уравнения представлена в виде единого дифференциального оператора [7].

Последовательно интегрируя дифференциальное уравнение (2.22) получим:

;

;

;

выражение для угла поворота

; (2.23)

выражение для прогибов

. (2.24)

Произвольная постоянная интегрирования положена равной нулю, поскольку для пластины, не имеющей центрального отверстия, при перемещения должны быть конечными.

Учитывая соотношения теории упругости, связывающие компоненты усилий с компонентами упругого перемещения получаем выражения для изгибающих моментов в радиальном и окружном направлениях [1, 3-5, 9]:

;

.

Тогда уравнения для изгибающих моментов (при ) получим в следующем виде:

;

.

В качестве граничных условий принимаем следующие:

прогиб на опоре равен нулю ;

изгибающие моменты в радиальном направлении на наружном контуре равны нулю .

Используя эти граничные условия определяем постоянные интегрирования и :

;

,

где .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5