Таблица 10
№ | х = f1(t), м | у = f2(t), м | t, с |
1 | 2 | 3 | 4 |
1 | х = 2t | y = 4t2 + 1 | 0,5 |
2 | х = 2sint | y = 4sint | p/4 |
3 | х = sin2t | y = cos 2t | p/6 |
4 | х = 2co t | y = 3sint | p/3 |
5 | x = 3t2 - 2 | y = 2t | 1,5 |
6 | x = 8t2 +3 | y = 2t2 | 0,25 |
7 | x = 4 cos2t | y = 4 sin2t | p/8 |
8 | x = 3sin t | y = 5cos t | p/4 |
9 | x = 3t | y = 6t2 - 4 | 1/3 |
10 | x = 3cos4t | y = 6cos4t + 2 | p/12 |
11 | x = 3sin t | y = 3cos t | p/4 |
12 | x = 2sin2t | y = 4cos2t | p/12 |
13 | x = 3t2 + 5 |
| 1/3 |
14 | x = 2t2 + 1 | y = 4t2 - 2 | 0,5 |
15 |
|
| p/6 |
16 |
|
| p/9 |
17 | x = t2 | y = t4 - 3 | 1 |
18 | x = 4cos 3t - 2 | y = 5cos 3t | p/9 |
19 | x = 6sin2t | y = 6cos2t | p/8 |
20 |
|
| p/6 |
21 | x = 3t + 2 | y = 9t2 | 1/3 |
Продолжение табл. 10 | |||
№ | х = f1(t), м | у = f2(t), м | t, с |
22 | x = 4 t2 - 3 | y = 2 t2 + 1 | 0,5 |
23 |
|
| p/12 |
24 | x = 3cos2t | y = sin2t | p/6 |
25 | x = t3 + 2 | y = 2t6 -4 | 1 |
26 | x = cos2t | y = 3cos2t | p/8 |
27 |
|
| p/9 |
28 |
|
| p/2 |
29 | x = t4 – 2t2 | y = 2t2 | 1/2 |
30 | x = 2sint – 2 | y = 3sint + 3 | p/4 |
Пример № 1
Определение кинематических характеристик точки
при естественном способе задания движения.
Дано: точка движется по заданной криволинейной траектории согласно закону:
S = 4t2 – 2t + 3 м,
радиус кривизны траектории r = 6 м в момент времени t = 1 c.
Определить: скорость и ускорение точки на траектории в данный момент времени.
Решение
 |
Задачу решаем в следующем порядке:
1. Определяем положение точки в данный момент времени:
S = 4 × 12 – 2 × 1 + 3 = 5 (м),
изображаем точку М с дуговой координатой S = 5(м) на траектории (рис. 26).
2. Через точку М проводим естественные оси: t (касательную) и n (главную нормаль). При перемещении точки по траектории эти оси движутся вместе с ней.
3. Определяем алгебраическую величину скорости точки как первую производную от дуговой координаты S по времени и изображаем вектор скорости 
по касательной к оси t:
,
при t = 1 с 
= 8 × 1 – 2 = 6 (м/с).
Так как vM > 0, то направление вектора скорости совпадает с направлением оси t.
4. Определяем ускорение точки М как геометрическую сумму двух ускорений:
,
где аn – нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по направлению:
.
На чертеже 
направляется по главной нормали к центру кривизны траектории.
– касательное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине:
.
На чертеже совпадает с направлением оси t , т. к. его значение 8 > 0.
Полное ускорение 
направлено по диагонали прямоугольника, построенного на векторах и , как на сторонах, поэтому:
.
Ответ: vM = 6 м/с, аМ = 10 м/с2. (Векторы всех ускорений показаны на рис. 26).
Пример 2
Определение кинематических характеристик
точки при координатном способе задания движения.
Дано: точка движется в плоскости согласно уравнениям:
Определить: траекторию, скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 c.
Решение
Задачу решаем в следующем порядке:
1. Изображаем декартову сис-тему координат на плоскости с изображением начала отсчета (рис. 27).
2. Исключая параметр t (вре-мя) из уравнений движения, определяем уравнение траектории в виде у = f(x). Выразим t через х и подставим это выражение в уравне-ние координаты у:
; 
; у = х2 – 1.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке с координатами (0; -1), ветви параболы направлены вверх. В выбранной системе отсчета вычерчиваем траекторию точки.
1. Определяем координаты точки в данный момент времени, подставляя значение t = 1 c в уравнения движения:
х = 2 × 1 = 2 (см) у = 4 × 12 – 1 = 3 (см), М(+2; +3) см.
Изображаем точку М на траектории.
2. Вычисляем значение скорости точки по формуле:
,
где x и y – проекции вектора скорости на соответствующие оси;
(см/с),
, при t = 1 c y = 8 см/с.
.
Вектор 
строится на чертеже по его проекциям x и y. Масштаб: в 1 см – 4 см/с.
Вектор должен быть направлен по касательной к траектории в данной точке, что подтверждает правильность решения.
3. Вычисляем ускорение точки по формуле:
,
где ах и ау – проекции ускорения на соответствующие оси;
;
;
.
Вектор ускорения строится на чертеже по проекциям ах и ау в масштабе: в 1 см – 4 см/с2.
В данной задаче вектор совпал со своей проекцией на ось ау. Все векторы показаны на рис. 27.
Ответ: точка движется по параболе, уравнение которой:
у = 2х2 – 1, M = 8,25 cм/c; aM = 8 cм/c2.
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется механическим движением?
2. Что такое траектория?
3. Как определяется траектория точки при координатном способе задания движения?
4. Что такое скорость точки? Единицы измерения.
5. Как вычисляется скорость точки при естественном и координатном способах задания движения?
6. Как направлен вектор скорости по отношению к траектории?
7. Что такое ускорение? Единицы измерения.
8. Как определить ускорение движения точки при естественном и координатном способах задания движения?
9. Как направлены по отношению к траектории нормальное, касательное и полное ускорения?
10. Физический смысл касательного и нормального ускорений точки.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Тема: Поступательное и вращательное движения твердого тела.
Цель: Освоить определение кинематических характеристик при поступательном и вращательном движениях тела.
Время проведения: 2 часа.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
При поступательном движении любая прямая, проведенная в теле, движется параллельно самой себе. Все точки тела в данный момент имеют геометрически равные скорости и ускорения, траектории всех точек тела одинаковы.
Уравнение равномерного поступатель-ного движения:
s = s0 + × t.
Здесь s – дуговая координата центра тяжести твердого тела.
Уравнения поступательного движения твердого тела, представляют собой уравне-ния движения одной точки – центра тяжести и могут быть заданы тремя способами:
– векторный;
sс = sс(t) – естественный.
Скорость и ускорение любой точки тела определяются из уравнений движения так же, как и в кинематике точки.
При вращательном движении твердого тела прямая, проведенная через две точки, остается неподвижной и называется осью вращения, все остальные точки тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных оси, с центрами, лежащими на оси (рис. 28).
Уравнение вращательного движения:
j = f(t),
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
