Техническая механика. Статика и кинематика (стр. 5 )

Определение центра тяжести плоского сечения.

Найти координаты центра тяжести плоского сложного сечения, если

а = 3 см; b = 4,8 см; d = 6 см; r = 2 см.

РЕШЕНИЕ

1.  Разобъем сложное сечение на четыре простые: 1 – прямоугольник, 2 – квадрат, 3 – треугольник, 4 – круглое отверстие (рис. 19).

2.  Определяем площади простых частей сечения.

3.  Определяем площадь всего сечения:

А = А1.+ А2 + А3 – А4 = 72 +36 + 14,4 – 12,56 = 109,84 см2.

4.  Определяем координаты центров тяжести с1, с2, с3, с4 простых сечений и их площади:

1.  Определяем статические моменты простых частей относительно оси х:

Sкx = Ак ук;

S1x = 72 × 8 =576 см3; S2x = 36 × 3 =108 см3;

S3x = 14,4 × 4 =57,6 см3; S4x = 12,56 × 9 =113,04 см3;

2.  Определяем статический момент всего сечения относительно оси х:

Sx = S1x.+ S2x + S3x – S4x = 576 + 108 + 57,6 – 113,04 = 484,56 см3.

3.  Определяем статические моменты простых частей относительно оси у:

Sку = Ак хк;

S1у = 72 × (-3) =-216 см3; S2у = 36 × 3 =108 см3;

S3у = 14,4 × 7,6 =109,44 см3; S4у = 12,56 × (-3) =-37,68 см3.

4.  Определяем статический момент всего сечения относительно оси у:

Sу = S1у.+ S2x + S3у – S4у = 216 +108 + 109,44 – (-37,68) = 39,12 см3.

5.  Определяем центр тяжести плоского сечения согласно формулам:

.

6.  Обозначим центр тяжести – точку С (0,36; 4,4) см на сечении (рис. 19).

7.  Данные для определения координат центра тяжести всего сечения записываем в табл. 6.

Таблица 6

Примечание: определение координат центра тяжести всего сечения можно определить, используя следующие формулы:

Рис. 19.

Подставим в эти формулы данные из табл. 7 и определим координаты центра тяжести сложного сечения:

Ответ: хс = 0,36 см; ус = 4,41 см.

Пример № 5

Определение центра тяжести сечения,

составленного из профилей проката.

Определить центр тяжести сечения, составленного из швеллера № 12, неравнобокого уголка № 10/6,3 и полосы шириной а = 1 см.

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем составное се-чение на простые сечения – швеллер (рис. 21, а), уголок (рис. 21, б), полосу и определя-ем центры тяжести С1, С2, С3 каждого простого сечения. Составляем следующую табл. 7.

Таблица 7

Центр тяжести швеллера С1 находится на середине высоты швеллера, поэтому:

у1 = -z0 = -1,54 см.

Центр тяжести неравнобокого уголка С2 определяется расстоянием х0 = 1,42 см, у0 = 3,23 см, взятыми из таблицы (Приложение 2 стр. 68). Причем расстояние х0 всегда откладывается вдоль меньшей полки уголка, а расстояние у0 – вдоль большей полки уголка.

Поэтому:

х0 = h – y0 = 12 – 3,23 = 8,77 см,

y0 = х0 = 1,42 см.

Центр тяжести С3 полосы находится на пересечении диагоналей

прямоугольника. Следовательно:

,

.

а) б)

Рис. 21.

2. Определяем центр тяжести всего сечения согласно формулам:

Подставляем в эти формулы данные из последних двух столбцов таблицы и определяем координаты центра тяжести составного сечения:

По этим координатам строим центр тяжести – точку С(8,946; -0,016) см составного сечения.

Ответ: хс = 8,946 см; ус = -0,016 см.

2. Контрольные вопросы

1.  Что такое центр тяжести тела?

2.  Как определяется центр тяжести прямоугольного треугольника?

3.  Что такое статический момент? Единицы измерения.

4.  Как определить статический момент сечения сложной формы?

5.  Формулы для определения координат центра тяжести сечения.

Раздел II «Кинематика»

В разделе «Кинематика» приняты следующие основные обозначения:

x, y, z – координаты точки; v – скорость точки; а – ускорение точки; аt – касательное ускорение точки; аn – нормальное ускорение точки; r – радиус кривизны траектории; j – угол поворота тела; w – угловая скорость тела; e – угловое ускорение тела; мцс – мгновенный центр скоростей;

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Тема: Кинематика точки.

Цель: Изучить способы задания движения точки, научиться определять уравнение траектории точки при координатном способе задания движения, положение точки на траектории в заданный момент времени, а также основные кинематические характеристики движения точки при различных способах задания ее движения.

Время проведения: 2 часа.

1. Основные теоретические положения

Кинематика – это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, без учета сил, определяющих движение.

Основными материальными объектами кинематики, так же как и всей теоретической механики, являются: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело. Первым материальным объектом является материальная точка, кинематика которой и рассматривается в данном учебном пособии.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение. Чтобы кинематически задать движение точки, надо задать ее положение по отношению к выбранной системе отсчета в заданный момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Линия представляющая собой геометрическое место последовательных положений движущейся точки в данной системе отсчета называется траекторией.

По виду траекторий движения точки можно разделить на прямолинейное и криволинейное.

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления вектора скорости точки.

1.1. Способы задания движения точки

1.1.1. Векторный способ задания движения точки.

Положение точки М определяется радиус-вектором , проведенным из некоторого центра «О» (рис. 22). Движение точки М задается уравнением:

.

Скорость точки:

.

Ускорение точки:

.

Траекторией точки является годограф радиус-вектора.

Сравнение способов задания движения и формул для определения кинематических характеристик удобно привести с помощью табл. 8.

Таблица 8

1.1.2. Координатный способ задания движения.

Уравнения движения точки М задаются:

где x, y, z – координаты точки, зависящие от времени (рис. 23).

В данном случае уравнение траектории определяется путем исключения параметра t из уравнений движения. Скорость точки:

,

Вектор всегда направлен по касательной к траектории в данной точке.

Ускорение точки: ,

где , , .

1.1.3. Естественный способ задания движения.

Движение точки задается уравнением:

s = s(t),

где s – дуговая координата точки.

При этом должны быть заданы: траектория точки, начало отсчета и положительное направление дуговой координаты (рис. 25).

Скорость точки: модуль вектора скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени:

, ,

вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Ускорение точки:

,

где – касательное ускорение, ха-

– нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по направлению, направлено по главной нормали к центру кривизны траектории:

,

где r – радиус кривизны траектории.

Тогда полное ускорение точки:

.

Задание 1. Определить скорость и ускорение точки в данный момент времени, исходные данные приведены в табл. 9.

Таблица 9

Задание 2. Определить траекторию, а также скорость и ускорение в данный момент времени, исходные данные приведены в табл. 10.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10