Оценка систематической погрешности результата измерений
Систематические погрешности можно разделить на группы.
Погрешности, природа которых нам известна, а величина может быть достаточнo точно определена, можно учесть при обработке результатов и исключить введением соответствующих поправок (исключенные систематические погрешности). Например, если шкала линейки, которой производили измерение, начиналась не от нуля, то при отсчете нужно ввести соответствующую поправку.
Другую группу составляют погрешности, которые трудно исключить, ибо они зависят от многих факторов: погрешности метода, погрешности средств измерений и других (неисключенные систематические погрешности). Для средств измерений указываются предельные (т. е. максимальные) не исключенные систематические погрешности (приборные) – 
.
Предельная систематическая погрешность (приборная) определяется по классу точности прибора или как половина цены наименьшего деления шкалы прибора, когда не указан класс точности. Погрешность при измерении штангенциркулем или микрометром определяется как половина точности измерения, указанной на приборе. При взвешивании на весах предельная погрешность принимается равной половине массы наименьшей гири в разновесе.
Электромагнитные приборы обычно характеризуются классом точности в пределах от 0,1 до 4,0 (применяются следующие классы точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0). Так, если на приборе указан класс точности 0,5, то это означает, что при каждом измерении допускается погрешность, не большая, чем 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Например, амперметр, шкала которого рассчитана на 500 мА, при классе точности 0,5 дает погрешность в измерении тока не более чем в 0,005´500 мА=2,5 мА, т. е.
=0,01×k×xмакс ,
где k – класс точности прибора; xмакс - предельное (максимальное) значение на шкале прибора (либо данного его диапазона, если прибор многопредельный), называемое пределом измерения прибора. Класс точности указывается на шкале прибора в виде соответствующих цифр (не заключенных в кружок). Если же эти цифры заключены в кружок, то
=0,01×k×xизм ,
где xизм – действительное значение измеряемой величины. Отсюда следует р е к о м е н д а ц и я : выбирать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы (когда класс точности не обведен кружком).
Порядок обработки и форма представления
результатов прямых измерений
1. Определяют среднее арифметическое из результатов измерений:
.
Величину 
принимают за результат измерения.
2. Оценивают среднее квадратичное отклонение результатов измерений
3. Находят случайную погрешность 
, соответствующую заданной доверительной вероятности a :
.
Коэффициент Стьюдента 
находят по таблице с учетом n и a. В лабораторной практике употребляют значения a, равные 0,90; 0,95.
4. Определяют границу неисключенной систематической (приборной) погрешности результата измерений . Если одна из величин или превышает другую в три и более раз, то для дальнейших расчетов используют лишь большую из них. Если же 
, находят полную погрешность:
5. Определяют относительную погрешность
.
6. Результат измерений представляют в стандартной форме:
%.
Косвенные измерения
Погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях искомая физическая величина связана некоторой функциональной зависимостью с рядом независимых друг от друга величин x1, x2, … , xm:
y = F(x1, x2, … , xm).
Величины xi измеряют непосредственно (прямо). Результат измерения каждой из величин хi содержит свою погрешность. И в зависимости от вида функции, связывающей искомую величину y с результатами измерений xi, эти погрешности по-разному влияют на погрешность окончательного результата.
Задача состоит в том, чтобы найти наивероятнейшее значение искомой величины у и оценить погрешность ее измерения. В качестве о ц е н к и величины у принимают величину, которая представляет собой значение функции, соответствующее средним значениям величин 
, т. е.
Результат косвенного измерения также содержит случайную и систематическую погрешности.
Общие правила вычисления погрешностей могут быть выведены с помощью дифференциального исчисления.
Пусть интересующая нас величина y линейно зависит от измеряемой величины x:
y=ax+b. (8)
Здесь а и b – постоянные, точно известные величины. Легко показать, что если х изменить на 
, то y, соответственно, изменится на величину 
, т. е.
. (9)
Если – погрешность измерения, то 
будет погрешностью результата.
В общем случае, если y=F(x), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать (так как 
)
, (10)
где 
– производная по x, взятая при 
.
Из выражения (10) легко получаем относительную погрешность
,
где F() – есть значение у при ; 
– производная по x, взятая при .
Если у – функция многих измеряемых величин 
т. е. y=F(x1, x2, ... , xn), то
(11)
где 
и т. д. – есть частные производные от F по x1, x2, ... , xn. В математике правая часть выражения (11) называется полным дифференциалом функции нескольких независимых переменных, а слагаемые 
, из которых он состоит – частными дифференциалами.
Но расчет по формуле (11) дал бы з а в ы ш е н н о е значение погрешности , так как он не учитывает знак погрешностей. В действительности погрешности разных знаков частично компенсируют друг друга и погрешность результата (при той же надежности) будет меньше рассчитанной по формуле (11). Теория вероятности дает следующий метод вычисления погрешности функции:
, (12)
или в общем виде
.
(13)
Относительная погрешность результата
. (14)
Так как
то для относительной погрешности получаем
. (15)
Из (15) или (14) вытекает последовательность операций для определения относительной погрешности.
П р и м е р. Экспериментально определяем плотность вещества
где m – масса тела в форме цилиндра; l – длина цилиндра; D – диаметр цилиндра; m, l, D измеряются непосредственно и имеют погрешности 
p – не измеряется, но берется с некоторым приближением 
. Требуется определить 
.
Удобнее сначала определить относительную погрешность 
по формуле (15). Для этого необходимо выполнить следующее.
1. Прологарифмировать функцию 
:
.
2. Взять частные производные от 
по m, l, p, D:
3. Подставить полученные частные производные в выражение (15) и записать относительную погрешность результата:
Здесь полезно оценить вклад в общий результат погрешностей прямых измерений. Если, например, 
окажется значительно меньше максимальной погрешности, то ее можно отбросить. Вообще, при вычислении 
смело можно отбрасывать погрешности, не превышающие 
от максимальной. При этом вычисления упрощаются и становится очевидным, какие измерения надо производить более тщательно.
4. Определить абсолютную погрешность результата:
(16)
Погрешности в случае простейших функций. Если косвенно измеряемая величина выражается простейшей функцией, то используя указанный метод, можно вывести следующие зависимости для определения погрешностей:
если 
или 
, то из формулы (13) получим
если 
или 
, где а - постоянная величина, то из формулы (14) или (15) получается
если 
, где а - постоянная величина, то
если 
, где а - постоянная величина, то
П р и м е р: 
.
Пользуясь указанными соотношениями, легко определить абсолютную погрешность не прибегая к дифференцированию:
Обратите внимание, что в этом примере, как и в трех последних зависимостях, постоянный множитель a (здесь 
) не входит в формулу погрешности.
Порядок обработки и форма представления
результатов косвенных измерений
1. Результаты измерений каждой из величин хi обрабатывают как прямые измерения и представляют в стандартной форме:
, 
%.
2. Пользуясь средними значениями величин , находят оценку значения результата косвенного измерения 
3. Пользуясь соотношением (14) или (15), или зависимостями для определения погрешностей косвенных величин, выражаемых простейшими функциями, описанными выше, вычисляют величину и находят . Можно просто пользоваться формулой (13).
4. Результат косвенного измерения представляют в стандартной форме:
, 
%.
Графическое представление результатов измерений
Построение и оформление графиков
Часто в эксперименте изучается зависимость одной величины от другой, тогда результаты измерений могут быть представлены графически. Графики дают наглядное представление о виде функциональной зависимости, выявляют многие ее важные свойства и особенности. При построении графиков руководствуются следующими правилами.
1. По оси абсцисс всегда откладывают ту величину, которая является причиной изменения другой (т. е. аргумент). По оси ординат откладывают функцию.
2. Для каждой из величин определяют диапазон в котором она изменяется и затем подбирают масштаб, в котором эта величина будет изображаться на оси. Масштаб должен быть простым, шкала должна легко читаться, т. е. единица масштаба должна соответствовать ”круглому” числу измеряемой величины (1, 2, 5, 10 или те же цифры, умноженные на 10
). Масштаб должен быть таким, чтобы погрешность измерений представлялась на графике отрезком заметной длины. Единица масштаба должна равняться ”круглому” числу миллиметров (1, 2, 5, 10 и т. п.) чтобы легко можно было откладывать десятые и сотые доли.
3. На каждой оси графика обязательно наносят шкалу с ”круглыми” числами измеряемой величины.
4. На осях графика следует указывать название (или символ) и единицы измерения величин.
5. Экспериментальные результаты представляют на графике в виде точек, обводя их кружком или другим знаком (D,O,+). Точки, относящиеся к различным группам опытов, обозначают разными знаками. Погрешности указывают для одной или для обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал (рис. 1).
Чтобы не загромождать график, делают это в следующих случаях: при построении кривой по экспериментальным точкам; при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой.
6. В соответствии с экспериментальными точками проводят ”наилучшую” кривую, проходящую через доверительные интервалы возможно ближе к экспериментальным точкам. Не следует соединять точки ломаной линией. Обычно физические зависимости соответствуют гладким, плавно меняющимся функциям. На каждом участке графика точки должны располагаться примерно поровну по обеим сторонам кривой. При построении кривой следует учитывать погрешности измерений.
7. Графики снабжают заголовками и пояснениями, содержащими точное и краткое описание того, что показывает график. Заголовок и пояснения располагают под графиком или на самом графике – на свободном от кривых и экспериментальных точек месте.
Графический анализ данных
Сравнение с теорией. Для проверки теоретической зависимости на график наносят экспериментальные точки с указанием погрешностей, а также строят теоретическую кривую. В зависимости от того, пройдет ли кривая через доверительные интервалы экспериментальных точек, результаты эксперимента признают согласующимися (а) или несогласующимися (б) с теорией (рис. 2).
Рис. 2
Подбор параметров. Часто экспериментально определяются величины х и у, связанные функциональной зависимостью
Вид функции f(x) бывает обычно известен из теоретических соображений, а параметры 
определяются по результатам эксперимента. В случае линейной зависимости есть простые приемы нахождения параметров, позволяющие построить ''наилучшую'' прямую. Пусть между хi и уi предполагается линейная зависимость 
и требуется определить параметры k и b, наиболее соответствующие результатам измерений.
Для приближенного определения параметров нужно нанести экспериментальные точки на график и провести прямую так, чтобы по обе стороны от нее оказалось одинаковое количество точек и отклонения точек от прямой были бы минимальны. Угловой коэффициент k определяется из графика или вычисляется через координаты крайних экспериментальных точек:
Погрешность находят по формуле
где 
у – погрешность в определении у. Если погрешность измерения у неизвестна, в качестве у следует взять наибольшее отклонение точек от проведенной прямой. Для более точного определения k воспользуемся методом парных точек. Пронумеруем экспериментальные точки (рис.3), возьмем две из них, например 1 и 4, проведем через них прямую. Эта прямая имеет угловой коэффициент
Рис. 3
Возьмем другую пару точек – 2 и 5, снова построим прямую и определим ее угловой коэффициент k2. Проведя таким образом еще несколько прямых, получим набор значений угловых коэффициентов. Их среднее значение даст угловой коэффициент k искомой прямой, которая и будет ''наилучшей''. Погрешность k определяется так же, как и погрешность среднего значения серии измерений.
Точки для проведения вспомогательных прямых следует выбирать так, чтобы расстояния между координатами хi этих точек были для всех прямых одинаковыми и немного превышали половину всего интервала значений величины х. При этом точность определения k будет наибольшей.
Вспомогательные прямые на графике обычно не проводят, а ограничиваются лишь вычислением угловых коэффициентов. На графике строят только ''наилучшую'' прямую.
Для нахождения b нужно учесть, что наилучшая прямая должна проходить через центр тяжести экспериментальных точек, т. е. через точку с координатами
Из уравнения прямой находим
При построении наилучшей прямой измеренные значения х обычно считают точными. Тогда погрешность определения b
В качестве грубой оценки 
используем максимальное отклонение точек от проведенной прямой.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
