Уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле

3.8. Уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле

Стационарным состояниям (с определенной энергией) отвечают решения уравнения Шредингера (3.52), зависящие от времени по гармоническому закону (3.53). (Здесь и далее для удобства записи формул использована атомная система единиц, где qe=me=h=1). Координатная часть волновой функции для таких состояний удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера (3.54). Входящий в уравнение Шредингера оператор Лапласа в сферических координатах разделяется на слагаемые, зависящие от расстояния и от углов. Зависящую от углов часть удобно выразить через оператор квадрата момента количества движения (3.55).

Дифференциальное уравнение (3решается в сферических координатах методом разделения переменных. В качестве зависящего от углов множителя удобно выбрать шаровую функцию, являющуюся собственной функцией оператора квадрата момента импульса (3.56). Для радиальной части волновой функции получается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее неизвестное собственное значение энергии (3.57). Последнее следует подбирать так, чтобы получающаяся в результате решения этого уравнения волновая функция оказывалась нормируемой, т. е. достаточно быстро убывала на бесконечности.

При решении задачи (3.57) на отыскание собственных значений энергии атома водорода и соответствующих им волновых функций Нужное поведение волновой функции достигается лишь при определенных дискретных значениях энергии W, в точности совпадающих с величинами, получавшимися в рамках модели Резерфорда - Бора (3.5

Основанное на современной квантовомеханической теории решение имеет ряд преимуществ перед полуклассической планетарной моделью:

·  Позволяет найти волновые функции стационарных состояний, необходимые для расчета вероятностей радиационных переходов (3.

·  Позволяет существенно уточнить полученные решения путем учета магнитные взаимодействий и релятивистских поправок.

·  Позволяет аналогичным образом (но не аналитически, а численно) решить задачу о нахождении энергетических спектров многоатомных атомов и молекул.

Полный расчет энергий и волновых функций атома водорода осуществляется в результате решения уравнения Шредингера для частицы в кулоновском поле. Возникающие при этом собственные значения энергии полностью совпадают с энергиями электрона на боровских орбитах, вычисляемыми в рамках полуклассической планетарной модели Резерфорда-Бора. Строгий квантовомеханических расчет атома водорода оказывается более предпочтительным, поскольку дает дополнительную информацию, необходимую для вычисления вероятностей спонтанного излучения, и позволяет существенно повысить качество результатов расчета энергий за счет учета магнитных взаимодействий в атоме и релятивистских поправок.