Электричество и магнетизм

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО и МАГНЕТИЗМ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Введение

Электромагнитные взаимодействия в природе

Электрический заряд и его свойства

Свойства электрических зарядов:

1. Наличие двух типов зарядов

2. Квантование (дискретность) заряда

3. Закон сохранения заряда

4. Инвариантность заряда

Глава 1. Электростатическое поле в вакууме

1. Закон Кулона

Формулировка: два заряженных тела взаимодействуют с силой, пропорциональной зарядам этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Замечания к приведенной формулировке закона:

o  Выполняется только для точечных зарядов

o  Коэффициент пропорциональности:

o  Направление и точка приложения силы

Точечный заряд – модель заряженного тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором оно рассматривается.

2. Электрическое поле

Каждый заряд является источником электрического поля.

Обнаружить поле – внести заряд и обнаружить действие на него.

Пробный заряд:

1. Точечный

2. Положительный

3. Малый по величине

3. Напряженность электрического поля

Напряженность – сила, которая действует на единичный положительный заряд со стороны электрического поля

Заряд не создает поле, а только служит для его изучения.

Напряженность – однозначная силовая характеристика поля.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q, на расстоянии r:

.

Единицы измерения: [Е] =В/м.

4. Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции: электрическое поле системы источников определяется как суперпозиция полей, создаваемых отдельными источниками, причем поле любого источника не зависит от наличия других источников.

.

Любое поле может быть представлено как суперпозиция других полей.

Объемная плотность заряда:

.

Поверхностную плотность заряда

,

Линейная плотность зарядов:

Напряженность поля, создаваемого произвольной системой зарядов:

5. Линии вектора напряженности

Силовые линии (линии напряженности электрического поля) – линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением напряженности электрического поля.

Силовые линии обладают следующими характеристиками:

1. Однозначность

2. Направленность

Принято, что силовые линии выходят из положительных зарядов и сходятся на отрицательных зарядах.

3. Плотность силовых линий – число силовых линий, проходящих через площадку, перпендикулярную силовым линиям – равна модулю напряженности.

6. Поток вектора напряженности

Потоком вектора напряженности через некоторую поверхность S называется скалярная физическая величина, численно равная:

Иногда вводят вектор:

Единицы измерения:

7. Теорема Остроградского-Гаусса

Формулировка: Поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на .

8. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

Устанавливает связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.

Математическое определение дивергенции:

Оператор набла (оператор Гамильтона):

Математическая формулировка дифференциальной формы теоремы Остроградского-Гаусса:

Источниками электрического поля являются только электрические заряды.

Дивергенция является мерой возникновения и исчезновения силовых линий.

9. Работа сил электростатического поля по перемещению заряда

В поле точечного заряда q рассмотрим точечный заряд q’ и определим работу по перемещению заряда q’ из точки 1 в точку 2:

Работа сил электростатического поля не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением перемещаемого заряда.

Поле, работа сил которого не зависит от траектории, называется потенциальным. Таким образом, все электростатические поля являются потенциальными.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля: циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

.

10. Потенциал электростатического поля

Потенциалом точки электростатического поля называется скалярная физическая величина, численно равная работе сил поля по перемещению единичного, положительного заряда из этой в бесконечно удаленную точку:

Работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую:

Потенциал поля точечного заряда:

Для потенциала выполняется принцип суперпозиции: потенциал точки поля, создаваемого системой зарядов, определяется суммой потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, причем потенциал поля любого источника не зависит от потенциалов полей других источников:

Поверхность, которая описывается уравнением

называется эквипотенциальной.

Свойства эквипотенциальных поверхностей:

1. Для того чтобы поверхность была эквипотенциальной необходимо и достаточно, чтобы работа по перемещению положительного пробного заряда для любых двух точек поверхности была равна нулю.

2. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям в точках пересечения.

Следствие Эквипотенциальные поверхности одного и того же поля пересекаться не могут.

3. Поверхность заряженного проводника с установившимся распределением заряда является эквипотенциальной.

11. Связь вектора напряженности и потенциала электрического поля

Вектор напряженности всегда направлен в сторону максимального убывания потенциала.

12. Поле электрического диполя

Классический электрический диполь – совокупность двух точечных зарядов, одинаковых по величине, но противоположных по знаку, разнесенных на расстояние, которое мало по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается диполь.

Плечом диполя называется вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному.

Дипольным моментом называется вектор равный произведению модуля заряда на плечо диполя:

.

Потенциал любой точки поля, создаваемого диполем:

Потенциал поля диполя в данной точке полностью определяется его дипольным моментом.

13. Диполь в электрическом поле

Однородное электрическое поле

На диполь, помещенный в однородное электростатическое поле, действует пара сил, которая приводит к появлению вращающего момента:

Положение, при котором диполь параллелен линиям напряженности – устойчивое, и свободный диполь в однородном электрическом поле будет располагаться вдоль линий напряженности.

Неоднородное электрическое поле

Под действием пары сил диполь будет поворачиваться, а его центр будет перемещаться в область более сильного поля.

Глава 2 Электростатическое поле

при наличии проводников и диэлектриков

14. Электрическое поле заряженного проводника произвольной формы

Проводник – это модель вещества, которую можно представить в виде некоторой ограниченной области пространства, в которой заряженное тело будет двигаться под действием любой бесконечно малой электрической силы.

Отличительным свойством проводника является наличие свободных носителей заряда (при этом сам проводник электронейтрален).

Заряженный проводник можно рассматривать как некий эквипотенциальный объем.

Напряженность электрического поля внутри проводника равна 0.

Напряженность вблизи поверхности проводника:

.

Плотность зарядов на поверхности заряженного проводника больше там, где меньше радиус кривизны поверхности проводника, и для любого проводника верно:

.

15. Электростатическая индукция

Явление перераспределения свободных зарядов в проводнике во внешнем поле называется электростатической индукцией.

Заряды, которые появляются на поверхности проводника во внешнем электрическом поле, называются индукционными.

16. Электрическая емкость проводника и системы проводников

Коэффициент пропорциональности, который определяет отношение заряда к потенциалу проводника, называется электрической емкостью (электроемкостью) уединенного проводника:

Электрическая емкость уединенного проводящего шара радиусом R:

.

Емкость - однозначная «геометрическая» характеристика проводника.

Емкость системы двух или нескольких проводников называется взаимной емкостью.

Взаимной емкостью двух проводников называется величина, численно равная заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой, чтобы разность потенциалов между ними изменилась на 1 В:

.

Система из двух проводников будет обладать максимальной емкостью, если один из них заряжен положительно, а другой отрицательно. Такую систему называют конденсатором.

Емкость конденсатора:

.

По форме проводников, образующих конденсатор, их называют:

– плоскими;

– сферическими;

– цилиндрическими.

Электроемкость плоского воздушного конденсатора:

Параллельное и последовательное соединения конденсаторов:

При последовательном соединении конденсаторы включаются в цепь друг за другом и соединяются разноименно заряженные обкладки:

;

.

При параллельном подключении конденсаторов соединяются между собой одноименно заряженные обкладки:

.

17. Классификация диэлектриков

Диэлектрик – модель вещества, в котором не происходит перемещения зарядов под действием постоянного электрического поля. В рамках модели в диэлектрике нет свободных, несвязанных зарядов, которые могут перемещаться под действием бесконечно малой силы. Заряды в диэлектрике перемещаются только в пределах атомов и молекул.

1. Неполярные диэлектрики – такие диэлектрики, атомы и молекулы которых в исходном состоянии, не обладают дипольным моментом,

2. Полярные диэлектрики – это вещества, атомы и молекулы которых в исходном состоянии, обладают дипольным моментом, т. е. являются полярными.

3. Ионные кристаллы – такие кристаллы, которые можно рассматривать как систему двух подрешеток из положительных и отрицательных ионов.

4. Диэлектриков со специфическими свойствами: пьезоэлектрики, пироэлектрики и сегнетоэлектрики.

18. Качественные механизмы поляризации диэлектриков

Поляризацией диэлектрика называется явление ориентации или появления диполей под действием электрического поля.

В случае полярных диэлектриков наблюдается ориентационная поляризация.

В случае неполярных диэлектриков у молекул под действием внешнего электрического поля появляется индуцированный дипольный момент.

19. Вектор поляризованности и связанные заряды

Вектором поляризованности (его еще называют вектором поляризации) называется дипольный момент единичного объема:

Заряды, появляющиеся на поверхности диэлектрика во внешнем электрическом поле, называются связанными.

Для любой точки диэлектрика верно равенство:

.

В неоднородных диэлектриках или в неоднородных полях могут возникать связанные заряды и внутри объема диэлектрика:

.

20. Описание электростатического поля в диэлектриках

20.1 Диэлектрическая восприимчивость,

диэлектрическая проницаемость, вектор смещения

Рассмотрим однородный диэлектрик, помещенный в однородное электростатическое поле перпендикулярно линиям напряженности этого поля.

Тогда поле внутри диэлектрика определяется суперпозицией двух полей – внешнего поля и поля, создаваемого связанными зарядами:

.

Если внешнее поле гораздо меньше внутриатомных полей, то, как показывает опыт, зависимость линейная:

,

где – диэлектрическая восприимчивость.

Диэлектрическая проницаемость – число, показывающее во сколько раз напряженность поля в вакууме больше напряженности поля в диэлектрике:

.

Поле внутри диэлектрика ослабляется, следовательно, меняется плотность (густота) силовых линий, значит на поверхности диэлектрика силовые линии терпят разрыв.

Вводят новую векторную физическую величину, линии которой диэлектрик разрывать не будет – вектор электрического смещения:

.

20.2 Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков

Теорема Остроградского-Гаусса для вектора смещения в интегральной форме:

В дифференциальной форме теорема будет выглядеть следующим образом:

.

20.3 Граничные условия в диэлектриках

Рассмотрим границу раздела двух однородных изотропных диэлектриков, находящихся в однородном электрическом поле. Пусть на границе раздела нет сторонних зарядов, нормаль направлена от первого диэлектрика ко второму, а вектор напряженности составляет с нормалью в первом диэлектрике некоторый угол , а во втором – другой угол . Диэлектрическая проницаемость первого диэлектрика , а второго диэлектрика – .

Точечное граничное условие для тангенциальных составляющих напряженности:

.

Граничное условие для вектора смещения записывается в виде:

.

Граничное условие для нормальных составляющих:

или

.

Изменение направления векторов напряженности и смещения описывается следующим условием:

.

21. Сегнетоэлектрики

Основные свойства сегнетоэлектриков:

1. Диэлектрическая проницаемость ε >> 1 (следовательно и диэлектрическая восприимчивость >> 1).

2. Диэлектрическая проницаемость является нелинейной функцией напряженности электрического поля: .

3. Свойство памяти

4. Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость являются функциями температуры: и .

Свойства сегнетоэлектриков связаны с существованием доменов – макроскопических областей (~ мм) спонтанной поляризации.

Глава 3 Энергетика электростатических процессов

24. Энергия взаимодействия системы неподвижных зарядов

(потенциальная энергия системы зарядов)

1. Система из двух неподвижных точечных зарядов

Энергию взаимодействия пары точечных зарядов можно представить в виде суммы двух равнозначных слагаемых:

.

2. Система из трех точечных зарядов

Энергия системы, состоящей из трех зафиксированных зарядов, может быть представлена в следующем виде:

.

3. Система из произвольного числа точечных зарядов

По индукции распространим полученное решение на систему n фиксированных зарядов:

Выражение для потенциальной энергии системы зарядов может быть записано в более простом виде:

.

25. Энергия системы непрерывно распределенных зарядов:

Полная энергия системы зарядов:

.

Энергия заряженного проводника:

.

26. Энергия электростатического поля

Энергия электростатического поля:

,

Объемная плотность энергии:

.

Глава 4 Стационарный электрический ток

27. Сила тока и плотность тока

Электрический ток – направленный перенос заряда. В общем случае этот перенос не связан с движением зарядов.

Сила тока:

.

За направление тока условно принято направление движения положительных зарядов.

Линия тока – траектория, вдоль которой дрейфуют, т. е. движутся упорядочено, свободные заряды.

Геометрическое место точек, ограниченное линиями тока, называется трубкой тока.

Плотность тока – векторная физическая величина, модуль которой определяется силой тока, протекающей через единичную площадку, перпендикулярную скорости направленного движения зарядов:

.

Направление вектора плотности тока, которое совпадает с направлением скорости дрейфа положительных носителей заряда:

.

28. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности в интегральной форме:

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме:

.

Для постоянного тока линии тока являются непрерывными и замкнутыми.

Условия стационарности тока в интегральной и дифференциальной формах:

,

.

29. Законы постоянного тока

1. Закон Ома:

.

Если проводник круглого сечения (цилиндр):

.

Для металлов , для полупроводников , для диэлектриков .

Закон Ома в дифференциальной форме:

.

2. Закон Джоуля-Ленца:

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

30. Условия существования стационарного тока. Электродвижущая сила

Условия существования стационарного тока:

1. Наличие свободных носителей заряда

2. Создание замкнутой цепи

3. Наличие ненулевой ЭДС

работа сторонних сил по перемещению единичного пробного заряда по замкнутому контуру – циркуляция вектора напряженности сторонних сил по замкнутому контуру

.