;

·  в зависимости от формы сечения определяются размеры сечения:

·  для сечения простой формы с использованием соответствующих формул (табл. 1);

·  для проката по таблицам ГОСТа назначается номер профиля.

Примечание: если сечение состоит из 2-х швеллеров (рис. 15), то прежде, чем обратиться к таблице, необходимо определить момент сопротивления одного швеллера:

.

3.  Определение несущей способности балки:

·  определяют величину допускаемого изгибающего момента:

M £ [s] × Wx;

·  в соответствии с эпюрой – изгибающего момента, построенной для заданной расчетной схемы балки определяют требуемую величину нагрузок.

1.9. Перемещения и расчет на жесткость

При изгибе балки различают два вида перемещений (рис. 16).

1. 

Наибольшее линейное перемещение называется стрелой прогиба и обозначается f.

2.  Угловое перемещение (угол поворота) φ(q) – это угол, на который поперечное сечение балки поворачивается по отношению к своему первоначальному положению.

Считается положительным, если поворот сечения происходит против часовой стрелки и отрицательным, если по часовой.

Расчет на жесткость (проверочный) связан с определением максимального прогиба и осуществляется по условию:

f £ [f],

где f – стрела прогиба;

[f] - допускаемый прогиб, значение которого зависит от назначения элемента конструкции и задается в долях пролета, например для

валов и осей:

,

где l – пролет балки (вала).

В случае нагружения балки различными видами нагрузок для определения стрелы прогиба поступают следующим образом.

С помощью универсального уравнения упругой линии балки (выражение *) определяют прогибы в характерных сечениях балки и строят по этим значениям упругую линию балки, из которой очевидно в каком сечении центр тяжести имеет наибольшее перемещение.

Построение линии прогиба осуществляется следующим образом, от нулевой линии откладывают значение найденных прогибов в соответствии со знаком и полученные точки соединяют плавной кривой, то есть изогнутая ось балки не должна иметь изломов.

1.10. Универсальное уравнение упругой линии балки

*

где y0, j0 – прогиб и угол поворота в начале координат (на левом или правом конце балки) – начальные параметры, далее см. рис. 17;

z – расстояние от начала координат до сечения, в котором определяется прогиб.

a, b, c – расстояния от начала координат до сечения, где приложена соответствующая нагрузка, т. е. выражения в круглых скобках, есть расстояние от нагрузки до рассматриваемого сечения.

Примечание: знак «плюс», «минус» перед слагаемыми, содержащими нагрузку, в правой части уравнения выбирается в соответствии со знаком изгибающего момента для данного вида нагрузки в рассматриваемом сечении:

·  если распределенная нагрузка не доходит до сечения, в котором определяется прогиб, то ее следует продолжить до этого сечения, одновременно добавив компенсирующую распределенную нагрузку противоположного направления.

·  учитывать нагрузки только по одну сторону от рассматриваемого сечения;

·  в случае, если начальные параметры y0 и j0 не равны нулю, необходимо их определить, использовав условие равенства нулю прогибов на опоре.

2. Пример расчета статически определимой балки

Исходные данные (рис. 18):

Требуется:

6.  Определить значения нормальных и касательных напряжений в характерных точках сечения балки, где действует одновременно значительные по величине Q и M и построить их эпюры для сложного сечения.

7.  Определить главные и экстремальные касательные напряжения в тех же точках балки и построить их эпюры для сложного сечения.

8.  Произвести полную проверку прочности балки.

9.  Определить прогибы в заданных сечениях балки и построить линию прогибов для двутаврового сечения.

10.  Сделать заключение о жесткости балки.

Расчет статически определимой балки:

1. Определение опорных реакций (рис. 20 а):

ΣmA = 0; F × 2 + q × 4 × 2 - VB × 6 – m = 0;

ΣmB = 0; VA × 6 – F × 4 – q × 4 × 4 – m = 0;

;

Проверка:

ΣY = VA – q × 4 – F + VB = 30 – 80 – 30 + 80 = 0.

2.  Определение поперечных сил (рис. 20 б):

; ;

;

Qd = -VB = -30 кН; .

3.  Определение изгибающих моментов (рис. 20 в):

; ;

ME = (VB × 2,5) – (q × 2,5 × 1,25) – F × 0,5 = 200 – 62,5 – 15 = 122,5 кН×м;

MД = VB × 2 + m = 60 + 40 = 100 кН×м; .

4.  Определение опасных сечений балки и расчет на прочность:

·  точка Е – опасное сечение, где действует Мmax = 122,5 кН×м;

·  точка А – сечение, где действует Qmax = 80,0 кН;

·  точка С – сечение, где действуют значительные по величине

Q = 40 кН и М = 120 кН×м;

·  определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:

; ;

·  определяем размеры поперечного сечения.

а) Прямоугольное сечение:

;

;

b = 10,5 см; h = 21 см; А = В × h = 10,5 × 21 = 220,5 см.

б) Круглое сечение:

;

.

в) Кольцевое сечение:

; ;

откуда

см;

D = 23,4 см; d = 0,8 × D = 0,8 × 23,4 = 18,72 см;

см;

А = 154,7 см2.

г) Двутавровое сечение по таблице сортамента:

I № 36, Wx = 743 см3.

Проверим прочность балки.

МПа.

Оставляем I № 36, т. к. перегрузка меньше 5% А = 61,9 см2.

д) Сечение из двух швеллеров.

Определяем момент сопротивления швеллера:

см3.

По таблице ГОСТа швеллер № 30, Wx = 387 см3.

А = 2 × Ас = 2 × 40,5 = 81 см2.

Проверяем прочность балок по касательным напряжениям.

а) Прямоугольное сечение:

МПа;

.

б) Круглое сечение:

МПа;

τmax = 3,46< [τ] МПа.

в) Кольцевое сечение:

МПа.

τmax = 10,34 ≤ [τ] МПа.

г) Двутавровое сечение:

МПа.

τmax = 33,7 < [τ] МПа.

д) Сечение из двух швеллеров:

МПа.

τmax = 23,7 < [τ] МПа.

Вывод: Прочность балок по касательным напряжениям обеспечена.

5. Подбор сечения сложной формы (рис. 21).

Разбиваем сечения на простые части.

·  Определяем площади составных частей:

А1 = 2t × 4t = 8t2;

А2 = A3 = 4t2.

·  Определяем площадь всего сечения:

А = А1 + 2A2 = 8t2 + 4t2 = 16t2.

·  Обозначаем центры тяжести составных частей. Проводим вспомогательную ось Х1:

·  Определяем расстояния от точек С1, С2, и С3 до оси Х1:

Yct = 0; Yc2 = Yc3 = 3t.

·  Определяем статистические моменты составных частей относительно оси Х1:

.

·  Определяем статистический момент всего сечения относительно оси Х1:

.

·  Определяем расстояние от центра тяжести всего сечения до оси Х1:

.

·  Определяем главные центральные моменты инерции составных частей сечения:

;

.

·  Определяем расстояние между осями:

Х - Х1; Х - Х2; Х - Х3;

a1.= 4c = 1,5t; a2 = Yc2 - Yc = 3t – 1,5t = 1,5t; a3 = a2 = 1,5t.

·  Определяем моменты инерции составных частей сечения относительно оси Х.

·  Определяем момент инерции всего сечения относительно оси Х:

·  Определяем расстояние от оси Х до наиболее удаленной точки сечения:

Ymax = 6t – t – Yc = 5t – 1,5t = 3,5t.

·  Определяем момент сопротивления сечения относительно оси Х:

.

·  Определяем размер t сечения:

см; t = 3,8 см;

A = 16t2 = 16 × 3,82 = 16 × 14,44 = 231,04 см.

·  Проверяем прочность по касательным напряжениям:

.

tmax< [τ] = 90 МПа.

Прочность балки обеспечена.

·  Заключение о рациональной форме сечений.

Таблица 2

Наиболее рациональным является сечение в форме I, т. к. имеет наименьшую по сравнению с другими сечениями площадь.

6. Определение напряжений:

6.1. Определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки (точка С):

Qy = 40 кН; Мх = 120 кН×м;

;

;

sa = -44б,3 × 3,5 = -155 МПа; σв = 0; σс=44,3 × 0,5 = +22,1 Мпа;

σd = 44,3 × 2,5 = 110,75 Мпа.

6.2. Определяем касательные напряжения:

;

;

ta = ta = 0.

Мпа.

Точка С:

;

Мпа;

Мпа.

6.3. Определяем главные напряжения:

.

Точка а: σmax = 0 × σmin = -155 Мпа.

Точка в: σmax = τb = 3,43 Мпа; σmin = -3,43 Мпа.

Точка с (выше):

smax = 11,05 + 12,03 = 23,08 Мпа; smin = 11,05 – 13,03 = -0,98 Мпа.

Точка С (ниже):

σmax = 11,05 + 11,08 = 22,13 Мпа;

σmin = 11,05 – 11,08 = -0,03 Мпа.

Точка d: σmax = 11,05 Мпа, σmin = 0.

6.4. Определяем экстремальные касательные напряжения:

;

Точка а: МПа.

Точка в: МПа.

Точка с: (выше) МПа;

Точка с: (ниже) МПа.

Точка d: МПа.

6.5. Графическое определение главных напряжений:

Таблица напряжений

Строим эпюры напряжений рис. 23.

7. Расчет на жесткость двутавровой балки:

7.1.  Определяем величину E × Jx × φ0 из условия Vb = 0, z = 6 м:

;

;

;

(E × Jx × j0 × 6) + (80 × 36) – (5 × 216) + 13,2 – (5 × 64) = 0;

кН×м2;

кН м2.

7.2. Определяем прогибы в характерных сечениях балки:

VA = 0;

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3