НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Балтийский государственный технический университет “Военмех”

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2005

УДК(51:53+517.927.2)(075.8)

Р93

А.

Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / ; Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 20с.

Пособие соответствует курсу «Методы математической физики», который читается для специальностей «Приборы и системы лучевой энергетики» и «Триботехника». В нем рассмотрены начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных, возникающие при изучении различных физических проблем. Излагаются основные методы решения таких задач, дается физическая интерпретация решений. Теоретические сведения сопровождаются упражнениями, в конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов инженерно-физических специальностей технических вузов.

УДК(51:53+517.927.2)(075.8)

Рецензент: зав. каф. прикладной математики и информатики БГТУ д-р физ.-мат. наук, проф.

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета

© , 2005

© БГТУ, 2005

Введение

Современная математическая физика представляет собой довольно обширную научную область. Данный курс лекций в основном ограничивается той ее частью, которая связана с решением дифференциальных уравнений в частных производных, иначе их называют уравнениями математической физики. Различные области физики, описывающие совершенно несхожие по своей физической сущности явления, используют один и тот же математический аппарат – аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. Математические вопросы оказываются почти одинаковыми, изучаем ли мы сигнал радара, распространение звуковой волны в жидкости или поле бесспиновых частиц. Таково удивительное свойство природы, некое математическое единство различных ее проявлений.

Курс уравнений с частными производными существенно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в нем изучаются далеко не все уравнения, которые можно написать, используя значки и т. п. Общей теории дифференциальных уравнений в частных производных не существует. Мы ограничимся совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений, но выбор этих примеров не случаен – это типичные представители задач, возникающих при изучении явлений природы. Нужно сразу запомнить, что уравнения, различающиеся, на первый взгляд, совсем несущественно, могут обладать очень разными свойствами и для них будут естественными разные задачи.

Таким образом, наша цель – рассмотреть основные физические ситуации, выяснить, к каким математическим задачам они приводят, решить эти задачи и исследовать физические следствия полученных решений. Наши рассуждения при этом не всегда будут строгими с точки зрения математика, мы будем оставаться на физическом уровне строгости и только постараемся отмечать пробелы в наших рассуждениях.

В настоящем пособии подробно рассматриваются постановка физических задач и различные методы их решения для случая одномерного пространства, когда независимыми переменными в уравнениях являются время t и одна пространственная переменная x. Волновое уравнение в этом случае переходит в уравнение струны. Такое упрощение значительно сокращает математические выкладки и позволяет сосредоточиться на смысловой стороне проблемы.

Для сокращения записи в дальнейшем используются следующие аббревиатуры: ДУ – дифференциальное уравнение, ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение, НКЗ – начально-краевая задача, КЗ – краевая задача, НУ – начальные условия, ГУ – граничные условия, с/ф – собственные функции, с/з – собственные значения. Частные производные, как правило, обозначаются нижними индексами, например: , , .

В тексте пособия содержатся упражнения, выполнение которых обязательно для понимания темы. В заключительной части помещены задачи для практических занятий и самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов III курса, владеющих аппаратом дифференциального и интегрального исчисления, обыкновенными дифференциальными уравнениями, а также знакомых с курсом общей физики.

§1. Вывод уравнения колебаний струны, постановка задач

Вывод уравнения. Струна – гибкая тонкая нить или проволока (струна фортепиано, скрипки, арфы). Будем считать, что она находится под действием сильного натяжения T0 и в состоянии равновесия без внешнего воздействия вытянута вдоль оси x. Если вывести струну из положения равновесия или подвергнуть действию внешней силы, она начнет колебаться, произвольная точка A в момент t займет положение (рис. 1). Будем рассматривать только малые поперечные колебания струны и считать, что они происходят в одной плоскости, т. е. все точки струны движутся вдоль оси y. Описать движение струны − значит задать функцию .

Рис.1

Обозначим через линейную плотность внешней силы, − линейную плотность струны, , здесь dm – масса элемента dx. Выделим произвольный кусочек струны, который в равновесии располагался между точкой A с координатой x и точкой B с координатой x+dx (рис. 2), и выпишем для него второй закон Ньютона*. Проекция суммы сил на ось y равна: . Благодаря малости колебаний жесткостью струны можно пренебречь и считать натяжение T0 постоянным, кроме того, , , в результате проекция суммарной силы равна:

.

Ускорение выделенного кусочка utt, его масса , следовательно,

. (1)

Мы получили уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны в общем случае. Уравнение (1) – линейное неоднородное ДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Рис.2

Если струна однородна, , то, обозначив , , получим ДУ с постоянными коэффициентами

. (2)

Именно его обычно называют уравнением вынужденных колебаний струны. При отсутствии внешнего воздействия, f(x,t)=0, приходим к уравнению свободных колебаний струны (однородному ДУ):

. (3)

При выводе (2) мы предполагали, что внешняя сила распределена вдоль струны непрерывно; иногда приходится иметь дело с силой P(t), сосредоточенной в некоторой точке C (рис. 3). Второй закон Ньютона для элемента струны dx, содержащего точку C, имеет вид

,

причем левая часть равенства стремится к нулю при бесконечном уменьшении dx. Обозначив пределы при стремлении x к C слева и справа, соответственно, через и , приходим к соотношению

. (4)

Рис.3

Видно, что непрерывная функция u(x,t) имеет в точке C угловую точку, т. е. скачок производной.

Замечание. При выводе уравнений колебаний мы пренебрегали сопротивлением воздуха; если его учесть, в уравнениях появится слагаемое с первой производной , так как сила сопротивления пропорциональна скорости.

Начальные и граничные условия. ДУ с обыкновенными и, тем более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. При изучении ОДУ говорилось об общем решении такого уравнения, содержащем произвольные постоянные; при различных значениях этих постоянных возникают различные частные решения (возможно еще особое решение). Чтобы фиксировать конкретное решение ОДУ, надо задать дополнительные условия. Для ОДУ второго порядка это могут быть значения функции и ее первой производной в некоторой точке (задача Коши*) или значения функции в двух точках (краевая задача). Аналогично обстоит дело с ДУ в частных производных, но теперь общее решение содержит не произвольные постоянные, а произвольные функции. (Впрочем, задача построения общего решения часто и не ставится.)

Колебания ограниченной струны длины l, начавшиеся в момент времени t0, описываются функцией u(x,t), где , . Концы струны могут быть закреплены в положениях равновесия (рис. 4, а), тогда на концах промежутка должны выполняться условия

; (5а)

если же концы струны движутся по определенным законам, условия примут вид

. (6а)

а) б)

Рис.4

Свободными называют концы струны, прикрепленные к невесомым колечкам, которые без трения скользят по стержням, расположенным при x = 0 и x = l вдоль оси y (рис. 4, б). В этом случае

, (5б)

так как y-составляющие сил, действующих со стороны струны на колечки, должны быть равны нулю. Если к колечкам приложены внешние силы и , (5б) заменится на

, (6б)

где , .

Возможен также случай упруго закрепленных концов (рис.4, в), когда к колечкам приложены упругие силы, стремящиеся вернуть концы в равновесные положения. Эти силы подчиняются закону Гука*: . Суммы упругой силы и y-составляющей силы натяжения струны на каждом конце должны обращаться в нуль, поэтому

. (5в)

Если точка упругого закрепления перемещается по определенному закону, (5в) переходит в

. (6в)

Определение. Условия на границе (5) или (6) называются граничными, краевыми или предельными; (5а) и (6а) – условия I рода, (5б) и (6б) – II рода, (5в) и (6в) − III рода. Условия (5) – однородные, (6) – неоднородные. Все перечисленные условия линейны.

Условия «б» и «в» для струны могут показаться искусственными. Но в других физических задачах, также сводящихся к уравнению струны, например при изучении продольных колебаний в стержне или распространении звука в газовой трубе, естественными оказываются как раз эти условия.

ГУ еще не задают процесс колебаний струны однозначно, нужно указать форму струны и распределение скоростей в некоторый момент времени t0 (принимаемый за начальный):

(7)

– начальные условия или данные Коши.

Начальные и граничные условия вместе однозначно определяют решение уравнения струны.

Формулировка I начально-краевой задачи: найти функцию , , , удовлетворяющую:

(8)

Аналогично ставятся II и III НКЗ. Если граничные условия при x=0 и x=l относятся к разным типам, такие задачи называются смешанными. В дальнейшем для простоты считаем, что начало отсчета времени совпадает с началом колебаний, т. е. .

Частные случаи.

1. Влияние ГУ в некоторой точке, достаточно удаленной от границ, скажется через большой промежуток времени (потом докажем это строго), следовательно, до некоторого момента времени влиянием границ можно пренебречь и рассматривать задачу для неограниченной области, так называемую задачу Коши:

(9)

2. Если точка находится вблизи одной границы, а влиянием другой можно пренебречь, приходим к задаче на полуоси:

(10)

3. Если начальный момент достаточно удален, его влияние в реальной системе ослабевает (благодаря трению); такая задача без начальных условий характерна при периодическом граничном режиме:

(11)

Редукция общей задачи. Благодаря линейности уравнения и всех начальных и граничных условий можно свести решение общей НКЗ к решению нескольких более простых задач. Рассмотрим редукцию на примере I НКЗ (8).

Пусть функции , , являются решениями (8) с неоднородностями и дополнительными условиями . Тогда имеет место суперпозиция решений, т. е. функция удовлетворяет задаче

Как следствие, решение общей НКЗ (8) может быть представлено в виде суммы

,

где – решения следующих частных НКЗ:

(12)

(13)

(14)

Упражнение 1. Пусть на струну действуют постоянные во времени внешние силы с линейной плотностью F(x). Ее положение равновесия определится уравнением (1), в котором :

.

Найти форму однородной струны в поле силы тяжести, , если ее концы подвешены на одной высоте.

Ответ: .

Упражнение 2. Показать, что энергия механических колебаний струны с закрепленными концами равна:

, (15)

в частности, для однородной струны

()

Упражнение 3. Вывести уравнение продольных колебаний стержня или струны:

; (16)

здесь – объемная плотность и - модуль Юнга* материала стержня. Для однородного стержня, , получаем уравнение струны с другой постоянной:

. ()

§2. Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера**

Построение общего решения. Функция u(x,t), описывающая свободные колебания бесконечной струны, должна удовлетворять уравнению (3) и НУ (7), заданным на всей вещественной оси:

(17)

Мы построим самое общее решение уравнения (3) в такой форме, что легко будет удовлетворить начальным условиям задачи (17).

Введем новые независимые переменные

или .

Используя правило дифференцирования сложных функций, получим

;

.

Уравнение (3) в новых переменных имеет вид

или .

Следовательно, не зависит от , т. е. является функцией только : . Интегрируя, получим

(постоянная при интегрировании по может зависеть от ). Первое слагаемое является произвольной функцией , второе – произвольной функцией : . В исходных обозначениях

, (18)

где и – произвольные функции своих аргументов. Решение (18) называется решением Даламбера, это самое общее решение уравнения (3), содержащее две произвольные функции.

Оба слагаемых в (18) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть , тогда . Если наблюдатель вышел в момент t = 0 из точки x0 и передвигается вдоль оси x направо со скоростью c, его координата меняется по закону . Для такого наблюдателя смещение струны остается постоянным. Следовательно, первое слагаемое описывает возмущение, которое движется направо со скоростью c, не меняя свою форму, так называемую прямую волну (рис. 5). Второе слагаемое дает обратную волну, которая движется со скоростью c налево. Общее решение уравнения струны возникает при наложении прямой и обратной волн.

Рис. 5

Решение задачи Коши. Подберем произвольные функции и так, чтобы u(x,t) удовлетворяла НУ задачи (17). Подстановка (18) в НУ дает

.

Продифференцировав первое равенство, находим и . Интегрированием получим

, .

Поскольку , . Подставляя выражения для и в (18), получаем решение Даламбера задачи Коши (17):

. (19)

Если функция дважды непрерывно дифференцируема и функция один раз непрерывно дифференцируема на всей вещественной оси, решение u(x,t), задаваемое формулой (19), будет иметь непрерывные первые и вторые производные. Такое решение задачи называется классическим.

Упражнение 4. Проверить прямой подстановкой, что при сформулированных выше условиях на и , формула (19) дает решение задачи Коши (17), т. е. справедлива теорема существования.

Замечание. Поскольку всякое решение задачи Коши, если оно существует, представимо в виде (19), справедлива теорема единственности.

В реальных ситуациях начальными данными могут оказаться функции, не удовлетворяющие указанным требованиям гладкости (например, в начальный момент струна имеет форму ломаной линии). Тем не менее, разумно считать, что формула (19) все равно дает решение задачи (17), хотя u(x,t) и не имеет всюду непрерывные производные до второго порядка. Такое решение называется обобщенным. Теория обобщенных функций и строгое определение обобщенного решения выходят за рамки данного курса.

Физическая интерпретация решения Даламбера

1. Рассмотрим решение в точке в момент времени ; оно зависит от начального смещения в двух точках и и от начальных скоростей на промежутке . Этот интервал вырезается на оси x прямыми , которые называются характеристиками уравнения (3) для точки , рис. 6. Начальные условия на остальной струне на решение в этой точке вообще не влияют. Именно поэтому в пределах некоторого времени можно не учитывать влияние удаленных концов струны на движение ее среднего участка.

Рис.6

2. Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, , струну отклонили и плавно отпустили, тогда

.

Предположим, что начальное возмущение отлично от нуля лишь в конечном промежутке ; проведем через точки и характеристики, в результате полуплоскость (x,t) разобьется на шесть областей (рис. 7). Область I соответствует точкам, до которых в данный момент времени доходят и прямая, и обратная волны; II − только обратная, III – только прямая. До областей IV и V к данному моменту времени возмущение еще не дошло; до точек VI возмущение успело дойти и пройти через них, теперь они покоятся в равновесном положении.

Можно описать эту ситуацию несколько иначе: будем наблюдать за возмущением в некоторой точке . До момента она покоится, после момента возмущение в точке исчезает; и – моменты прохождения переднего и заднего фронтов через точку .

3. Пусть начальные отклонения точек струны равны нулю, , струну толчком вывели из положения равновесия, в этом случае

, где ,

т. е. по-прежнему имеем дело с распространением прямой и обратной волн. Если лишь в конечном промежутке , можно повторить рассуждения предыдущего пункта. Для областей I – V выводы совпадают; в области VI

.

Рис.7

Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на одинаковый отрезок и после прохождения заднего фронта остаются неподвижными в этом новом положении.

Упражнение 5. Пусть u(x,t) – решение задачи Коши (17). Выберем в качестве начального момент времени и рассмотрим задачу Коши для уравнения (3) с начальными условиями

. (20)

С помощью формулы Даламбера следует показать, что решение задач Коши (17) u(x,t) и (3, 20) совпадают при . Т. е. можно произвольный момент времени выбрать за начальный, взяв в качестве НУ возмущение, достигнутое к этому моменту. Именно это утверждает принцип Гюйгенса*.

Задача Коши для вынужденных колебаний бесконечной струны. Вынужденные колебания бесконечной струны описываются задачей (9):

Решение этой задачи можно найти как сумму решений задачи о колебаниях свободной струны (17) и задачи о вынужденных колебаниях струны, в начальный момент невозмущенной:

;

здесь - решение задачи (17), задаваемое формулой Даламбера; определяется задачей

. (21)

Мы могли бы построить сейчас решение (21) в виде интегральной формулы; метод, который при этом используется, будет продемонстрирован в дальнейшем, при решении аналогичной задачи Коши для многомерного волнового уравнения. Там мы вернемся к решению (21), а сейчас объявим результат:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4