; (22)

(23)

Упражнение 6. Прямой подстановкой проверить, что если дважды непрерывно дифференцируема, и один раз непрерывно дифференцируемы, то функция u(x,t) (23) имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет всем условиям задачи (9), т. е. является ее классическим решением. Таким образом, справедлива теорема существования.

Теорема единственности для задачи (9) очевидна, так как разность двух решений удовлетворяла бы свободному уравнению с нулевыми НУ и тождественно равнялась нулю.

§3. Корректность задач математической физики. Пример некорректной задачи

Поскольку задачи матфизики описывают реальные процессы в природе, они должны удовлетворять некоторым требованиям.

Определение. Математическая задача поставлена корректно, если

− решение задачи существует;

− задача имеет единственное решение;

− решение задачи устойчиво, т. е. оно непрерывно зависит от исходных данных.

Требование устойчивости означает, что всякий физически определенный процесс должен непрерывно зависеть от начальных и граничных условий и от неоднородного члена в уравнении, т. е. должен характеризоваться функциями, которые мало меняются при малых изменениях исходных данных. В противном случае, например, двум системам практически одинаковых НУ (различие которых лежит в пределах точности измерений) могли бы соответствовать существенно разные процессы. Такие процессы не являются физически определенными. Устойчивость важна также для приближенного решения задач.

Математическую формулировку требования устойчивости покажем на примере задачи Коши (17), попутно докажем, что она устойчива.

Утверждение. Для любого промежутка времени и любого найдется такое , что всякие два решения уравнения (3) и в течение промежутка будут различаться меньше чем на :

,

если только НУ различаются меньше чем на :

и ,

.

Для доказательства используем формулу Даламбера (19):

и положим .

Пример Адамара* – пример некорректной задачи. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа**:

Функции ; (n – параметр) удовлетворяют уравнению Лапласа и начальным условиям:

.

Для любого при достаточно большом n разность НУ окажется меньше . При этом для любого заданного значения могут быть сколь угодно большими, так как. они растут с ростом n.

§4. Свободные колебания полубесконечной струны. Метод отражений (метод продолжений)

НКЗ для полубесконечной струны возникает, если один из ее концов находится далеко от исследуемого участка и не влияет на его колебания. Мы рассмотрим влияние другого, близкого, конца на распространение волны, изучим процесс отражения волн от него. Будем считать, что этот конец совпадает с точкой x = 0.

Свободные колебания струны задаются уравнением (3), в котором функция u(x,t) определяется при , . Уравнение нужно дополнить НУ на полуоси и ГУ при x=0. Мы будем рассматривать параллельно случаи, когда конец струны движется по известному закону и когда к нему приложена известная сила, т. е. ГУ I и II рода; соотношения, относящиеся к ГУ II рода, будут приводиться в скобках. Таким образом, решаем следующую НКЗ:

,

, (24)

. (25)

Случай однородного ГУ возникает, если конец струны закреплен (свободен):

. (26)

Рассмотрим сначала НКЗ (3), (25), (26). Формула Даламбера (18) дает общее решение уравнения (3), ее можно использовать и в данном случае. Но выражения

,

определяют эти функции только для . (Постоянные C1 и C2 опустили, они все равно потом сокращаются.) Для применения метода Даламбера нужно продолжить и или, что то же самое, и с положительной полуоси на отрицательную. С физической точки зрения, это продолжение сводится к определению такого начального возмущения бесконечной струны, что движение ее половины оказывается таким же, как если бы она была закреплена (свободна) на конце, а вторая половина отброшена.

Подставим (18) в (26): , следовательно, , , что определяет и при x<0. Поскольку и , имеем

,

.

Видно, что функции и продолжаются с на всю вещественную ось по закону нечетности (для ГУ II рода аналогичная выкладка приводит к четному продолжению и ).

Мы получили, что задача (3), (25), (26) эквивалентна задаче Коши для бесконечной струны:

где для ГУ I рода;

для ГУ II рода.

Решение этой последней задачи дается формулой Даламбера (19).

Выпишем решение задачи (3), (25), (26) в терминах исходных функций:

ГУ I рода:

(27)

ГУ II рода:

(28)

Легко проверить прямой подстановкой, что если и таковы, что дважды и один раз непрерывно дифференцируемы, то u(x,t) дважды непрерывно дифференцируема и является классическим решением задачи (3), (25), (26). Теорему единственности легко строго вывести из наших рассуждений. Устойчивость задачи также имеет место, на доказательстве мы не останавливаемся.

Физическая интерпретация решения. Пусть начальное возмущение отлично от нуля только на конечном промежутке . Проведем характеристики через точки и , а также через точки и ; в результате четверть плоскости разобьется на девять областей (рис. 8).

Область I соответствует точкам, до которых в данный момент доходят и прямая, и обратная волны от исходного возмущения; области IV и V соответствуют точкам, до которых в данный момент возмущение еще не дошло; до точек области II дошла только обратная волна, до III – только прямая. В точках области VI u = const, волна от исходного возмущения через них уже прошла, и теперь они покоятся. Области I – VI такие же, как в случае бесконечной струны.

Рис.8

Область VIII соответствует точкам, в которые приходит прямая волна от фиктивного возмущения: , здесь , следовательно, ; иными словами, в точки VIII приходит отраженная обратная волна. В областиVII есть обратная волна от исходного возмущения и отраженная обратная волна. Область IX соответствует точкам, через которые и исходная, и отраженная волны уже прошли, и они покоятся, u = const.

Таким образом, действие закрепленного (свободного) конца x = 0 свелось к отражению волны смещения, связанному с сохранением абсолютной величины смещения и переменой (сохранением) его знака.

Влияние граничного режима. В случае произвольного неоднородного ГУ решение задачи (3), (24), (25) следует искать в виде суммы , где − уже построенное решение задачи (3), (25), (26), а удовлетворяет НКЗ с нулевыми данными Коши. Для ГУ I рода задача для имеет вид

(29)

Общее решение уравнения дается формулой Даламбера (18); ясно, что граничный режим может создать только прямую волну: . Функцию можно определить из ГУ: , следовательно, и, окончательно

.

Полученная формула определяет только при t > x/c, так как функция определена для . Продолжим на отрицательные аргументы нулем, тогда

, где .

Решение I НКЗ для свободных колебаний полубесконечной струны (3), (24I), (25) имеет вид

(30)

Упражнение 7. Получить решение II НКЗ (3, 24II, 25):

(31)

Вынужденные колебания полубесконечной струны описываются НКЗ (10):

Решение следует искать в виде суммы , где − решение НКЗ для свободных колебаний (3, 24, 25), оно описывается (30) или (31), а − решение НКЗ для неоднородного уравнения с нулевыми НУ и ГУ:

(32)

При t < x/c влияние граничного режима в точке x не сказывается и решение задачи (32) совпадает с решением задачи (21) для бесконечной струны, т. е. определяется формулой (22).

Упражнение 8. Прямой подстановкой проверить, что решение I начально-краевой задачи (32) для значений t > x/c задается интегралом

;

выписать окончательное решение задачи (10I).

§5. Свободные колебания ограниченной струны. Метод отражений (метод продолжений)

Задача о свободных колебаниях ограниченной струны возникает, если оба конца струны находятся достаточно близко от рассматриваемого участка и влияют на его движение. В этом случае колебания описываются функцией , у которой и . Уравнение свободных колебаний (3) должно быть теперь дополнено ГУ на обоих концах и НУ, заданными на . В результате возникает НКЗ

,

(33)

(или )

(34)

Возможен также смешанный случай, когда на одном конце выполняется ГУ I рода, а на другом – II. Краевые условия III рода мы не рассматриваем.

Ход наших рассуждений будет таким же, как в предыдущем параграфе. Рассмотрим сначала случай однородных ГУ, т. е. струну с закрепленными или свободными концами:

(35)

и решим задачу (3), (34), (35). Общее решение уравнения (3) описывается формулой Даламбера (18): , где

, .

Исходно функции g1 и g2 определены только при . Наша задача – продолжить g1 и g2 (или и ) с промежутка [0, l] на всю вещественную ось, т. е. определить такое начальное возмущение бесконечной струны, при котором ее кусок [0, l] будет колебаться так, как если бы его концы были закреплены (свободны), а остальная часть струны отброшена.

Подставим (18) в ГУ (35):

ГУ I рода: ;

ГУ II рода: ;

(постоянная интегрирования здесь опущена, так как потом при сложении она сокращается). Дальше рассматриваем ГУ I и II рода параллельно (верхний знак соответствует I роду, нижний – II). Обозначим ct = x, тогда

и .

Последние два равенства позволяют однозначно продолжить g1 и g2 с [0,l] на всю вещественную ось. При их правые части определены и, значит, определены g1 при и g2 при . Теперь правые части тех же равенств определены при , что задает g1 при и g2 при . Продолжая эту процедуру, определим g1 при и g2 при . Рассмотрим теперь те же равенства при ; их левые части определены и, следовательно, определены g1 при и g2 при . Дальнейшее повторение этой процедуры однозначно задает g1 при и g2 при . Таким образом, функции g1 и g2 оказались определенными на всей вещественной оси, при этом

,

т. е. обе функции периодичны с периодом 2l.

Обратимся к начальным данным Коши и ; для них:

;

Кроме того, из периодичности g1 и g2 следует, что и также периодичны с периодом 2l. Таким образом, при однородных ГУ I рода (II рода) начальные данные Коши должны быть продолжены с на по закону нечетности (четности) и дальше с периодом 2l на всю вещественную ось.

Наши построения показывают, что однородная НКЗ для ограниченной струны (3), (34), (35) эквивалентна задаче Коши для бесконечной струны:

где

здесь k- целое число; аналогично определяется через . Решение исходной НКЗ совпадает с решением задачи Коши на промежутке :

Функция U(x,t) определяется формулой Даламбера:

. (36)

Упражнение 9. Проверить прямой выкладкой, что функция U(x,t) при x = 0, x = l удовлетворяет ГУ (35).

Замечание. Если функции и таковы, что имеет две и одну непрерывные производные на всей оси, форм, 35), т. е. имеет место теорема существования. Теорема единственности следует из наших рассуждений, если проводить их строго. Устойчивость этой задачи также имеет место, на ее доказательстве мы не останавливаемся.

Физическая интерпретация решения. Отметим на оси x точки вида kl, где k - целое число, и проведем через них характеристики (рис. 9). Область I соответствует точкам струны, до которых в данный момент дошло возмущение только от исходных точек, т. е. фиктивно добавленные бесконечные части на их движение не влияют. В III приходит возмущение от исходной струны и обратная волна от фиктивного куска . Эта обратная волна задается функцией , причем точка (x,t) принадлежит области III. Для области III , поэтому

.

Видно, что обратная волна от фиктивной точки есть с точностью до знака прямая волна от реальной точки, симметричной относительно конца x = l. Прямая волна g1 из точки в момент дошла до конца струны, отразилась (изменила свое направление) и в момент t пришла в точку .

Итак, в III есть волна от исходного возмущения и прямая волна, отразившаяся от конца x = l. В II есть волна от исходного возмущения и обратная волна, отразившаяся от конца x = 0. Следующие области соответствуют точкам, в которых в данный момент накладываются многократно отраженные волны.

Действие закрепленного (свободного) конца x = 0 или x = l приводит к отражению волны смещения от этого конца, связанному с изменением направления распространения волны на противоположное, с сохранением абсолютной величины смещения и переменой (сохранением) знака смещения.

Влияние граничного режима. При рассмотрении неоднородных ГУ ограничимся условиями I рода, т. е. будем предполагать, что концы струны движутся по известным законам. Решение задачи (3), (33), (34) следует искать в виде суммы

где - решение I НКЗ с однородными ГУ (3, 35, 34), а функции и удовлетворяют НКЗ с нулевыми данными Коши:

(37)

Задачу (37) будем решать так же, как (29) в предыдущем параграфе. Построенное там решение

, где

удовлетворяет (37) при . Когда t достигает , нарушается ГУ на правом конце.

Пусть , волна, бегущая налево и колеблющаяся в точке по закону , описывается функцией . Разность двух волн дает решение задачи (37) при . Продолжая это рассуждение, получим для любого t решение задачи (37) в виде ряда

(38)

При любом фиксированном t сумма (38) содержит конечное число слагаемых. Физически решение (38) означает, что граничный режим создает волну, которая последовательно отражается от обоих концов; решение есть суперпозиция отраженных волн.

Аналогичные рассуждения позволяют построить для функции , удовлетворяющей НКЗ с неоднородным ГУ на правом конце отрезка, ряд

; (39)

здесь функция определяется через аналогично .

Упражнение 10. Проверить прямой выкладкой, что функции и удовлетворяют поставленным НКЗ.

§6. Свободные колебания ограниченной струны. Метод Фурье* (метод разделения переменных)

В этом разделе будет рассмотрен принципиально другой способ решения НКЗ о свободных колебаниях ограниченной струны с закрепленными или свободными концами. В данном частном случае он оказывается труднее, чем метод отражений, но зато он применим во многих других задачах, когда метод отражений не работает. Для определенности ниже рассматривается струна с закрепленными концами, переход к задаче со свободными концами очевиден.

Свободные колебания струны с закрепленными концами описываются уравнением (3) с НУ (34) и ГУ(35):

,

; .

В предыдущих параграфах мы искали общее решение уравнения струны (3), а потом требовали, чтобы оно удовлетворяло НУ и ГУ. Будем теперь искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая – только от t:

. (40)

Подставляя (40) в (3), приходим к равенству

, .

В левой части последнего соотношения стоит функция, зависящая только от t, в правой – только от x; равенство между ними возможно, только если обе части не зависят ни от t, ни от x и равняются некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную через , тогда

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4