.
Видно, что исходное уравнение в частных производных (3) распалось на два ОДУ; в этом случае говорят, что переменные разделились.
Уравнение для функции X(x) нужно дополнить краевыми условиями, которые следуют из (35), в результате для X(x) возникает краевая задача для ОДУ второго порядка:
(41)
Необходимо найти все значения параметра 
, при которых задача (41) имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. Такие значения называются собственными значениями задачи (41), соответствующие решения – ее собственными функциями; сформулированная задача представляет собой простейший случай задачи Штурма − Лиувилля*.
Пусть 
, общее решение уравнения имеет вид
.
Для выполнения граничных условий необходимо 
, 
, откуда следует 
, т. е. задача имеет только тривиальное решение.
Аналогично при 
, ГУ дают 
, 
и, следовательно, .
При 
общее решение уравнения
,
на концах выполняются условия 
, 
, нетривиальные решения возникают при 
, следовательно, 
, 
. Мы получили последовательность с/з 
и соответствующих им с/ф:
,
где 
(отрицательные k не рассматриваем, так как изменение знака k равносильно изменению знака произвольной постоянной 
).
Найденные значения 
подставим в уравнение для 
, общее решение которого имеет вид
.
В результате получен счетный набор частных (линейно независимых) решений уравнения (3), удовлетворяющих ГУ (35):
.
Переобозначим произвольные постоянные: заменим 
на 
, 
на 
.
Благодаря линейности и однородности уравнения (3) и ГУ (35), любая линейная комбинация функций 
также будет удовлетворять уравнению и этим условиям. Составим ряд
. (42)
Сумма ряда 
удовлетворяет уравнению (3) и ГУ (35). Подберем постоянные и так, чтобы она удовлетворяла также НУ (34). Прямая подстановка дает
.
Написанные ряды представляют собой разложения заданных функций 
и 
в ряды Фурье по синусам на промежутке 
. Коэффициенты этих разложений определяются по известным формулам:
. (43)
Ряд (42) с коэффициентами (43) формально удовлетворяет всем условиям поставленной задачи (3), (34), (35).
Нетрудно проверить, что решение в виде ряда совпадает с тем, которое было получено в § 5 методом отражений. При применении формулы Даламбера к ограниченной струне с закрепленными концами мы продолжали функции и , задающие НУ, с на 
по закону нечетности и потом с периодом 2l − на всю вещественную ось. Такой способ продолжения равносилен разложению этих функций в ряды Фурье по синусам.
Упражнение 11. Разложить продолженные функции 
, 
в ряды Фурье по синусам, подставить их в формулу Даламбера (36) и проверить, что полученное представление эквивалентно (42).
Упражнение 12. Решить методом Фурье задачу о свободных колебаниях ограниченной струны с двумя свободными концами и одним закрепленным, а другим свободным концом.
Об оправдании метода Фурье. Формально ряд (42) удовлетворяет уравнению и всем дополнительным условиям поставленной НКЗ. Возникает важный вопрос: при каких условиях на функции 
и 
сам этот ряд сходится и сходятся ряды его первых и вторых производных? Ссылаясь на теорию рядов Фурье, можно сформулировать следующие достаточные условия: если функция дважды непрерывно дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную третью производную, функция один раз непрерывно-дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того, 
, 
, 
, ряд (42) сходится абсолютно и равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по x и t. Иными словами, ряд (42) дает классическое решение НКЗ (3), (34), (35) и его можно исследовать “в лоб”.
Во многих физически важных случаях параметры НКЗ не удовлетворяют сформулированным выше достаточным условиям (входящие в задачу функции не обладают достаточной гладкостью). Тем не менее, метод Фурье сохраняет свое значение, ряд (42) дает обобщенное решение задачи. В дальнейшем наша цель – изучить применение метода Фурье к решению задач различных типов и возникающие при этом ряды; вопросы сходимости рядов к классическому решению задачи обсуждаться не будут.
Физическая интерпретация метода Фурье: гармоники и стоячие волны. Преобразуем выражения для 
, введя амплитуды 
и начальные фазы 
гармонических колебаний:
,
где 
; тогда ряд (42) принимает вид суммы гармоник:
.
Каждый член этого ряда описывает стоячую волну, в которой точки струны совершают гармонические колебания с одинаковой фазой и с амплитудой 
, зависящей от точки. При таком колебании струна издает звук, высота звука зависит от частоты колебаний 
, , эти частоты называются собственными для данной струны. Звук, соответствующий наименьшей частоте, 
, называется основным тоном струны, остальные гармоники образуют набор обертонов.
Таким образом, решение складывается из основного тона струны и набора обертонов. Амплитуды быстро убывают с ростом k, поэтому влияние обертонов на звук сводится к созданию тембра звука, различного для различных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием обертонов.
На рис.10 показаны положения струны в различные моменты времени, соответствующие двум первым гармоникам. Амплитуда колебаний k-й гармоники обращается в нуль в точках 
. Эти точки называются узлами k-й гармоники; точки 
, в которых амплитуда достигает наибольшей величины, называются пучностями. Если в струне возбуждена только k-я гармоника, струна колеблется так, как если бы состояла из k отдельных кусков, закрепленных в узлах. Если прижать струну посередине, в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды основного тона и всех остальных нечетных гармоник, при этом четные гармоники останутся без изменения. В результате вместо своего обычного звука струна будет издавать звук с вдвое большей частотой, т. е. на октаву выше.
Рис.10
§7. Вынужденные колебания ограниченной струны. Метод Фурье (метод разделения переменных)
Постановка задачи. Колебания струны под действием распределенной силы описываются неоднородным уравнением (2). Ниже метод Фурье применяется к решению НКЗ (2), (34), (35), рассматриваются вынужденные колебания струны с двумя закрепленными концами. Случаи других однородных ГУ (два свободных конца или смешанные ГУ) исследуются аналогично.
Функцию , удовлетворяющую НКЗ
,
; 
,
можно представить в виде суммы решений двух более простых задач: 
, где 
- решение НКЗ (3), (34), (35), описывающее свободные колебания струны, которые возникают вследствие заданного начального возмущения. Функция 
описывает чисто вынужденные колебания, т. е. колебания под действием силы 
при условии, что в начальный момент струна покоилась. Для функции получено решение в виде ряда (42); необходимо определить .
Решение НКЗ о чисто вынужденных колебаниях струны. Функция удовлетворяет задаче (44):
(44)
Будем искать ее в виде ряда
, (45)
при этом ГУ для заведомо выполнятся. Ряд (45) написан по аналогии с (42), но функции 
теперь нуждаются в определении.
Подстановка ряда (45) в уравнение (2) дает
,
следовательно,
, 
.
Функция f(x,t) как функция от x может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке с коэффициентами 
, зависящими от t:
.
Для функции 
возникли два разложения в ряды Фурье по синусам; поскольку такое разложение единственно, их коэффициенты можно приравнять:
.
Если функции удовлетворяют этим уравнениям, функция 
, заданная рядом (45), удовлетворяет уравнению и ГУ. Чтобы выполнялись НУ, достаточно потребовать 
, 
. Таким образом, функции определяются задачами Коши для обыкновенных линейных неоднородных ДУ:
(46)
Пусть 
- частное решение этого неоднородного уравнения, тогда его общее решение имеет вид
.
Упражнение 13. Методом вариации произвольных множителей Лагранжа* найти частное решение уравнения из задачи (46) в виде
.
Для общего решения уравнения (46) имеем
, (47)
подстановка условий Коши дает 
. Окончательно решение (46) принимает вид
. (48)
Подставляя в (48) выражения для коэффициентов Фурье и частот, получаем
. (49)
Ряд (45) с коэффициентами (49) дает решение задачи (44). Если функция дважды непрерывно дифференцируема и обращается в нуль на концах промежутка , сумма ряда является классическим решением задачи.
I начально-краевая задача в общем случае состоит из неоднородного уравнения (2), неоднородных ГУ (33) и НУ (34). Ее решение следует искать в виде суммы двух функций:
, (50)
где 
- произвольная функция, удовлетворяющая ГУ (33). Можно, например, выбрать 
.
Для функции 
возникает НКЗ с однородными ГУ, метод решения которой изложен выше:
.
Частные случаи вынужденных колебаний струны с закрепленными концами.
1. 
, т. е. на струну действует постоянная распределенная сила; например, горизонтальная струна находится в однородном поле силы тяжести. В этом случае решение НКЗ (2), (34), (35) проще искать в виде суммы 
, где функция 
удовлетворяет уравнению (2) и ГУ (35), т. е. определяется краевой задачей для ОДУ:
.
Решение этой задачи, описывающее статический прогиб струны, найдено в упражнении 1: 
.
Функция должна быть решением однородного уравнения (3) с однородными ГУ (35) и неоднородными НУ:
.
описывает свободные колебания струны около положения равновесия, эта задача решена в § 6.
2. Действующая на струну распределенная сила постоянна во времени, но может меняться от точки к точке, 
. Отличие от предыдущего случая состоит только в том, что для функции возникает более сложная КЗ:
.
Упражнение 14. Получить решение задачи для в виде
.
3. Приложенная к струне распределенная сила меняется по гармоническому закону: 
. Решение НКЗ (2), (34), (35) будем искать в виде суммы (50), в которой функция - частное решение уравнения (2), удовлетворяющее ГУ (35). Функция будет тогда решением однородного уравнения (3) с теми же ГУ (35) и произвольными НУ; такое решение построено в § 6.
Вид функции зависит от того, совпадает или нет частота внешнего воздействия 
с одной из собственных частот струны 
. При совпадении частот, 
, возможно возникновение резонанса, при котором амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы неограниченно возрастает пропорционально времени.
Упражнение 15. Построить частное решение уравнения (2) с ГУ (35), рассмотреть три случая:
1) 
. Частное решение следует искать в виде
, (51)
его подстановка в (2) и (35) дает краевую задачу для ОДУ:
. (52)
Выше мы уже строили общее решение такого уравнения, с точностью до обозначений оно имеет вид (47). Учет ГУ даст для 
следующее выражение:
;
2) 
при некотором k и выполняется условие
. (53)
Частное решение по-прежнему можно искать в виде (51), где − решение задачи (52). Для можно получить в этом случае более простое выражение:
;
3) при некотором k и условие (53) не выполняется. Для частного решения можно получить
,
где 
− коэффициент разложения функции 
в ряд Фурье по синусам на промежутке , функция 
обладает тем свойством, что для нее интеграл (53) равен нулю. Видно, что второе слагаемое описывает колебание с частотой , амплитуда которого неограниченно возрастает пропорционально t.
Задачи
Постановка начально-краевых задач
В задачах 1 − 13 описаны некоторые физические процессы. Следует выбрать функцию, характеризующую указанный процесс, вывести для нее дифференциальное уравнение, сформулировать для этой функции начальные и граничные условия. Все необходимые параметры системы предполагаются известными.
1. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня постоянного сечения S длины l при произвольных начальных отклонении и скорости. Рассмотреть следующие случаи:
а) к концам нерастянутого стержня 
и 
, начиная с момента 
приложены силы 
и 
, действующие вдоль стержня;
б) концы стержня закреплены упруго, т. е. на них действуют силы, пропорциональные их отклонению;
в) конец стержня испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, а конец закреплен жестко;
г) конец стержня закреплен, а конец свободен и к нему прикреплена точечная масса m;
д) стержень закреплен на конце и растянут силой F, приложенной к другому концу; в момент действие силы внезапно прекращается;
е) стержень (на единицу длины) испытывает действие пропорциональной скорости силы сопротивления отклонению, а концы стержня двигаются по заданным законам 
и 
;
ж) начиная с момента , стержень испытывает действие направленной вдоль оси x силы объемной плотности 
, а концы стержня свободны. (Такую силу можно создать, например, с помощью магнитного поля.)
2. Начиная с момента , один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому концу приложена сила 
, направленная по оси стержня. В момент стержень был неподвижен и находился в равновесном положении. Поставить задачу для определения его малых продольных колебаний.
3. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня переменного сечения 
длины l при произвольных начальных отклонении и скорости для случая, когда стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований r и R , причем основания закреплены жестко.
4. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня переменного сечения длины l при произвольных начальных отклонении и скорости для случая, когда конец стержня закреплен упруго, а к концу , начиная с момента , приложена продольная сила на единицу площади сечения.
5. Поставить задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что
а) концы струны закреплены жестко;
б) один конец свободен, а на другой действует переменная поперечная сила .
6. Однородная струна с закрепленными концами находится во внешнем поперечном магнитном поле с индукцией B. Поставить задачу о колебаниях этой струны, если по ней течет переменный ток I(t).
7. Поставить задачу о продольных колебаниях однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему концу прикреплен груз массой M, причем за начальное состояние принимается ненапряженное состояние стержня (т. е. в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и он начинает растягивать стержень).
8. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости v, мгновенно останавливается. Поставить задачу о продольных колебаниях этого стержня.
9. Поставить задачу о поперечных колебаниях тяжелой однородной струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.
10. Неоднородная струна линейной плотности 
совершает поперечные колебания около горизонтального положения в поле силы тяжести. В точках 
струны укреплены шарики массами 
. Описать движение струны при произвольных начальных условиях для случаев:
а) левый конец струны свободен, правый движется по закону 
;
б) левый конец струны закреплен, к правому приложена сила .
11. Однородная струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью находится в горизонтальной плоскости, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В момент точкам струны сообщают малые вертикальные отклонения и скорости. Поставить задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. Силой тяжести пренебречь.
12. Два полуограниченных упругих однородных стержня с одинаковыми поперечными сечениями S соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть 
и 
- плотность и модуль упругости одного из них, а 
и 
- другого. Поставить задачу для определения отклонений сечений стержня от их положения покоя, если заданы их начальные отклонения и скорости.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
