Механика

Математическое моделирование

УДК 531.381:531.9

Задача восстановления в динамике твёрдого тела

Институт проблем точной механики и управления РАН

Россия, Саратов, ул. Рабочая, 24

nmakeyev@mail.ru; (8

Рассматривается задача построения системы уравнений движения твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в центральном ньютоновском гравитационном поле. Построение проводится по заданной полной системе независимых алгебраических первых интегралов, находящихся в инволюции. На тело, движущееся в псевдоевклидовом пространстве действует система стационарных гироскопических сил. Приводится случай задачи с заданными кинематическими связями.

Ключевые слова: твёрдое тело; восстановление и замыкание динамической системы; псевдоевклидово пространство.

Введение

Рассматривается движение абсолютно твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве c метрическим тензором gij, отнесённым к пространству конфигураций, компоненты которого g11 = g22 = −1, g33 = 1 и gij = 0 при i ≠ j (i, j = 1, 2, 3). Тело вращается вокруг неподвижного полюса О в центральном ньютоновском гравитационном поле, центр притяжения которого находится на расстоянии R от неподвижного полюса тела О. При этом предполагается, что все точки твёрдого тела расположены внутри изотропного конуса пространства , а неподвижный полюс − в вершине этого конуса. Тогда радиусы-век-торы точек тела являются собственными векторами, для которых rs2 = gij ris rjs > 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].

Известно, что задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в пространстве , в силу существующего изо-морфизма, эквивалентна задаче о движении материальной фигуры на плоскости Лобачевского (гиперболической плоскости) кривизны ρ−2. Все точки такой фигуры расположены на сфере действительного радиуса ρ, вложенной в пространство Согласно геометрической интерпретации, основанной на проективной модели Э. Бельтрами – Ф. Клейна, плоскость в этом случае представляется внутренними точками абсолюта гиперболической плоскости с уравнением (x∙x) ≡ − (x1)2 − − (x2)2 + (x3)2 = 0. На плоскости два главных момента инерции тела являются моментами инерции сдвига и один − главным моментом инерции вращения относительно центра инерции [2].

В пространстве и на плоскости силовые поля могут быть трёх типов. Пусть s − направляющий орт силовых линий поля гравитации. Тогда собственному, идеальному и несобственному силовым полям плоскости соответствуют времениподобное, простран-ственноподобное и изотропное силовые поля пространства . Для имеем, соответственно, 2 = (1, −1, 0) [2]. На проективной модели Э. Бельтрами – Ф. Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками первого, второго и третьего рода соответственно.

1. Предварительные положения

Введём правый координатный ортобазис Оx1x2x3, неизменно связанный с телом, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции данного тела, отнесённого к неподвижному полюсу О.

Обозначим: Aj − диагональные элементы матрицы тензора инерции тела; – угловая скорость тела; − радиус-вектор центра масс тела; – направляющий орт силовых линий поля; P– вес тела. Здесь всюду j = 1, 2, 3; две оси Оxj (главные оси инерции данного тела) являются идеальными и одна − собственной [2].

Предполагается, что расстояние от центра притяжения гравитационного поля до полюса О достаточно велико по сравнению с характерными размерами тела. Тогда потенциал гравитационного поля U может быть представлен выражением

(1)

где – матрица тензора инерции тела, отнесённого к полюсу О; λ ≠ 0 – характерный гравитационный параметр.

Пусть на твёрдое тело, движущееся в пространстве действует система сил, результирующий вектор-момент которой М представлен в виде

(2)

где

– заданные постоянные параметры.

В силу представления (2) вектор-мо-мент имеет следующие компоненты:

(3)

Система сил, характеризующаяся вектор-моментом (2), является гироскопической системой (термин У. Томсона и Тэта [3]), а характерная кососимметрическая матрица Γ − гироскопической, элементами которой являются гироскопические параметры kj.

Движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса О в пространстве при воздействии силовых факторов (1), (3) согласно принципам динамики определяется эволюционной динамической системой

(4)

В уравнениях (4) обозначено

(5)

где

(6)

Здесь – заданные гироскопические параметры.

Аналогами уравнений Пуассона в пространстве являются уравнения [4]

(7)

которые следует присоединить к системе (4)–(6). Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени t.

Система уравнений (4)–(7) имеет независимые алгебраические первые интегралы

(8)

существующие при любых начальных условиях. Здесь < … > − символ суммирования указанных величин по индексу j; h1, h2 – постоянные интегрирования; ℓ = 1, −1, 0 в случаях, при которых орт s – собственный, идеальный и изотропный соответственно.

В системе (8) интеграл энергии I1 выражает свойство гироскопичности моментно-силового воздействия на твёрдое тело; интеграл проекции кинетического момента I2 порождён группой симметрий. Интеграл I3 выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом s, порождающим векторное поле этой группы. При этом фазовое пространство определено в R6 тривиальным интегралом I3.

Система уравнений (4)−(7) и её первые интегралы (8) являются аналогами уравнений Л. Эйлера – Н. Жуковского и их интегралов для тяжёлого твёрдого тела в евклидовом пространстве R3. В частности, при k = 0 из данной системы следуют уравнения движения твёрдого тела в пространстве на которое не действуют гироскопические силы.

2. Постановка задачи

Исходная динамическая система в общем случае не имеет независимого алгебраического интеграла, дополнительного к системе (8). Этот интеграл может существовать лишь в некоторых частных случаях как частный интеграл. В связи с этим ставится следующая задача.

Пусть вектор-функция F (ω, s):

• определена и непрерывна на открытом множестве D пространства вектор-функций

• удовлетворяет условиям теорем существования и единственности решения на замкнутом ограниченном множестве M D.

Введём автономную динамическую си-стему

(9)

и соотношение

(10)

где I4 − некоторая функция, определённая и дифференцируемая по всем переменным в заданной в замкнутой области , удовлетворяющая условиям неособости [5]; h4 − фиксированная постоянная интегрирования, определяемая заданными начальными значениями, принадлежащими области возможных значений.

Ставится задача: построить динамическую систему (9) по заданным первым интегралам (8) и условно заданному частному интегралу (10), где функция I4 − такая, что интегралы систем (8), (10) являются независимы-ми, а вектор-функция s(t) и удовлетворяет уравнениям системы (7).

Данная задача является задачей восстановления динамической системы по заданному интегральному многообразию Ij (ω, s)

где при j = 3 имеем h3 = ℓ. Это многообразие для аналитически замкнутой системы уравнений (4)−(7) обусловливает ре-шение задачи замыкания системы уравнений (7) с точностью до некоторой произвольной аддитивной вектор-функции [5].

Поставленная задача относится к классу обратных задач динамики. Значительный вклад в разработку и развитие этого направления механики внесён [6].

3. Восстановление динамической

системы

Решение поставленной задачи проводится на основе аналитической теории, построенной [5].

Введём ненулевые векторы u (uj), w (wj), σ (σj) ( j = 1, 2, 3) и обозначим

(11)

где компоненты uj вектора u определяются равенствами (7).

Вектор Q, содержащийся в системе (11), определяется равенством

(12)

где – матрица с компонентами

(13)

Применяя известный приём [5], в силу соотношений (11)−(13) получаем динамическую систему типа (9)

(14)

Здесь – присоединённая вектор-функция, такая, что всюду на интегральном многообразии

Переходя к фазовому представлению движения твёрдого тела, положим, что фазовая точка находится на фазовой поверхности интегрального многообразия Ik = 0 (k = 1, … , 4). Тогда, требуя тождественного совпадения уравнений динамической системы (14) с соответствующими уравнениями системы (4)−(6), в результате получим

(15)

Тождества (15) выражают необходимое и достаточное условие существования совокупности первых интегралов (8), (10) для объединённой системы уравнений (4)−(7).

Следуя работе [6], найдём структурные и динамические условия, при которых для системы уравнений (4)−(7) существуют заданные первые интегралы (8), (10).

Зададим функцию I4 для интеграла (10) в виде

Тогда из системы уравнений (14) следует

(16)

Уравнения системы (4)−(6) при ограничениях (16), согласно применяемой классификации [7], являются динамическими уравнениями гиростатического аналога случая Л. Эйлера – Н. Жуковского для однородного гравитационного поля в пространстве

Если положить то аналогичным образом из той же системы уравнений получаем условия

(17)

Структурно-динамические условия (17) соответствуют  гиростатическому  аналогу случая Ж. Лагранжа – П. Харламова в ньютоновском гравитационном поле конфигурационного пространства

Полагая

в результате получаем

(18)

Условия (18) характеризуют аналог случая А. Клебша – М. Тиссерана [8, 9] для твёрдого тела в центральном гравитационном поле пространства

Рассмотрим необходимые условия, при которых система уравнений (4)−(7) допускает существование линейного интеграла

(19)

Если интеграл (19) существует, то система тождеств (15) принимает вид

(20)

Остальные тождества данной системы могут быть получены из равенства (20) путём циклической перестановки индексов j = 1, 2, 3, относящихся к величинам

Равенства (20) выполняются в нескольких случаях. В частности, если то они выполняются при условиях (17). В случае, при котором

, (21)

система тождеств, содержащая равенство (20), сводится к соотношению

которое при λ = 0 удовлетворяется в каждом из следующих случаев:

(22)

В равенствах (22) верхний нулевой индекс относится к значениям величин при t = 0.

Условия (21), (22) при λ = 0 соответствуют гиростатическому аналогу случая Д. Бо-былёва – П. Харламова для однородного силового поля в пространстве [7, 10].

Система соотношений (20) выполняется и в случае, при котором

(23)

что соответствует гиростатическому аналогу случая В. Гесса – Л. Сретенского для однородного гравитационного поля в конфигурационном пространстве [7, 10]. При условиях (23) для имеем A1 > A2 и векторы r, k коллинеарны, причём h4 = 0.

Обозначим

Из системы соотношений (20) следует

откуда при r ≠ 0 в случае, для которого барицентрический вектор r не ортогонален вектору u, получаем следующие уравнения кинематических связей:

(24)

(25)

Из соотношения (24) следует скалярное представление

(26)

Кинематическая связь с уравнением (26) допускает перманентное вращение твёрдого тела вокруг оси с направляющим ортом s, происходящее с угловой скоростью ω. Связь, определяемая уравнением (25), соответствует классу перманентных вращений тела в центральном ньютоновском силовом поле пространства

Уравнение (25) при λ = 0 определяет в пространстве поверхность, несущую направляющую кривую конуса осей перманентного вращения твёрдого тела. Эта поверхность касается в начале координат плоскости В пределе при k → 0 данный конус переходит в аналог конуса Штауде в пространстве с уравнением K = 0. Этот конус при λ = 0 является асимптотическим конусом поверхности с уравнением (25).

4. Задача восстановления

с ограничениями

Зададим линейные кинематические связи, наложенные на твёрдое тело, определяемые системой [11, 12]:

(27)

где

В равенстве (27)  − вещественные постоянные величины, подлежащие определению и удовлетворяющие условиям

(28)

Соотношения (28) определяют условия невырожденности преобразования (27).

Задачу, поставленную в п. 2, видоизменим следующим образом: построим систему динамических уравнений вида (9) по заданным первым интегралам (8), кинематическим уравнениям (7) и заданным связям с уравнениями (27).

Из систем уравнений (7), (27) при условиях (28) получаем следующую систему динамических уравнений, необходимую для решения задачи восстановления с заданными кинематическими связями:

(29)

В уравнениях (29) обозначено

Для того чтобы система уравнений (29) допускала существование первых интегралов (8), должны выполняться следующие условия:

(30)

Положим Тогда условия (30) тождественно удовлетворяются, если принять выражения для параметров

(31)

Наряду с ограничениями (31) следует принять структурно-динамические условия

(32)

В ограничениях (32) согласно условиям (28) имеем

(33)

и, кроме того, m ≠ 0, где параметры n, m определяются равенствами (31).

Параметр кинематической связи (27) c1 системой уравнений (30) не определяется. Для нахождения его выражения подставим в соотношение для интеграла I3 (8) представления (27) в компонентах и при ω = 0 получим

откуда следует При этом должно выполняться условие (33) для n.

Из остальных интегралов системы (8) при ω = 0 следует

Условие содержащееся в системе (32), выполняется либо для твёрдого тела с односвязными полостями, полностью заполненными жидкостью, либо для бесконечно тонкой плоской пластинки. В первом случае величины являются приведёнными по [11] главными в полюсе О осевыми моментами инерции тела. Это утверждение для тела в евклидовом пространстве было дано -мовой [12]. Можно показать, что данное условие имеет место и для твёрдого тела в пространстве

Положим теперь Тогда в силу условий (28) имеем В результате первые три условия (32) и соотношения (33) сохраняются, причём

Параметры системы (30) определяются равенствами (31).

Если при положить cj = 0 (j = 1, 2, 3), то условия (30) тождественно удовлетворяются для ограничений

Здесь λrj ≠ 0 и параметры Aj (j = 1, 2, 3) могут принимать любые допустимые значения. Этот случай соответствует перманентному вращению твёрдого тела в пространстве

Заключение

Задача восстановления динамической системы (обратная задача динамики) по заданным свойствам движения твёрдого тела, представленным системой первых интегралов, играет доминирующую роль в выборе динамической модели исследуемого механического объекта.

Действительно, принимая априорно выбранную динамическую модель в данной задаче, как правило, невозможно учесть все существенные факторы, обусловливающие текущее состояние реального объекта (т. е. добиться адекватности принятой модели). В силу этого решение детерминированной прямой задачи не гарантирует сохранение заданных свойств движения механического объекта. Для устойчивого сохранения этих свойств в течение характерного времени процесса движения необходимо осуществлять соответствующее управление его состоянием, добиваясь устойчивости движения относительно заданных показателей. Для этого, в свою очередь, необходимо решать обратную задачу динамики – задачу восстановления динамической системы по заданным свойствам движения, характеризующим одно из возможных движений. Этим определяются условия, при которых осуществимо движение с заданными свойствами.

Востребованность и актуальность теории обратных задач динамики обусловлены и потребностями современной науки об управлении движением механических объектов.

С позиции обобщённых геометрических структур множеству первых интегралов, составленному из соотношений (8), можно поставить в однозначное соответствие некоторое линейное пространство над собственно псевдоевклидовым пространством параметров динамической системы (4)−(7), выбирая данные интегралы базисными.

Интеграл I4, присоединённый к системе основных интегралов (8), является дополнительным по Уиттекеру [13] первым интегралом исходной динамической системы. Поскольку данная система уравнений в общем случае неинтегрируема (согласно известному результату А. Пуанкаре), то, как известно [14], он может существовать только для отдельных определённых значений параметров этой системы и для её определённых начальных значений.

Список литературы

1. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.196−207.

2. Движение твёрдого тела по инерции в плоскости Лобачевского // Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.103−127.

3. Теоретическая механика: в 3 т. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Т.с.

4. Движение твёрдого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1970. № 9 (100). С. 59−68.

5. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 6. С. 659−670.

6. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 19с.

7. Интегралы геометрической теории динамики гиростата // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. ВыпС.26−35.

8. Clebch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit // Mathematische Annalen. 1870. Bd. 3. S. 238−262.

9. Tisserand M. F. Sur les mouvements relatifs a la surface de la Terre // Comptes Rendus hebdomadaires des Se`ances de l`Acade`mie des Sciences. Paris, 1872. Vol.75, №26. P.760−763.

10. Малые колебания и сферическое движение гиростата в псевдоевклидовом пространстве // Прикл. матем. и механика. 1976. Т. 40, вып. 3. С. 417−423.

11. О движении твёрдого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью // Полн. собр.

соч. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Т. 3. С. 21–186.

12. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 4. С. 733−737.

13. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 19с.

14. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.

Problem of the reconstruction in dynamics

of a rigid body

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences

Russia, Saratov, Rabochaya st., 24

*****@***ru; (8

It is description the problem about reconstruction of system equations movement of rigid body round a immovable pole in central Newtonian gravitational field. Reconstruction is grooving relatively full system of independent algebraic first integrals, which is in involution. At the body in pseudo-Euclidean space is act system of stationary gyroscopic forces. It is consider case of problem with kinematic constraints.

Key words: rigid body; reconstruction and closed circuit of dynamic system; pseudo-Euclidean space.

© Н., 2013