Интегральное исчисление и функции многих переменных

Глава 1. Интегральное исчисление

§1. Первообразная, неопределенный интеграл

1.Определения

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т. е. множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры:

1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥),

2) f(x)=a (Const), F(x)=a x+C, X=(-¥,¥),

3) f(x)=cos x, F(x)=+C, X=(-¥,¥),

4) f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥),

5) f(x)=1/x, F(x)=ln |x|+C, X=(-¥ , 0).

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то G =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если G , F- первообразные для f, то G =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F = ln |x| и G =ln|x| + sign x имеют общую производную, равную f(x)=1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), в то время, как их разность =sign x и, таким образом, не являются константой на X. Из этого примера слелует, что условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множество связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f на связном множестве X (если они существуют), называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f на X, то

=F(x)+C на множестве X.

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то можно написать

F(j(t))+C =.

Другими словами, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций и x=j(t).

2.Свойства неопределенного интеграла

1) , в частности, .

2) =f+C.

3) , с точностью до аддитивной постоянной.

4) , с точностью до аддитивной постоянной.

Все эти свойства проверяются непосредственно по определению. Например, второе свойство. Производная функции равна , поэтому является первообразной для функции . Любая другая первообразная отличается от нее на константу. Таким образом, . В четвертом свойстве необходимо добавить следующее замечание. Равенство следует понимать так. Для любой первообразной из множества функций найдутся первообразные из множеств , такие, что . И наоборот, для любой пары функций из множеств , их сумма будет принадлежать множеству .

3.Таблица неопределенных интегралов

Из таблицы производных можно получить таблицу интегралов.

1) + С, a ¹ - 1.

2) = ln|x| + С, X={x>0} или X={ x<0 }, но не на X=(-¥,0)È(0,¥) .

3) + C, a¹1, =ex+C.

4) = - cos x + C, = sin x + C.

5) , , .

6) = arctg x + C, = arctg + C.

7) =tg x + C, =- ctg x + C.

8) + C.

9) + C.

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C.

11) = th x + C, = -cth x + C.

§2. Два основных метода интегрирования

1. Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т. е. =F(x)+C , функция x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

= (формула замены переменного).

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

cos t dt = d sin t = + C =.

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6–6 arctg +C.

2. Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v¢(x)dx, тогда существует и интегралdu и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям).

Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет первообразной для , что можно проверить дифференцированием: . Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.

Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

§3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

1.Предварительные сведения из алгебры многочленов

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) =, a ³ 1, и - многочлен, причем .

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P(a-1)(a)=0, P(a)(a)¹0.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3