вариация мультипликативного интеграла

Майкопский государственный технологический институт, Майкоп

В статье рассматривается вариация обыкновенного мультипликативного интеграла, формулируется задача о нахождении матричных функций, которые обеспечивают конечную вариацию. Для криволинейного мультипликативного интеграла определяется понятие вариационной производной. Найдены аналоги уравнений Эйлера-Лагранжа и Гамильтона в случае переменных и .

Вариация обыкновенного мультипликативного интеграла

Рассмотрим интеграл (1), где - гладкая матричная функция n - го порядка.[1]

Воспользуемся дифференциальным представлением мультипликативного интеграла.

где , .

Соответственно, имеет место равенство

,

где , .

Рассмотрим матричную функцию , где - некоторая гладкая матричная функция. Вычислим мультипликативный интеграл:

и рассмотрим выражение , то есть,

где , .

Выражение будем называть вариацией обыкновенного мультипликативного интеграла.

Будем говорить, что интеграл (1) имеет конечную вариацию, если выполняется условие для некоторого .

Возникает задача о том, чтобы найти такие функции , которые обеспечивают конечную вариацию интеграла (1). В частности, при получаем уравнение нулевой кривизны относительно неизвестной функции :

.

Разрешая это уравнение относительно , получаем:

,

где - постоянная матрица.

Вариация криволинейного мультипликативного интеграла

1. Первая вариация.

Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл:

, (2)

где - гладкая кривая, - гладкая матричная функция -го порядка.

Пусть , , любая гладкая функция такая, что .

Пусть - это кривая , близкая к кривой при малом .

Выражение будем называть вариационной производной интеграла (2).

Вычислим вариационную производную.

Имеем:

.

Применим формулу мультипликативного дифференцирования по параметру под знаком интеграла (формула Шлезингера).

.

Тогда получаем:

,

где .

Интегрируя по частям, получаем:

Следовательно,

поскольку .

Таким образом, условие равносильно уравнению:

, (3)

которое можно рассматривать как аналог уравнения Эйлера-Лагранжа.

Заметим, что уравнение (3) представляет собой условие нулевой кривизны следующего интеграла:

.

При этом существует потенциальная функция , такая, что

. (4)

Уравнения (4) можно рассматривать как аналог уравнений Гамильтона в случае переменных и .

Пример. Для интеграла , вариационная производная совпадает с кривизной интеграла .

2. Вторая вариация.

Рассмотрим интеграл

.

Вычислим мультипликативную производную:

,

где

,

.

Так как выражение представляет собой обычный интеграл, то естественно дифференцирование по произвести обычным образом.

.

Найдем .

,

где .

Вычислим по частям интеграл:

Следовательно, получаем:

,

где .

И окончательно получаем выражение для второй вариации интеграла:

где подынтегральное выражение можно назвать аналогом оператора Якоби, действующего на векторы и .

Литература

1. Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: МП «Качество», 1997.

Variation of product integral

L. Zh. Palandzhyants

In this article variation of a product integral is considered. For of curvilinear product integral variational derivation is determined. Analogous of Euler–Lagrange and Hamiltons for variables and are found.