Теоретическая механика

Введение

Теоретическая механика есть наука об общих законах механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения материальных тел в пространстве. Материальной точкой называют материальное тело, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. В теоретической механике тела рассматривают как недеформируемые или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя точками которого остается постоянным.

Состояние равновесия или движения тела зависит от механических взаимодействий его с другими телами. Величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных тел, учитывающая величину и направление этого воздействия, называется в механике силой. Сила – величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Силу, как и другие векторные величины, будем обозначать буквой с чертой над нею ( например, ), а модуль силы – той же буквой, но без черты над нею ( F ).

Системой сил называют совокупность сил, действующих на тело. Если систему сил, действующих на тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то такие две системы называются эквивалентными. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, равная равнодействующей по модулю, противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

Для измерения механических величин будем использовать Международную систему единиц СИ, в которой основными единицами измерения являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей измерения силы является ньютон (1Н = 1 кг · м / с2).

Теоретическая механика делится на три части – статику, кинематику и динамику. Статика – раздел теоретической механики, в котором излагается учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил. Кинематика изучает общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучается движение материальных тел под действием сил.

Раздел первый

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ.

СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ

В статике рассматриваются, в основном, две задачи: 1) преобразование сложных систем сил к более простому виду; 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

§1. Аксиомы статики

При изучении статики будем исходить из общих положений, называемых аксиомами статики, справедливость которых проверяется на опыте.

1. Аксиома равновесия двух сил. Если на твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только в том случае, когда эти силы равны по модулю ( F1 = F2 ) и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1 ).

Рис. 1

2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.

Следствие: действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Пусть на тело действует сила (рис. 2). Приложим на линии действия силы в произвольной точке B две уравновешенные силы и такие, что и . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила , но приложенная в точке В (т. е. сила – вектор скользящий).

Рис. 2

3. Аксиома параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах ( рис. 3).

Вектор называется геометрической суммой векторов и :

.

Рис. 3

4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия: всякой силе действия есть равная, но противоположная сила противодействия.

Заметим, что силы в рассматриваемом случае приложенные к разным телам и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.

5. Аксиома затвердевания: равновесие деформируемого тела, находящегося под действием сил, не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Например, равновесие цепи не нарушится, если звенья считать сваренными друг с другом.

6. Аксиома связей. Связями называют материальные тела или точки, которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого тела (точки). Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связей (или системой сил) (рис. 4, а и б).

Рис. 4

§ 2. Связи и их реакции

Тело, которое может совершать любые перемещения в пространстве называют свободным. Все то, что ограничивает перемещения тела в пространстве, называют связью (см. также § 1). Сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией связи. Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей.

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой называют поверхность, трением о которую данного тела можно пренебречь. Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности в точке касания тела и приложена в этой точке (рис. 5, а). Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 5, б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Рис. 5

2. Нить. Реакция натянутой нерастяжимой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 6).

Рис. 6

3. Цилиндрический шарнир (подшипник) осуществляет такое соединение двух тел (тело AB и неподвижная опора D), при котором одно тело может вращаться по отношению к другому вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц) (рис. 7). Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости Axy. Для силы в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль R, ни направление (угол a).

Рис. 7

4. Невесомый стержень, прикрепленный в точках A и B шарнирами, является связью для какого-нибудь тела (рис. 8, а). Реакция прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня. Если связью является криволинейный стержень (рис. 8, б), то его реакция тоже направлена вдоль прямой AB, соединяющей шарниры A и B (на рис. 8, а направление реакции соответствует случаю, когда стержень сжат, а на рис. 8, б – когда растянут).

Рис. 8

При решении задач реакции связей обычно являются подлежащими определению неизвестные.

§ 3. Геометрический способ сложения сил.

Равнодействующая сходящихся сил

Величину, равную геометрической сумме сил системы, называют главным вектором этой системы сил.

1. Сложение системы сил. Геометрическая сумма двух сил и находится по правилу параллелограмма (рис. 9, а) или построением силового треугольника (рис. 9, б). Если угол между силами равен a, то модуль R и углы b, g, которые сила образует со слагаемыми силами, определяются по формулам:

, (1)

. (2)

Рис. 9

Геометрическая сумма трех сил, не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Для нахождения суммы сил , , , …, (рис. 10, а) вторым способом откладываем от произвольной точки О (рис. 10, б) силу , из конца вектора откладываем силу и т. д.; из конца предпоследнего вектора – силу . Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получим вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

или . (3)

Рис. 10

2. Равнодействующая сходящихся сил. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящимися. Рассмотрим систему сходящихся сил (рис. 10, а). Так как сила является вектором скользящим, то система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенной в одной точке ( на рис. 10, а в точке A).

Последовательно применяя закон параллелограмма сил, придем к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложена в точке пересечения их линий действия.

Следовательно, система сил , , , …,  имеет равнодействующую, равную их главному вектору и приложенную в точке A ( или в любой другой точке, лежащей на линии действия силы , проведенной через точку A).

§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.

Аналитический способ сложения сил

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси ( рис. 11).

Fx = Fcosa , Qx = Qcosa1 = – Qcosj , Px = 0. (4)

Рис. 11

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 12).

Рис. 12

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось (рис. 12):

Fx = Fxycosj = Fcosqcosj , Fy = Fxysinj = Fcosqsinj . (5)

Силу можно построить, если известны модуль F этой силы, углы a, b, g, которые сила образует с координатными осями и координаты x, y, z точки приложения.

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями Fx = X , Fy = Y , Fz = Z на координатные оси. Зная проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями по формулам

,

cosa = X / F, cosb = Y / F , cosg = Z / F . (6)

Если есть главный вектор системы сил , , , …, , т. е. , то проекциями вектора на оси координат будут:

, ,

Зная Rx, Ry, Rz, по формулам (6) находим модуль главного вектора и его направляющие косинусы:

,

cosa = Rx / R , cosb = Ry / R , cosg = Rz / R . (7)

Формулы (7) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

, ,

, cosa = Rx / R , cosb = Ry / R . (8)

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ), если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 , j = 300, y = 600.

Решение

Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:

Fx = Fcosj = 17,32·0,866 = 15 Н, Tx = – Tcosy = – 10·0,5 = – 5 Н, Px = 0,

Fy = – Fsinj = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, Ty = – Tsiny = 10·0,866 = 8,66 Н,

Py = – P = –24 Н.

Тогда по формулам (8)

Rx = 15 – 5 = 10 Н , Ry = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .

Следовательно

 Н ; cosa = 5 / 13 , cosb = – 12 / 13 .

Окончательно R = 26 Н, a = 67020/, b = 157020/.

Для решения задачи геометрическим методом выберем соответствующий масштаб (например, в 1см – 10 Н) и построим из сил , , , силовой многоугольник (рис. 13, б). Его замыкающая ad определяет в данном масштабе модуль и направление . Если, например, при измерении получим ad ≈ 2,5 см, то R ≈ 25 Н с погрешностью по отношению к точному решению около 4 %.

Рис. 13

§5. Равновесие системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется первой формулой (7):

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам

, , . (9)

Равенства (9) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.

Если сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В этом случае получим только два условия равновесия:

, . (10)

3. Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия сил пересекаются в одной точке.

Для доказательства теоремы сначала рассмотрим две силы, например и . Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке А (рис. 14). Заменим их равнодействующей . Тогда на тело будут действовать две силы: сила и сила , приложенная в какой-то точке В тела. Так как тело находится в равновесии, то согласно первой аксиоме, силы и направлены вдоль прямой АВ. Следовательно, линия действия силы тоже проходит через точку А, что и требовалось доказать.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4