Абсолютная величина в неравенствах

Неравенство с модулем – такое неравенство, в котором имеется хотя бы одно выражение | a |, где в качестве a может быть любое аналитическое выражение, содержащее хотя бы одну искомую неизвестную данного неравенства.

При решении неравенств с модулем можно не упоминать общий алгоритм, а применять схемы равносильности преобразований неравенств с модулем, которые получены на основе определения модуля.

Схемы равносильных переходов

1.

3.

5.

6.

Но заучивать все схемы не следует, важно их знать. К положительному результату может привести только осознанное их использование.

§1. Неравенства вида

Неравенство (1) можно решать основным методом. Однако иногда можно решить данное неравенство, применив схемы равносильных переходов – 2 и 4.

Пример 1. Решить неравенство

Решим данное неравенство, применив схему 4.

при любом

при

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решаем согласно схеме 2:

Ответ: .

§2. Неравенства вида

Неравенство (2) можно решать основным способом. Однако иногда бывает полезно разбить ОДЗ неравенства (2) на две части, а именно:

1.  Найти область, где . Все x из этой области дают решение неравенства (2).

2.  Найти область, где и на ней рассмотреть неравенство .

Объединение найденных решений и даёт решение неравенства (2).

Пример 3. Решить неравенство

(3)

Решение. ОДЗ: .

а) Найдём те x, для которых

(4)

Перепишем неравенство (4) в виде

(5)

Ясно, что никакое x из промежутка 0 ≤ x < + ∞ не является решением неравенства (5). Пусть x < 0, для этих x неравенство (5) равносильно неравенству

(6)

Решения неравенства (6) составляют два промежутка

Из этих x условию x < 0 удовлетворяют лишь x из промежутка

Следовательно, решениями неравенства (4) являются все x из промежутка

, все эти x являются решениями исходного неравенства (3).

б) Теперь на множестве рассмотрим неравенство

(6)

Его можно переписать в виде

(7)

Ясно, что x = не есть решение неравенства (7).

Для любого x > левая часть неравенства (7) отрицательна, а правая положительна, следовательно, среди x > нет решений неравенства (7).

Для любого x < левая часть неравенства (7) положительна, а правая отрицательна, следовательно, любое из этих x является решением неравенства (7).

Из этих x в множество входят все x из промежутка .

Все они являются решениями исходного неравенства (3).

Объединяя решения, найденные в пунктах а) и б), получаем решения исходного неравенства (3).

Ответ: .

§3. Неравенства вида | f(x) | < | g(x) |

Неравенство | f(x) | < | g(x) | (8) можно решать согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заметить неравенство (8) неравенством

(применили схему 6), т. е. неравенством

( f (x) + g (x)) ∙ (f (x) - g (x)) < 0, равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 4. Решить неравенство

(9)

Решение. ОДЗ: . Неравенство (9) равносильно неравенству

,

которое можно переписать в виде

Решением этого неравенства является любое действительное x, кроме x = 0.

В самом деле, для любого x, принадлежащего промежутку имеем и , поэтому для любого такого x.

Для любого x, принадлежащего промежутку имеем и , поэтому и .

В силу чётности функции получаем, что все также являются решениями неравенства.

Очевидно, что x = 0 неравенству не удовлетворяет.

Ответ: .