Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников (стр. 1 )

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 13 г. Сочи

Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников

Автор:

ученик 8Б класса МОБУ СОШ № 13 г. Сочи

Руководитель:

учитель физики МОБУ СОШ № 13 г. Сочи

г. Сочи, 2012

Введение

«Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям…

Колеблются даже атомы, из которых мы состоим».

Р. Бишоп

Колебательные движения широко распространены в окружающей жизни. Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Колебательные движения тела обеспечивают перемещение змей, червей и гусениц. Благодаря колебаниям тела и плавников плавают рыбы, колебания ресничек вызывают движение инфузорий, а колебания крыльев птиц и насекомых позволяют им перемещаться в воздухе на большие расстояния.

Возникает проблема, каковы особенности свободных механических колебаний и какие факторы влияют на их период, частоту и степень затухания?

Недостаточность знаний по этому вопросу и желание понять особенности свободных механических колебаний обусловили выбор темы исследования «Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников».

Объектом исследования являются свободные механические колебания математического и пружинного маятников.

В качестве предмета исследования выступают характеристики колебательного движения — период, частота колебаний, коэффициент и логарифмический декремент затухания.

Целью исследования является

Ø  определение факторов, влияющих на период и частоту свободных механических колебаний математического и пружинного маятников;

Ø  изучение зависимости коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания от рода вещества при колебаниях математического и пружинного маятников.

Для достижения этой цели нами решались следующие задачи:

Ø  подбор литературы по проблеме;

Ø  изучение, анализ, обобщение литературы по проблеме;

Ø  проведение эксперимента по изучению свободных механических колебаний математического и пружинного маятников;

Ø  обработка и анализ полученных материалов.

Гипотеза исследования: период и частота свободных механических колебаний математического маятника зависят от длины нити и амплитуды колебаний, период и частота свободных механических колебаний пружинного маятника зависят от массы груза, жёсткости пружины и амплитуды колебаний, в более плотной среде колебания затухают быстрее.

В ходе работы мы использовали следующие методы:

Ø  Теоретические (изучение, анализ, обобщение литературы);

Ø  Эмпирические (наблюдения, беседы, измерения);

Ø  Интерпретационные (количественная и качественная обработка результатов).

Новизной работы является постановка простейших опытов, позволяющих определить факторы, влияющие на период и частоту свободных механических колебаний, и степень их затухания.

Практическая значимость работы состоит в том, что использование поставленных опытов, позволяет рассмотреть вопрос о свободных механических колебаниях более наглядно.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и содержит 17 таблиц, 41 рисунок.

Глава 1. Теоретические основы механических колебаний

1.1 История изучения колебаний

Первыми учеными, изучавшими колебания, были итальянец Г. Галилей (1564—1642 гг.) и голландец Х. Гюйгенс (1629—1692 гг.). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрёл первые часы с маятником, и исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника. Исследование колебаний маятника, предпринятое Г. Галилеем и Х. Гюйгенсом, сыграло важнейшую роль в возникновении классической механики [4].

Изучение в конце 19 века электромагнитных колебаний английским физиком У. Томсоном (Кельвином) имело большое значение для понимания электромагнитных явлений. Много важных сведений и результатов по теории колебаний содержится в трудах английского физика Дж. Рэлея.

Изобретение радио русским учёным в 1895 году явилось важнейшим техническим применением электромагнитных колебаний.

посвятил ряд выдающихся исследований получению электромагнитных колебаний очень высокой частоты, ультразвуковым колебаниям и поведению вещества под действием быстропеременных электрических полей [5].

принадлежат фундаментальные исследования по теории качки корабля. Большое значение в области изучения колебаний, в частности нелинейных колебаний, имели работы советских ученых , , и [4].

Работы и содержат математическую основу теории случайных процессов в колебательных системах, получившей важное практическое значение.

1.2 Понятие свободных и вынужденных механических колебаний

Колебательные движения широко распространены в окружающей жизни (рис. 1). Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, маятника часов, качелей, вагона на рессорах, деревьев во время ветра, раскачивание боксёрской груши при периодических ударах в неё. При разнообразии колебательных движений (различные траектории движения тела, размах колебаний, период, частота, фаза колебаний), их общая черта состоит в том, что колебательные движения периодически повторяются.

Установление амплитуды вынужденных колебаний

Рис. 6

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты изменения силы. Максимального значения амплитуда вынужденных колебаний достигает при частоте ω колебаний внешней силы, примерно равной собственной частоте ω0 колебаний системы: ω = ω0. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тела до максимального значения, происходящее при совпадении частоты изменения действующей на это тело внешней силы с собственной частотой свободных колебаний данного тела, называется механическим резонансом [3].

Пример зависимости амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы постоянной амплитуды представлен на рисунке 7. По оси абсцисс отсчитывается частота ω изменения силы, действующей на систему, по оси ординат — амплитуда xm вынужденных колебаний.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний

от частоты вынуждающей силы постоянной амплитуды

Рис. 7

При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда колебаний в установившемся режиме резонанса определяется условием равенства потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.

В одних случаях резонанс вреден, так как в системе с малым трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе может быть очень большой даже при малой вынуждающей силе. Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливаются на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти в «ногу». Поэтому возможность возникновения резонанса учитывается в технике при создании машин и механизмов с движущимися частями, самолётов, ракет, строительстве мостов, зданий и конструкций, испытывающих вибрацию под нагрузкой.

В других случаях резонанс полезен, тогда его используют в механических, акустических и радиотехнических приборах.

Незатухающие колебания могут происходить в системе и при отсутствии внешней силы, если данная система содержит в себе источник энергии и устройство, регулирующее поступление к колеблющейся части системы порции энергии, компенсирующих потери, вызванные трением. Такие системы называют автоколебательными системами [1]. Таким образом, автоколебания — незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменной силы [3].

В отличие от вынужденных колебаний, частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний.

Автоколебательную систему можно разделить на три основных элемента: 1) колебательную систему; 2) источник энергии; 3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время [7].

Примерами механических автоколебательных систем являются часы, ламповые генераторы, сердце живого организма (рис. 8).

Механические автоколебательные системы

Маятниковые часы Ламповый ВЧ генератор Г4 Сердце человека

Рис. 8

В часах с маятником колебательной системой является маятник, источником энергии — гиря, поднятая над землей, или стальная пружина (рис. 9).

Схема устройства часов с маятником

Рис. 9

Основными деталями устройства, осуществляющего обратную связь, служит храповое колесо (1) и анкер (2). Гиря (или пружина) вызывает вращение храпового колеса. При каждом колебании маятника зубец храпового колеса толкает анкерную вилку в таком направлении, что разгоняет маятник. В результате запас энергии, израсходованной на трение, восполняется за счет энергии гири, поднятой над землей, или закрученной пружины. Вращение стрелок часов осуществляется с помощью зубчатых колес от храпового колеса [3].

1.3 Аналитическое и графическое представление колебаний

Колебательные движения — периодически повторяющиеся движения. Отклонение тела от положения равновесия называется смещением х [8].

Для аналитического описания колебаний тела относительно положения равновесия задается функция f(t), выражающая зависимость смещения x от времени t: x = f(t). График этой функции дает наглядное представление о протекании процесса колебаний во времени. Получить такой график можно построением по точкам графика функции f (t) в координатных осях ОХ, t (рис. 10).

График зависимости смещения от времени

Рис. 10

Гармоническими колебаниями называют колебания, описываемые уравнением

x = хm.cos(ωt + φ0), где х — смещение тела от положения равновесия, [х] = м;

хm. — амплитуда колебаний — модуль максимального смещения

тела от положения равновесия, [х m.] = м;

ω — циклическая частота колебаний, [ω] = ;

t — время, [t] = с;

φ0 — начальная фаза колебания — фаза колебания в начальный момент времени t = 0, [φ0] = рад.

Если начальная фаза колебаний φ0 равна нулю, то x = х m.cos ωt.

Величина, стоящая под косинусом, называется фазой φ гармонического колебания: φ = ωt + φ0. Маятники колеблются в одинаковых фазах, если скорости этих маятников в любой момент времени направлены одинаково. Колебания маятников происходят в противоположных фазах, если в любой момент времени скорости маятников направлены в противоположные стороны [10].

Как и другие виды движения, колебательное движение характеризуется скоростью и ускорением. При колебательном движении скорость и ускорение изменяются от точки к точке, от одного момента времени к другому (рис. 11). В точках максимального отклонения от положения равновесия скорость равна нулю. В точке равновесия скорость максимальна. Ускорение — наоборот, в точках максимального отклонения от положения равновесия максимально, а в положении равновесия равно нулю [6].

Стробоскопическое изображение гармонических колебаний

Рис. 11

Периодом Т колебательного движения называется время одного полного колебания (рис. 12).

Графическая интерпретация амплитуды и периода колебаний

Рис. 12

Период колебаний можно определить следующим образом:

1) Т = , где T — период колебаний; [Т] = c;

T — время колебаний; [t] = c;

N — число колебаний; [N] = 1.

2) T = , где ν — частота колебаний; [ν] = Гц.

3) Т = 2π (формула Гюйгенса для расчёта периода колебаний математического маятника), где π = 3,14;

l — длина нити, [l] = м;

g — ускорение свободного падения, g = 9,8 .

Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения используется для точных измерений ускорения свободного падения на поверхности Земли. По результатам измерений можно обнаружить район залегания полезных ископаемых — железной руды, нефти, газа [2].

4) Т = 2π(формула расчёта периода колебаний пружинного маятника), где

π = 3,14;

m — масса груза, [m] = кг;

к — жёсткость пружины, [к] =.

Величина ν, обратная периоду и равная числу полных колебаний, совершаемых за 1 секунду, называется частотой колебаний. Частоту колебаний можно определить следующим образом:

1) ν = , гдеν— частота колебаний; [ν] = Гц;

t — время колебаний; [t] = c,

N — число колебаний; [N] = 1.

2) ν = , гдеT— период колебаний; [Т] = c.

Величина ω = 2πν = называется циклической (круговой) частотой колебаний. Циклическая частота определяет число колебаний, происходящих за 2π секунд, поэтому имеет единицу измерения .

Таким образом, свободные механические колебания характеризуются амплитудой, периодом, частотой, циклической частотой и фазой.

1.4 Превращение энергии при механических колебаниях

При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия в поле тяготения увеличивается, так как увеличивается расстояние от поверхности Земли. При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, его кинетическая энергия увеличивается. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения запаса потенциальной энергии маятника в результате уменьшения расстояния от поверхности Земли [12].

В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении становится равной нулю. При колебательном движении маятника всегда происходят периодические взаимные превращения его кинетической и потенциальной энергии (рис. 13).

Превращение энергии при колебаниях математического маятника

Рис. 13

Реальные механические колебания не происходят без потерь энергии. При любом механическом движении тел в результате их взаимодействия с окружающими телами часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время после начала колебаний маятник останавливается [7].

Свободные механические колебания всегда оказываются затухающими колебаниями, то есть колебаниями с убывающей амплитудой.

1.5 Колебания в неживой и живой природе

Вселенная находится в состоянии вибрации. Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук — это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны — периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет — тоже электромагнитные колебания, только с другими длиной волны и частотой, чем радиоволны. Землетрясения — колебания почвы, приливы и отливы — изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны, биение пульса — периодические сокращения сердечной мышцы человека [1].

Вибрации — частный случай механических колебаний, представляющие собой относительно малые отклонения отдельных точек тела, например, фундамента здания, корпуса самолета, сидения автомобиля. Земля вибрирует в ритм Солнца. Данное колебание проявляется на Земле в геологических структурах, в магнитном поле, и её атмосфере. В земной атмосфере колебания принимают форму звуковых волн с очень низкой частотой колебания (100 — 5000 мкГц). Человек их не слышит, так как нижний порог слышимости человека составляет 16 Гц [15]. Колебания от Солнца передаются Земле по следующей схеме: возмущения, зарождающиеся в недрах Солнца, передаются солнечному магнитному полю, а далее солнечному ветру, который уносится в межпланетное пространство. При взаимодействии магнитного поля солнечного ветра с магнитным полем Земли, колебания Солнца передаются Земле.

Действие вибраций на человека различно. Оно зависит от того, вовлечён в него весь организм или часть организма, частоты, силы и продолжительности вибраций и может приводить как к негативным, так и к позитивным последствиям. Наиболее заметное негативное проявление вибрации происходит при пользовании транспортными средствами, промышленными механизмами и бытовыми приборами. Медицинскими исследованиями установлено, что длительные вибрационные нагрузки даже при слабом их уровне могут вызвать виброболезнь, поражающую нервную, сердечно — сосудистую и двигательную системы человека. Под действием вибрации рассеивается внимание, снижаются функциональные возможности человека, повышается его утомляемость. С точки зрения биомеханики человек представляет собой деформируемое тело, на которое действуют различные физические силы. При действии физических факторов за счет использования энергетических ресурсов и включения соответствующих мышц появляются физиологические реакции, стремящиеся восстановить первоначальное состояние [1].

Одним из широко известных последствий действия механических колебаний и вибраций, является укачивание, в процессе которого нарушается функционирование вестибулярного аппарата. Сильные формы укачивания сопровождаются головокружением, тошнотой, рвотой, пространственными иллюзиями, дезориентацией, и нарушением координации движений. Упрощенно вестибулярный аппарат можно представить в виде трех пустотелых колец неправильной формы. Кольца заполнены жидкостью. Когда человек наклоняется или кивает головой, жидкость по инерции давит на желеобразный клапан, пронизанный нервными окончаниями, которые подают мозгу информацию о характере движения. Поэтому при широком классе воздействующих на человека механических колебаний вестибулярный аппарат начинает подавать на вход нервной системы ложную информацию, не соответствующую характеру движений головы под действием заданной вибрации. Ложная вестибулярная информация вызывает болезненное состояние укачивания у человека, дезорганизует работу многих систем организма, нарушает четкость движений и пространственное восприятие. Установив это, ученые смогли усовершенствовать вестибулярные тренировки, имеющие большую практическую ценность.

В организме человека часто встречаются колебательные движения. Колебания в организме — это изменение температуры, давления, содержания элементов крови и других биологических жидкостей, механические смещения сердца, легких, грудной клетки в процессе жизнедеятельности организма, электрические колебания в органах и тканях при их возбуждении. Каждый внутренний орган человека имеет свою собственную частоту колебаний. Так, частота системы человека «брюшная полость — грудная клетка» лежит в пределах 40 — 60 Гц; резонанс грудной клетки при одномерных колебаниях наступает при частоте 4 — 8 Гц. Поэтому, если человек длительное время подвергается периодическому механическому воздействию, то вследствие резонанса его внутренних систем с внешними колебаниями может возникнуть плохое самочувствие, а при длительных и сильных воздействиях может наступить даже гибель. Возможность вредного влияния колебаний на организм, обусловленного резонансом, учитывается при конструировании машин, станков, автомобилей, тракторов. Принимаются специальные меры, чтобы избежать его [1].

Вибрация в небольшой степени и в небольших количествах оказывает положительное влияние на человека. Позитивным последствием вибрации на организм человека является ускорение восстановительных процессов у спортсменов после вибромассажа и повышение работоспособности людей, ведущих малоподвижный образ жизни. Специальный вибрационный массаж хорошо снимает мышечную усталость. Исследователи установили, что мышечная работоспособность у спортсменов не успевает восстанавливаться за 3 — 5 минут отдыха после тренировочных упражнений. Если же вместо пассивного отдыха на мышцу воздействовать вибрационным массажем, то через 3 минуты сила мышц восстанавливается. При малоподвижном образе жизни вибромассаж вызывает напряжение расслабленных мышц, повышает мышечный тонус, улучшает циркуляцию крови, и, в конечном счете, повышает работоспособность человека.

Колебательные движения тела обеспечивают перемещение змей, червей и гусениц. Благодаря колебаниям тела и плавников плавают рыбы, колебания ресничек вызывают движение инфузорий, а колебания крыльев птиц и насекомых позволяют им перемещаться в воздухе на большие расстояния (рис.14). При полете птиц, плавании рыб часть химической энергии организма переходит в механическую энергию крыльев, плавников, хвоста. Некоторые птицы для перелета затрачивают так много энергии, что при массе 150 г за 37 часов полета у них «сгорает» 18 г жира, что составляет часть массы [1]

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4