Геометрия. Урок: «равенство векторов»

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ»

Предмет: Геометрия

Тема: Равенство векторов

Класс: 9 класс
Педагог: , заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:

Знать определение коллинеарных, равных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов;

Уметь записывать знаками сонаправленные и противоположно направленные векторы, использовать вышеперечисленные определения при решении задач, откладывать от данной точки вектор, равный данному.

Ход урока.

I.  Организационный момент: назвать цели урока.

II.  Проверка пройденного материала.

Тестирование:

1. Какие из следующих величин являются векторными:

скорость, масса, сила, время

2. № 000.В прямоугольнике АВСD = 3 см, ВС = 4 см, М - середина

стороны АВ. Найдите длины векторов , , , , ,

, .

а) ½½=4 см,

½½=4 см,

½½ =3 см, ½½ = см,

½½= 1,5 см, ½½= 3см, ½ ½=5 см

б) ½½=3 см,

½ ½=4 см,

½½ =3 см, ½½ = см,

½½= 1,5 см, ½½= 4 см, ½ ½=5 см

в) ½½=4 см,

½ ½=3 см, ½½ =3 см, ½½ = см,

½½= 1,5 см, ½½= 4 см, ½½=5 см

III. Объяснение нового материала

План объяснения.

1. Коллинеарные векторы.

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой) называются коллинеарными. Изображенные справа на рисунке

векторы , , лежащие на параллельных прямых, коллинеарны и векторы , и , лежащие на одной прямой, коллинеарны. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае они называются сонаправленными, во втором - противоположно направленными. Так, коллинеарные векторы и сонаправленные, а коллинеарные векторы и , и - противоположно направленные. Коллинеарные векторы и, и - противоположно направлены.

2. Сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Сонаправленность векторов и обозначается следующим образом: ­­. Если же векторы и противоположно направлены, то это обозначают так: ­ .

Обратите внимание, что о сонаправленности векторов можно говорить только в случае их коллинеарности. На рисунке ­­, ­­, , ­­, ­,­,­,­. Нулевой вектор не имеет определенного направления, поэтому считают, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

3. Свойства коллинеарных векторов.

4. Равенство векторов

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их модули равны.

Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Равенство векторов обозначается так: =.

По определению, =, если и ½½=½½.

Убедимся, что два вектора и, равные третьему вектору, равны, т. е. если = и

=, то =.

Действительно, из равенства = следует и ½½; из =следует и ½½=½½;

Из равенства ½½=½½ и ½½=½½ (т. к. это числовые равенства) следует ½½=½½.

Тогда, если один их векторов ,, нулевой, то все три вектора нулевые, отсюда ==0

Если же векторы ,, ненулевые, то из и ( по свойству 1 коллинеарности векторов) следует . Итак, ½½=½½ и , т. е. =.

Обратите внимание, что векторы характеризуются и длиной и направлением, поэтому для равенства векторов недостаточно одного равенства их модулей, как и одной их сонаправленности. Так, на рисунке =, т. е. и ½½=½½. Но векторы и не равны (обозначается: ¹ ), т. к. они не коллинеарны ( следовательно, не сонаправлены), хотя их модули равны. Аналогично ¹.

Из определения равенства векторов, а также свойств параллелограмма вытекает следующее утверждение:

Два вектора и, не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда АВСD - параллелограмм.

Действительно, если =, то и ½½=½½. Из следует, что прямые АВ и CD параллельны. Из ½½=½½следует, что отрезки АВ и CD равны.

Отсюда, по признаку параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны), АВСD - параллелограмм.

И обратно, если АВСD - параллелограмм, то по свойству АВ½½ СD и АВ = CD.

5. Отработка навыков на тренажере.

6. Откладывание вектора от данной точки

Если точка А - начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А.

Покажем, как от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, причем только один.

Пусть - нулевой вектор, тогда искомым вектором является вектор .

Пусть - ненулевой вектор, а точки А и В - его начало и конец. Проведем через точку М, не лежащую на прямой АВ, прямую р так, что р ½½ АВ ( если же точка М лежит на прямой АВ, то прямая р совпадает с прямой АВ).

На прямой р от точки М отложим в разные стороны отрезки МС и МС1, равные отрезку АВ. Тогда один из векторов и будет сонаправлен с вектором .

По рисунку видно, что , т. к. по построению ½½= МС = АВ =½½, то вектор - искомый.

Так, на прямой р от точки М в одну сторону можно отложить только один отрезок МС, равный данному отрезку АВ, то вектор= только один.

В дальнейшем нам часто придется откладывать данный вектор от данной точки. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Например, можно обозначить вектор вектором

7. Приведение векторов к общему началу.

Если точка О - начало нескольких векторов ,,, , то говорят, что векторы ,,, отложены от точки О или, как еще говорят, векторы ,,, приведены к общему началу.

Приведение любого числа векторов к общему началу проводится аналогично откладыванию данного вектора от данной точки. Например, на рисунке векторы ,,, отложены от точки следующим образом: через точку последовательно проведены четыре прямые, параллельные соответственно векторам ,,, , и на каждой из них от точки О отложен один вектор, равный соответственно каждому из векторов ,,, .

Выводы по теме:

1. Векторы, лежащие на параллельных прямых ( или на одной и той же прямой) называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

2. Для любых ненулевых коллинеарных векторов ,,,справедливы следующие свойства:

1) если , , то;

2) если ||, ½½ , то;

3) если , ½½, то .

3. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их модули равны.

4.Два вектора, равные третьему вектору, равны.

5. Два вектора и , не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда АВСD - параллелограмм.

6. Если точка А - начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, причем только один

IV. Закрепление изученного материала.

Итоговое тестирование:

1. Из представленных векторов коллинеарны следующие векторы:

а) и

б) и

в) и

2. Пусть = и = . Что вы можете сказать о векторах и ?