Занятие № 1.
Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.
I. Теоретические сведения.
Определения вектора, суммы, разности двух векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения векторов вводятся в пространстве так же, как и на плоскости.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или существует плоскость, которой они параллельны.
Сумму трех некомпланарных векторов 
можно получить по правилу параллелепипеда. Отложим от некоторой точки О пространства
Совокупность трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, называется базисом векторного пространства. Число векторов базиса определяет размерность векторного пространства.
 |
 |
В = 
– аффинный базис В = 
– ортонормированный базис
Dim V = 3 Dim V = 3
Базис называется ортонормированным, если выполняются следующие условия: 1) 
, 
, 
2) 
Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса называются координатами вектора относительно данного базиса.
Т. е., если 
то 
относительно базиса В = 
.
Для того чтобы векторы 
были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов был равен 0. Т. е. 
- компланарны 
= 0, где 
, 
, 
.
В дальнейшем будем рассматривать только ортонормированный базис. Пусть 
заданы координатами, то есть 
, 
. Тогда операции над векторами в координатах выражаются следующим образом:
λ 
= 
(1)
cos
sin
Если 
, 
и 
– углы, которые составляет с базисными векторами, т. е. 
= 
, 
= 
, 
= 
, то cos, cos, cos
называются направляющими косинусами вектора 
.
Пусть 
имеет координаты a1, a2, a3, тогда
a1 = 
cos
a2 = cos (2)
a3 = cos
Формулы (2) выражают геометрический смысл координат относительно ортонормированного базиса.
Из (1) и (2) следует, что
cos2 + cos2 + cos2 = 1
Последнее равенство позволяет определить один из углов 
, 
, 
, если известны два других.
Проекцией на ось u называется число, равное произведению длины вектора на косинус угла 
наклона вектора к оси u.
прu = cos
Используя операцию скалярного произведения векторов, проекцию произвольного вектора 
на какую-нибудь ось u можно определить формулой
прu
,
где 
– единичный вектор, направленный по оси u.
Если даны углы , , , которые ось u составляет с координатными осями, то 
и проекция вектора 
на ось u вычисляется по формуле:
прu = 
II. Упражнения.
1. Определить точку N, с которой совпадает конец 
, если его начало совпадает с точкой M(2;–3:1).
2. Определить начало вектора 
, если его конец совпадает с точкой (5;–3;2).
3. Вычислить направляющие косинусы вектора 
4. Дан модуль 
=2 и углы =450, =600, =1200. Вычислить проекции вектора на координатные оси.
5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) =450, =600, =1200; 2) =450, =1350, =600; 3) =900, 
=1500, =600.
6. Вектор составляет с осями Ох и Оz углы =1200 и =450. Какой угол он составляет с осью Оy?
7. Определить при каких значениях и векторы 
и 
коллинеарны?
8. Проверить, что четыре точки А(3;–1;2), В(1;2;–1), С(–1;1;–3), Д(3;–5;3) служат вершинами трапеции.
9. Найти орт вектора 
.
III. Основные типовые задачи.
1. Построение линейной комбинации векторов.
2. Разложение вектора по векторам базиса векторного пространства.
3. Вычисление координат линейной комбинации данных векторов.
4. Вычисление длины вектора.
5. Вычисление угла между векторами.
IV. Примеры решения задач.
|
=
, 
, 
. Построить каждый из следующих векторов: 1)
; 2)
; 3)
.
3) 
= –
, где К – середина ребра АА'.
Задача 2. Даны три вектора 
, 
, 
. Найти разложение вектора 
по базису 
.
Решение.
Обозначим коэффициенты разложения вектора 
по базису 
через x, y, z. Тогда 
. Запишем это соотношение в координатах:
Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, получим x = 2, y = –3, z = 1 и 
.
Ответ: 
.
Задача 3. Даны три силы 
, 
и 
, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М1(5;3;–7) в положение М2(4;–1;–4).
Решение.
Если вектор 
изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора 
, то работа А этой силы определяется равенством А = 
.
Найдем силу 
, являющуюся равнодействующей данных сил 
, т. е.
, 
.
Вектор перемещения 
имеет координаты 
.
Найдем скалярное произведение 
в координатах:
= 2∙(–1)+(–3)∙(–4)+1∙3 = 13.
Ответ: А = 13.
Задача 4. Даны вершины треугольника: А(–1;–2;4), В(–4;–2;0) и С(3;–2;1). Определить его внутренний угол при вершине В.
Решение.
|
и 
.
Используем формулу cos
cos B = 
. Следовательно,
= arccos 
= 450
Ответ: = 450.
Задача 5. Вектор 
, коллинеарный вектору 
, образует острый угол с осью Oz. Зная, что 
, найти его координаты.
Решение.
Так как 
коллинеарен вектору 
, то его координаты пропорциональны координатам 
, т. е. 
. Найдем длину вектора :
Учитывая, что , получим
156,25α2 = 2500 
α2 = 16 α = 
4.
Отсюда следует, что имеет координаты 
или 
.
Но вектор 
образует острый угол с осью Oz, следовательно 
>0, где 
– направляющий вектор оси Oz, 
.
Найдем 
<0, 
>0. Учитывая, что 
, получим, что α = – 4 и вектор 
имеет координаты 
.
Ответ: 
.
Задача 6. Вычислите угол, который образуют единичные векторы 
и 
, если известно, что векторы 
и 
взаимно перпендикулярны.
Решение.
Из того, что векторы 
и 
взаимно перпендикулярны следует, что их скалярное произведение равно 0.
Так как 
имеем:
8+8
cos
= 0
cos = –1, = 1800
Ответ: π.
V. Задачи для самостоятельной работы.
1. Проверить коллинеарность векторов 
и 
. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
2. Два вектора 
и 
приложены к одной точке. Определить координаты вектора 
, направленного по биссектрисе угла между векторами и 
, при условии, что 
.
3. Даны три вектора 
, 
, 
. Найти разложение 
по базису 
.
4. Даны неколлинеарные векторы и 
. При каких значениях α и β для векторов 
выполняется равенство 
?
5. Найдите координаты вектора , если известны его длина и углы 
и , которые он образует с векторами базиса 
; 
; 
а)
, 
, 
, 
; б)
, 
, 
, 
; в) 
, 
, 
, 
.
6. Доказать, что вектор 
перпендикулярен к вектору .
7. Найдите угол между векторами 
и 
, если 
, 
, 
, 
, 
и 
взаимно-перпендикулярны.
8. Треугольник АВС задан векторами 
и 
. Найдите длины медиан АМ и ВР треугольника и угол между ними.
9. Вычислить, какую работу производит сила 
, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2;–3;5) в положение В(3;–2;–1).
10. Даны вершины треугольника А(3;2;–3), В(5;1;–1) и С(1;–2;1). Определить его внешний угол при вершине А.
11. Найти вектор , коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
.
12. Даны три вектора: 
. Вычислить пр
.
13. Даны точки А(–2;3;–4), В(3;2;5), С(1;–1;2), Д(3;2;–4). Вычислить пр
.
Занятие № 2.
Тема: Системы координат в пространстве.
I. Теоретические сведения.
Аффинной системой координат (или аффинным репером) в пространстве называется совокупность точки О пространства и упорядоченной тройки линейно-независимых векторов 
.
R = 
.
|
| |
 | |
называются базисными векторами.Аффинная система координат 
называется прямоугольной декартовой системой координат, если ее базисные векторы единичны и попарно ортогональны.
В дальнейшем мы будем пользоваться только правой системой координат.
Под координатами точки М пространства мы будем понимать координаты ее радиус-вектора 
.
М(x, y, z) 
Точка М(x, y, z) принадлежит плоскости Oxy тогда и только тогда, когда z = 0.
Аналогично, М(x, y, z) 
Oyz 
x = 0,
М(x, y, z) 
Oxz y = 0.
Точка М(x, y, z) лежит на оси Ox тогда и только тогда, когда y = 0 и z = 0.
Аналогично, М(x, y, z) Oy 
x = 0, z = 0
М (x, y, z) 
Oz x = 0, y = 0.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
