Аффинная деформация геоматериалов как методика тестирования моделей дискретных элементов

, ,

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, Россия

Большинство математических моделей геомеханики носят феноменологический характер, т. е. они строятся на основе некоторых базисных экспериментов. Хорошо известно, что идеальными для этих целей являются эксперименты, в которых реализуется однородное распределение напряжений и деформаций по пространству. Здесь процесс деформирования сводится к реализации последовательности аффинных преобразований.

В [1] дана общая классификация однородных процессов деформирования. На их основе разработаны методики и лабораторные установки по реализации однородного деформирования сыпучей среды при чистом сдвиге, сложном нагружении с непрерывным поворотом главных осей тензора напряжений и сложном нагружении с изломами траектории деформирования.

Реализация указанных однородных способов нагружения осуществляется заданием следующей кинематики деформирования. Пусть Ox1x2x3 – декартова система координат и деформирование осуществляется в плоскости Ox1x2. Случаю чистого сдвига в этой плоскости будет соответствовать поле скоростей

(1)

где s = ±k, k > 0 – некоторая положительная константа, причём знак ± указывает направление сдвига. В случае сложного нагружения с непрерывным поворотом главных осей тензора деформаций образцу материала необходимо придать форму эллиптического цилиндра с осью Ox3 и на его границе в плоскости Ox1x2 задать поле скоростей, удовлетворяющее закону Кеплера

v · n = 0, |v × r| = Ω = const, (2)

где n – вектор нормали к эллиптической границе образца; r – радиус-вектор. Тогда компоненты вектора скорости примут вид

(3)

где постоянные a, b – соответственно большая и малая полуоси эллипса. В свою очередь, сложное нагружение с изломами траектории деформирования осуществляется таким образом. Сначала осуществляется чистый сдвиг геоматериала в плоскости Ox1x2. При этом скорости, обеспечивающие однородное состояние, будут иметь вид (1). Если теперь направление сдвига поменять скачком на некоторый фиксированный угол κ, тогда поле скоростей (1) заменится на поле

(4)

где, как и прежде, s = ±k, k > 0 – некоторая положительная константа, а знак ± указывает направление сдвига. Очевидно, что поле (4) совпадает с (1) при κ = 0. Теперь, изменяя значение угла κ, можно получить излом траектории деформирования на любой заданный конечный угол.

Рассмотрим численную реализацию указанных способов нагружения для гипопластической модели сыпучей среды [2,3]. Модель представляет собой пространственные нелинейные для приращений определяющие уравнения, что позволяет, оставаясь в рамках одних и тех же уравнений, описать как состояние активного нагружения, так и разгрузку. Сами уравнения [2] в силу громоздкости здесь не приводятся. Результаты численного моделирования показаны на следующих типичных графиках. На рис. 1а, б показаны изменения напряжений σ11 и σ12 в зависимости от угла с учетом смены направления сдвига при моделировании поля скоростей чистого сдвига (1), на рис. 1в, г – изменение вертикальной компоненты тензора деформаций ε33, характеризующей дилатансию среды, при моделировании соответственно полей скоростей с непрерывным (3) и со скачкообразным (4) поворотом главных осей деформаций в плоскости Ox1x2.

Анализ показывает, что гипопластическая модель дает хорошее качественное и количественное приближение к поведению реальной сыпучей среды по дилатансии и уровню напряженного состояния. Что касается условия соосности, то модель показывает разосность тензоров напряжений и деформаций на угол 43 градуса, и, соответственно – на угол 2 градуса для тензоров напряжений и скоростей деформаций. Последнее означает, фактически, приближение к поведению вязкой жидкости.

На основе метода дискретных элементов (МДЭ) [4] разработан алгоритм и программное обеспечение для реализации поля скоростей (2) в трехмерной постановке [5]. Применительно к рассматриваемой задаче суть МДЭ заключается в дискретизации исследуемой конечной области на отдельные элементы (частицы), заданием их механических свойств и геометрических параметров, на основе которых численно интегрируется система уравнений движения. Рассматривается сухая несвязная среда, силы взаимодействия между отдельными частицами возникают только при их контакте, сила тяжести отсутствует. В качестве потенциала взаимодействия между частицами применяется закон Гука с учетом нормальной и касательной составляющих силы. Частицы при деформировании среды не меняют своей формы и не разрушаются, а их форма ограничена сферами с заданным распределением радиусов.

Численный эксперимент заключается в следующем. Пусть в пространстве Ox1x2x3 задана область – цилиндр, ось которого ориентирована вдоль оси Ox3, и сечением которого в горизонтальной плоскости Ox1x2 является эллипс с соотношением полуосей b / a = 0.8 (рис. 2а). Цилиндр (исследуемый образец) заполнен сферическими частицами, образующими определенную упаковку. В качестве граничных условий принято: 1) на боковой поверхности задано распределение скоростей (3); 2) на верхнем и нижнем торцах образца задана постоянная пригрузка, действующая вдоль оси Ox3, а трение между торцами и частицами материала отсутствует. Таким образом, создание вертикального поджатия играет роль веса и необходимо для того, чтобы смещения боковой части границы, вовлекали материал в процесс деформирования.

Такой переход от двумерного моделирования к пространственному позволяет исследовать дилатансию, которая оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние сыпучей среды. С этой целью была проведена серия численных экспериментов по нагружению образца с начальной высотой h0 на основе закона движения (3). На рис. 2б приведен характерный график изменения высоты h в зависимости от параметра нагружения – угла поворота границы α. После нагружении образца до полутора оборотов (α = 3π) процесс останавливался, и нагрузка прикладывалась в противоположном направлении. Видно, что вначале высота образца стабилизируется (рис. 2а, элемент кривой 1), затем, при изменении направления нагружения уменьшается до некоторого предела (2) (материал уплотняется), а затем опять увеличивается, достигая своего устойчивого состояния (3).

Численные эксперименты по реализации поля (3) в обеих моделях показывают, что через 0.25…0.5 оборота напряжения, действующие внутри области, как и упаковка частиц, переходят в стационарное состояние. Деформации сдвига не сопровождаются изменением объема, т. е. дилатансия отсутствует (она имеет место только в начальный момент и при смене направления нагружения). Таким образом, среда находится в предельном состоянии. Анализ главных напряжений показал, что разосность тензоров напряжений и деформаций составляет для гипопластической модели угол 43 градуса, для модели дискретных элементов – 6 градусов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № .

Список литературы

1.  Ревуженко А. Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск: ОФСЕТ, 2003, 374с.

2.  Kolymbas D., Herle I., Von Wolffersdorff P. A. Hypoplastic constitutive equation with internal variables // Intern. J. Numer. Anal. Methods Geomech. – 1995. – vol. 19. – p. 415–436.

3.  КолимбасД., , Об одном методе анализа математических моделей сред при сложном нагружении // ПМТФ. – 1999. – т. 40. – № 5. – С. 133–142.

4.  Cundall P. A, Strack O. D. L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. – 1979. – vol. 29. – № 1. – p. 47–65.

5.  , Численный метод построения континуальной модели деформирования твердого тела, эквивалентной заданной модели дискретных элементов // Физическая мезомеханика. – 2012. – T. 15. – № 6. – C. 35–44.