Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика - раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Задача 1. Сколькими способами можно построить 3 человек в шеренгу?
Решение: а в с, а с в
в а с, в с а
с а в, с в а.
Рп - число перестановок. Р3 = 3 *2 *1= 6.
Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Рn = 1*2*3(n - 2)(n - 1)*n = п!,
где п! называется факториалом числа п. Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.
Задача 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
Решение: Р5 = 5!= 5*4 *3 *2 *1 =120.
Задача 3. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
а) учебник;
б)автор;
в) фонарь.
Решение: Р7 = 7*6*5*4*3*2* 1 = 5040.
Р5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Р6 = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.
Задача 4. На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Р4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24.
Размещением из п элементов по к (к < п) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.
Ank = п(п - 1)(n - 2)...( п - (к - 1)).
Задача 5. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Решение: A84 = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680.
Задача 6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса? Решение: A153 = 15 • 14 • 13 = 2730.
Задача 7. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?
Решение: A206 = 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 =
Сочетанием из п элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных п элементов.
Задача 8. Иван Николаевич купил билет лото «6 из 49». Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать?
Решение:
Задача 9. В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать в этом классе для опроса:
а) 5 разных учеников;
б) 6 разных учеников;
в) 20 разных учеников.
Решение: а) 
б) 
в) 
Задания для самостоятельной работы:
1. Вычислить: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
.
2. Найти:
.
