§4. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль.

[А] № 000. Показать, что функция , является параметрическим представлением эллиптического параболоида . Найти его координатную сеть.

Решение. 1) Очевидно, вектор функция имеет непрерывные частные производные любого порядка. Кроме того ранг матрицы так как . Следовательно, - гладкая и .

2) Найдем координатную сеть.

линии : . Тогда . Исключив параметр , получим общие уравнения этой кривой. , то есть это параболы.

линии : . Тогда . Исключив параметр, получим общие уравнения этой кривой. , то есть это параболы. Нарисуйте картинку! Ÿ

[А] № 000. Дана поверхность . Написать уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости .

Решение. 1) Поверхность . Найдем вектор нормали в произвольной фиксированной точке :. Тогда касательная плоскость имеет уравнение: .

2) Так как касательная плоскость параллельна плоскости , . Так как , . Решаем систему . Так как , . Итак, . Ÿ

[А] № 000. Доказать, что линия , лежащая на поверхности , является прямой.

Решение. 1) Линия задана в локальных координатах поверхности. Чтобы доказать, что это прямая, нужно перейти к ее общим уравнениям в координатах .

2) Так как , ее координаты удовлетворяют уравнениям, задающим . Получим систему уравнений и исключим из нее параметры . - прямая. Ÿ

[А] № 000. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности проходят через одну и ту же точку.

Решение. 1) Найдем вектор нормали в произвольной фиксированной точке и напишем уравнение касательной плоскости в ней.

2) .

3) . Вычислим свободный член: , то есть общая точка . Ÿ

Доказать, что все касательные плоскости поверхности , где - дифференцируемая функция, проходят через начало координат.

Решение. 1) Фиксируем произвольную точку , принадлежащую поверхности . Найдем вектор нормали в этой точке: .

2) Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке : . Вычислим свободный член: , то есть общая точка . Ÿ

Найти множество проекций центра эллипсоида на все его касательные плоскости. Будет ли это множество точек гладкой поверхностью?

Решение. 1) Найдем вектор нормали в произвольной фиксированной точке и напишем уравнение касательной плоскости в ней. . Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид: .

2) Через точку проведем прямую .

3) Искомое множество точек задается системой , где - произвольные вещественные числа. Эти числа нужно исключить из системы. Тогда получим уравнение множества . Выразим , . Подставим в последнее уравнение: . Тогда Ÿ

Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 4).

Написать уравнения касательных плоскостей и нормалей следующих поверхностей:

а) в точке (3,5,7);

б) в точке ;

в) в точке (1,2,2);

г) , параллельных плоскости .

[Б]№ 000. Доказать, что объем тетраэдра, образованного пересечением координатных плоскостей и касательной плоскости поверхности не зависит от выбора точки касания на поверхности. Доказать, что векторное уравнение конической поверхности имеет вид , где - постоянный вектор, задающий вершину конуса, - уравнение направляющей. Найти координатные линии конуса. Написать параметрические уравнения и указать координатную сеть следующих поверхностей: сферы, эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида. Написать уравнение касательной плоскости к сфере в произвольной точке и найти на этой сфере множество точек, в которых касательные плоскости параллельны вектору . Написать параметрические уравнения тора – поверхности вращения окружности вокруг оси . Найти все нормали поверхности , проходящие через начало координат. Доказать, что касательные плоскости поверхности отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна. Дана поверхность . Доказать, что главная нормаль координатной линии в каждой точке является нормалью к поверхности. Доказать, что все касательные плоскости поверхности параллельны некоторой прямой (- дифференцируемая функция). Доказать, что касательная плоскость к гиперболическому параболоиду пересекает его по двум прямолинейным образующим. Окружность радиуса перемещается в пространстве так, что ее центр движется по кривой , а плоскость окружности совпадает с нормальной плоскостью кривой. Написать векторное уравнение получающейся трубчатой поверхности и найти координатную сеть на ней. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности в точках принадлежат одному пучку.