Аксиомы теории вероятностей

§ 3. Аксиомы теории вероятностей

При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество W, элементы w которого называются элементарными событиями, а само W - пространством элементарных событий.

Зафиксируем некоторую непустую систему S, состоящую из подмножества А, В, … пространства элементарных событий. Подмножества А, В,… назовем событиями.

Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий:

I.  Если множества А1, А2, … ( в конечном или счетном числе) являются событиями, то их объединение А1 È А2 È… тоже является событием.

II.  Если множество А является событием, то его дополнение W \ А до множества W тоже является событием.

Система S, удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий.

Из аксиом I и II вытекает, что W Î S, Æ Î S и если Ai Î S (i = 1, 2, …),

то А1 Ç А2 Ç .. Î S.

В дальнейшем операцию объединения событий будем называть сложением и обозначать знаком «+», операцию пересечения – умножением и обозначать знаком «-» , а операцию дополнения – переходом к противоположному событию и выделять чертой сверху (например, ). Кроме того, событие W назовем достоверным и обозначим U, Æ - невозможным и обозначим V.

В новых обозначениях аксиомы I и II запишутся:

I. А1, А2,… Î S Þ А1 + А2 + … Î S.

II. А Î S Þ .

События А и В назовем несовместными, если АВ = V (т. е. АÇВ = Æ).

Аксиомы вероятностей:

1.  Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2.  Если события А1, А2, … попарно несовместны, то р(А1 + А2 + …) = р(А1) + р(А2) + … (аксиома счетной аддитивности)

3.  p(U) = 1.

Совокупность трех объектов < W, S, p(A) >, в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция р(А) – аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой.

Задачи.

34. Докажите, что: а) p(V) = 0; б) р() = 1 – р(А); в) при любых А1, А2, …, Аn р(А1 + А2 + …+ Аn) = 1 – p ().

35. Докажите, что при любом А выполняются неравенства

.

36. Событие А называется частным случаем события В, если А Ì В (в смысле включения множеств). Докажите, что если А Ì В, то р(А) £ р(В).

37. Докажите, что для любых А, В и С имеют место формулы:

а) р(А + В) = р(А) + р(В) = р(АВ);

б) р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС).

38. Методом математической индукции докажите общую формулу для вероятности суммы:

39. Доказать, что если А1 É А2 É… É Аn É … и А = , то

.

40. Докажите, что аксиома счетной аддитивности равносильна следующему утверждению: если последовательность событий Аn (n = 1,2,3,…) удовлетворяет условиям

А1 É А2 É… É Аn É …, =V, то .

41. Если р(А) ¹ 0, то число р( В/А) = называется вероятностью события В при условии, что событие А наступило. Докажите, что если В и С – несовместные события и р(А) ¹ 0, то

р( В + С/А) = р (В / A) + p( C / A).

42. Говорят, что А и В независимы, если р(АВ) = р(А) р(В). Покажите, что если р(А) ¹ 0, то независимость А и В равносильна по условию р(В/А) = =р(В).

43. Докажите, что из независимости событий А и В вытекает независимость и В, А и , и .

44. Докажите, следующее утверждение: если А и В несовместны и р(А+В) ¹ 0, то р(A /A+ B)= .

45. Пусть Н1, Н2, …, Нn попарно несовместны, p(Hi) ¹ 0 (i = 1, 2,…, n) и А Ì Н1+ Н2 +…+ Hn. Докажите формулу

46. Пусть р(Н) ¹ 0, р(А) ¹ 0. Докажите формулу .

47. Пусть р(А) ¹ 0, р(АВ) ¹ 0. Докажите, что р(АВС)= р(А) р(В/А) р(С/АВ).

48. Пусть р(А) ¹ 0. Докажите, что р(В + С/А) = р(В/А) + р(С/А) – р(ВС/А).

49. Докажите, что если А1А2А3 Ì А, то р(А) ³ р(А1) + р(А2) + р(А3) – 2.

50. Пусть А1, А2, … - бесконечная последовательность событий. Покажите, что есть событие, заключающееся в наступлении бесконечного числа событий из данной последовательности.

51. Пусть А1, А2, … - бесконечная последовательность событий и . Покажите, что если , то р(А) = 0 ( следовательно, =1); это означает, что с вероятностью 1 наступает лишь конечное число событий из последовательности А1, А2, … (лемма Бореля-Кантелли).