ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число

Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами.

Определение 8. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

Если арк и врк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то срк = арк + врк .

Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:

·  Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна.

·  А + В = В + А для любых матриц А и В из Mmn.

·  (А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из Mmn .

·  Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А ).

·  Если обозначить -А матрицу, все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А, то А + (-А) = О, т. е. матрица (-А) противоположна матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную.

Определение 9. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число l называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на l.

Если арк – элемент матрицы А, то в матрице В элемент врк =l×арк .

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

·  Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно.

·  1×А = А для любой матрицы А из Mmn .

·  0×А = О для любой матрицы А из Mmn .

·  (l×g)×А = l×(g×А) для любой матрицы А из Mmn и любых чисел l и g.

·  (l + g)×А = l×А + g×А для любой матрицы А из Mmn и любых чисел l и g.

·  l×(А + В) = l×А + l×В для любых матриц А и В из Mmn и любого числа l.

·  Если А - квадратная матрица n-го порядка, то |lА| = ln×|А |.

Простые и двойные суммы

Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.

Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется простой суммой и обозначается . Следовательно, = а1 + а2 + … +аn.

Свойства простых сумм:

10. , 20. .

Определение 10. Сумма вида

называется двойной суммой и обозначается .

Свойства двойных сумм:

10. = ; 20. = .

Умножение матриц

Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т. е. срq = (11).

Размерность матрицы С равна m´ к.

Пример 1.

= .

Пример 2. Произведение матриц не определено.

Но даже если А×В и В×А определены, то они не обязаны быть равны.

Пример 3. А×В = ,

А×В = .

В этом примере А×В и В×А определены, но А×В ¹ В×А . Следовательно, для умножения матриц коммутативный закон не имеет места. Можно проверить:

10. Если (А×В)×С и А×(В×С) определены, то (А×В)×С = А×(В×С).

20. Если (А + В)×С определено, то (А + В)×С = А×С + В×С.

30. Если А×В определено, то (lА)×В =l×(А×В).

Умножение квадратных матриц одного порядка.

Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.

Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.

Доказательство. Пусть А = , В = . Составим

С =

матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим |С| = |А|×|В|.

Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на ,

2-ой столбец, умноженный на , … , n-ый столбец, умноженный на .

Тогда в (n +1)-м столбце на первых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы А×В, а на остальных местах – нули.

С1 =

Продолжая аналогичные преобразования с (n +2)-м и т. д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения А×В. Очевидно, |С1| = |С|. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним n строкам. Получим

|С| = (-1)n×(-1)к×|А×В|, где к = 1 + 2 + …+ n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )×n. Так как (2n + 1 )×n + + n = 2(n + 1 ), то |С| = |АВ |. Итак, |АВ | = |А|×|В| (12).

Если |А| ¹ 0, то матрица А называется невырожденной, если же |А| = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.

Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, |Е| = 1.

Определение 11. Матрица В называется правой обратной для матрицы А, если В×А= Е и левой обратной для А, если А×В = Е.

Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) |В|×|А| = |А|×|В| = 1, т. е. матрица А не может быть вырожденной.

Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А* следующим образом: алгебраические дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А*, т. е. А* = . Матрица А* называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что

А×А*= А*×А = = |А|×Е.

Так как |А| ¹ 0, то матрица В = существует и А×В = В×А = Е, т. е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили

Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле

А-1= (13)

Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .

Решение. Найдём |А| = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.

Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения. А11 = = 14, А12 = = - 6, А13 = = 3, А21 = = 8, А22 = = 2, А23 = = -1, А31 = = 28, А32 = = 16, А33 = = 11. Используя теорему 8, получим А-1 = .

Решение матричных уравнений

Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).

Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А - либо вырожденная, либо прямоугольная.

1) Если А – квадратная и |А| ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1×В и Х = В×А-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.

2) А – квадратная матрица, но |А| = 0, либо А - прямоугольная матрица. Если матрица А имеет размерность m´n, а матрица В – размерность р´к, то, при m ¹ р уравнение (14) не имеет решения, а при n ¹ к не имеет решения уравнение (15). Если же m = р , то в уравнении (14) матрица Х должна иметь к столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь р строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.

Пример 5. Найдите матрицу Х, если А×Х = В, где А = , В = .

Из примера 5 следует, что матрица А имеет обратную, поэтому Х = А-1×В. Используя найденную в примере 5 матрицу А-1, получим Х = × = = .

Пример 6. Найдите матрицу Х, если Х×А = В, где А = , В =. Так как |А| = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В столько строк, сколько их в матрице Х, и столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х = . Тогда Х×А = . Полученная матрица равна матрице В тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений. Эти системы не имеют решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.