Как заработать свои первые деньги?

Слушайте больше на Подкасте Михалыча для молодежи

Лекция 6

Экспертиза и диагностика объектов и систем сервиса

МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Одним из наиболее важных дискретных распределений является биномиальное. Это двухпараметрическое распределение. Если проводят n независимых испытаний с вероятностью q отказа и вероятностью р успеха в каждом из них, то вероятность появления т отказов подчиняется биномиальному распределению и определяется по формуле

где p=1-q. Математическое ожидание числа отказов равно nq, числа успехов—пр. Дисперсия числа отказов (успехов) равна :D = npq.

Пример 1. Известно, что вероятность р безотказной работы изделия в каждом испытании равна 0,9 и что проводят 10 испытаний ( n=10). Определить вероятность того, что из десяти испытаний не менее девяти будут успешными.

Решение. При вычислении вероятности воспользуемся формулой

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Распределение Пуассона играет особую роль в теории надежности, поскольку оно описывает закономерность появления случайных отказов в сложных системах, и применяется при определении вероятности появления и восстановления отказов, а также в расчетах количественного состава запасных инструментов и принадлежностей (ЗИП). Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что эта величина примет определенное значение т, выражается формулой

где λ — параметр распределения (некоторая положительная величина); m=0, 1, 2, … Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X для закона Пуассона равны параметру распределения λ: Распределение Пуассона является однопараметрическим с параметром λ.

Пример 2. В ремонтную мастерскую по обслуживанию компьютеров поступают заявки со средней плотностью 5 шт. в течение рабочей смены за 10 ч. Считая, что число заявок на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 ч рабочей смены поступят две заявки.

Решение. Среднее число заявок за 2 ч равно Применяя формулу , найдем вероятность поступления двух заявок

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Экспоненциальный закон распределения, называемый также основным законом надежности, часто используют дня прогнозирования надежно­сти в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспонен­циальное распределение находит довольно широкое применение в тео­рии массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радио­электронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы технического объекта, вызывающих их внезапный отказ. Для элементов радиоэлектронной аппаратуры — превышение допустимого тока и температурного режима.

Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 2.1) описывается соотношением

функция распределения этого закона — соотношением

функция надежности

математическое ожидание случайной величины X

дисперсия случайной величины X

Почти все задачи, решаемые» в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.

Рис.1. График плотности экспоненциального распределения:

а) – λ=1; б) – λ=0,75; в) – λ=0,5.

Пример 3. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром

λ=2·10-5 ч-1. Найти вероятность безотказной работы за время t=100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.

Решение. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой

,

в соответствии с которой

Математическое ожидание наработки на отказ равно

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его используют дня описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальный закон распределения описывается плотностью вероятности

где т и σ — параметры распределения, определяемые по результатам испытаний..

Рис. 2. Кривая плотности нормального распределения для трех значений s: 1, 2 и 3; s - полуширина кривой, т. е. расстояние от оси ординат до кривой на половине её высоты

Параметр т=Мх представляет собой среднее значение случайной величины X, оцениваемое по формуле

параметр σ — среднее квадратичное отклонение случайной величины X, оцениваемое по формуле

Интегральная функция распределения имеет вид

вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно Q(x)=F(x), P(x)=1-F(x).

Пример 4. Определить вероятность безотказной работы в течение t =2·104 ч подшипника скольжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределения с параметрами Mt=4·104 ч, σ = 104 ч.

Решение. Расчеты осуществим в системе MathCad

Пример 5. Пусть случайная величина X представляет собой предел текучести стали. Опытные данные показывают, что предел текучести имеет нормальное распределение с параметрами М=650 МПа, σ = 30 МПа. Найти вероятность того, что полученная плавка стали имеет предел текучести в интервале 600 — 670 МПа.

Решение. Для определения вероятности воспользуемся формулой.

Расчеты осуществим в системе MathCad

Пример 6. Случайная величина X распределена по нормальному закону и представляет собой ошибку измерения датчика давления. При измерении датчик имеет систематическую ошибку в сто­рону завышения на 0,5 МПа, среднее квадратичное отклонение ошибки измерения составляет 0,2 МПа. Найти вероятность того, что отклонение измеряемого значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 0,7 МПа.

Решение. По формуле

Расчеты осуществим в системе MathCad

ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений а приведена на рис. 2.3.

Плотность распределения описывается зависимостью

где М и σ — параметры, оцениваемые по результатам в испытаний до отказа;

Математическое ожидание наработки до отказа

Среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:

При vx< 0,3 полагают, что vx = σ, при этом ошибка не более 1%.

Рис. 3. Плотность логарифмически нормального распределения: а) – σ=0,9; б) – σ=0,3; в) – σ=0,2.

Пример 7. Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t=103ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t0 = 3,6, σ=0,3.

Решение. Найдем значение квантили и по ней определим вероятность безотказной работы:

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Закон Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Этот закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов дисководов компьютеров в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью

где α— параметр формы кривой распределения; λ — параметр масштаба. График плотности распределения дан на рис. 4.

Функция распределения Вейбулла

Функция надежности для этого закона:

Рис. 4. Плотность распределения Вейбулла для λ=l: a) – α=1; б) – α=2, в) – α=3.

Математическое ожидание случайной величины X равно:

где Г(х) — гамма-функция. Для непрерывных значений х

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

Дисперсия случайной величины равна:

Широкое применение распределения объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α. Подбирая нужным образом параметры α и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но кото­рые длительное время не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α<1. Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α >1. При α =3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Гамма-распределение является двухпараметрическим. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны . Если параметр α формы кривой распределения принимает целое значение, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ. Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясня­ет его широкое применение.

Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами

где

Рис. 5. Кривые плотности гамма-распределения для λ=1: а) – α=1; б) – α=2; в) – α =3.

Функция распределения

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

При α<1 интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду приработки изделия), при α>1 — возрастает (что характерно дня периода изнашивания и старения элементов). При а=1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при α>10 гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если а принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга. Если λ= 1/2, а значение α кратно 1/2, то гамма-распределение совпадает с распределением χ2 (хи-квадрат).

ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Равномерное распределение дискретной случайной величины
характеризуется равной вероятностью появления события. Если
случайная величина X принимает и различных значений —
х1,х2…хп с соответствующими вероятностями p1,р2…pn если pi=1/n для всех i=1, 2, …n величина X считается распределенной равномерно.

Математическое ожидание и дисперсию равномерно распреде­ленной случайной величины вычисляют по формулам:

Аналогичен закон равномерной плотности распределения — слу­чайная величина распределена по закону равномерной плотности, если известно, что в некотором интервале все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности. Математически плотность вероятности выражается зависимостью

Графически, плотность вероятности равномерного распределе­ния показана на рис. 2.6.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

Рис. 6. Плотность вероятности равномерного распределения

Рис. 7. График функции равномерного распределения

Функция равномерного распределения (рис. 7) выражается зависимостью

Курсовые