Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов).

Пусть R - непустое множество. В R введены 2 операции: сложение и умножение. Эти операции бинарны: +: , ,

Аксиомы кольца: Множество R с операциями «+» и «*» называется кольцом, если выполняются аксиомы. Аксиомы сложения:

1.  (a + b) + c = a + (b + c), (Ассоциативность сложения).

2.  a + b = b + a, (Коммутативность сложения).

3.  .

4.  , - противоположный к a элемент (существование противоположного элемента).

Аксиома умножения:

5. , (Ассоциативность умножения).

6. (Дистрибутивность сложения и умножения).

Дополнительные аксиомы:

7. . Аксиома единицы

Если в кольце R выполняется 8., то R – коммутативное кольцо.

Примеры:

1) .

«+»: ;

«*»: ,

Z – коммутативное кольцо с единицей, т. к. выполняется 1 – 8.

2) Q, R – коммутативные кольца с единицей.

3) . Определены операции сложения и умножения матриц, 1 – 6 выполняются в силу свойств этих операций - кольцо. 7 – выполняется, т. к. E является единицей кольца. 8 вообще говоря не выполняется для . некоммутативное кольцо с единицей.

4) множество чисел, . 1 – 6 выполняются, кольцо, 8 – выполняется - коммутативное кольцо. 7 - ? Пусть mk, () – единица в mZ, тогда , но 1 не кратна m, если , то mZ не имеет единицу.

Аксиомы поля:

Z - коммутативное кольцо с единицей, Q, R – тоже. Отличие: в Z не для всякого ненулевого элемента есть обратный из этого кольца. Но для Q, R условие обратимости ненулевых элементов выполняется.

Определение: Поле – коммутативное кольцо с единицей, отличной от 0, в котором всякий ненулевой элемент обратим, т. е. выполняется 9 – аксиома поля:

. Всего существует 9 аксиом поля. Примеры полей: Q, R.

Пример2: Пусть k – поле, тогда по определению: (число элементов).

, + и * задаются таблицами:

поле, состоящее из 2 – х элементов. Существует ли поле из 6 - элементов.

Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа: сложение, умножение, деление комплексных чисел.

(действительных корней нет), мнимая единица, т. е. .

Определение: Полем комплексных чисел называется минимальное поле, содержащие все действительные числа и мнимую единицу .

Структура поля комплексных чисел. Обозначение C.

Рассмотрим множество: Т. к. C – поле и (по определению) и - тоже, значит числа вида . Если докажем, что - поле, то - поле, содержащее и все действительные числа, т. к. , тогда в силу минимальности C получим, что .

Цель: доказать, что - поле, откуда, .

Теорема: поле.

Док-во: Введём в операции сложения и умножения чисел:

(Мотивировка правила умножения). .

.

Проверим выполнение аксиом 1-9 поля:

1.

Ассоциативность сложения выполняется..

2. .

3. .

4. , то в качестве противоположного . Все аксиомы сложения выполнены.

5.

6.

7. - единица в .

8. (в силу определения операции умножения), т. е. - коммутативное кольцо с единицей.

9. Пусть одновременно. т. к.

Итак, если .

Любой ненулевой элемент обратим в аксиома поля выполнена, поле. ЧТД.

Комплексное число: - алгебраическая запись числа называется действительной частью: называется мнимой частью: .

Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме.

Сопряжённое комплексное число и его свойства.

Пусть . Тогда число вида называется сопряжённой к данному числу , т. е.

симметричны относительно оси Re.

Свойства сопряжённого комплексного числа:

1.

2. (с точностью до ).

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

Изображение комплексных чисел на плоскости, модуль и аргумент комплексного числа.

, то z изображается точкой на плоскости с координатой (a, b).

Пусть z – комплексное число. Определение: Модулем числа z называется длина радиус вектора точки, изображающей данное число z. Обозначение: .

Модуль комплексного числа – корень квадратный из суммы квадратов его действительной и мнимой части.

Определение: Аргументом числа z называется угол (ориентированный) между радиус-вектором точки, изображающей комплексное число z и положительное направление действительной оси. Обозначение: . Аргумент определяется неоднозначно, а именно с точностью до слагаемых вида

Тригонометрическая форма комплексного числа: умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

Пусть тогда - проекция на ось . проекция на ось Im =

(алгебраическая запись), то .

.

Обратно: (длина вектора).

Однозначно угол определяется, если по знакам Rez и Imz указать четверть, в которой находится

Умножение и деление КЧ в тригонометрической форме:

I.  Задача: Найти: , если .

Решение:

.

Условие равенства КЧ:

А) .

Б)

Сравнивая записи для получаем, что

.

Правило умножения КЧ:

При умножении КЧ модули перемножаются, а аргументы складываются.

II.

С другой стороны: , тогда .

Правила деления: Модуль частного КЧ равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного есть разность аргументов делимого и делителя.

Формула Муавра.

Теорема: Пусть , тогда (если , то ) - формула Муавра.

Док-во:

1) , то .

Левая часть формулы Муавра: .

2) Пусть любое. Применим ММИ по n.

а) n = 1, то , т. е. формула верна.

Б) Пусть при n = k формула Муавра верна.

В) n = k + 1.

т. е. формула верна при n = k + 1, значит при всех .

3) n – отрицательный, т. е. , где

ЧТД.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Определение: Число называется корнем й степени из КЧ z, если . Другими словами, найти все корни степени n из z – это значит, что необходимо решить уравнение .

Теорема: Существует ровно n корней степени n из КЧ , где , где ( обычный арифметический корень из положительного числа r).

Док-во: Будем искать решение уравнения в виде , ( надо определить).

Тогда - формула Муавра. По условию: . Используем условия равенства КЧ в тригонометрической форме:

( положительное число, как модуль). .

Итак, любой корень уравнения имеет вид: . Докажем, что среди только n различных чисел.

1.  Покажем, что различны. Предположим, что , если , т. е.

Но , т. к. .

Среди чисел - нет ни одного, которое делится на n.

получено противоречие. Значит - различные числа.

II. Покажем, что для произведения целого k совпадает с одним из чисел . Разделим k на n с остатком, т. е. , где

[остаток]< n – 1.

т. е. числа исчерпывают все корни степени n из z. ЧТД.

Замечание: Все корни степени n из z имеют один и тот же модуль находятся на окружности данного радиуса. Аргументы 2 – х соседних корней, т. е. отличаются на (n – ная часть угла полного поворота). Это означает, что корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в данную окружность.

Корни из единицы и их свойства.

Определение: Решением уравнения называется корнями n – ной степени из 1.

обозначение.

Корни n – ной степени из 1 изображаются вершинами правильного n – угольника, вписанного в единичную окружность с вершиной (1; 0).

Лемма:

А) Произведение корней n – ной степени из единицы – это корень n – ной степени из 1.

Б) Обратный элемент к корню n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из 1.

В) Целая степень корня n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из единицы.

Док-во:

А) корни степени n из 1, т. е. .

.

По определению корень степени n из 1.

Б) z – корень n – ной степени.

корень n – ной степени из 1.

В)

Т. е. корень n – ной степени из 1.

Замечание: Если - корни n – ной степени из 1, то , т. к.

Т. е. все корни n – ной степени из 1 можно представить как степени .

Первообразные корни, критерий первообразности корня.

Определение: Корень n – ной степени из 1 называется первообразным, если любой другой корень n – й степени из 1 можно представить в виде целой степени этого корня из 1.

В частности, является первообразным корнем степени n из 1, .

Примеры:

Т. е. - не является первообразным. - первообразный.

. Все корни 3 – й степени есть степени степени , значит - первообразный.

первообразные, не являются первообразными.

.

не первообразные, первообразные.

Таблица первообразных корней:

Теорема (Критерий первообразности корня из 1.):

Корень n – ной степени из 1: является первообразным тогда и только тогда, когда НОД (k, n) = 1, т. е. взаимно прост с n.

Док-во:

1.  Пусть - первообразный, пусть d = НОД (k, n). - целый показатель.

, т. е. остальные степени будут совпадать с уже выписанными.

различных степеней . Но по условию, - первообразный, значит имеет ровно n различных степеней.

, но НОД , т. е. k и n взаимно просты.

2.  Пусть НОД (k, n) = 1.

Докажем, что имеет не менее n различных целых степеней. Рассмотрим множество: . Покажем, что все элементы этого множества различны: , где .

. Но тогда и только тогда, когда N кратно n, т. е. k (m - l) делится на n, но k и n взаимно просты делится на n.

m – l кратно , т. е. m – l = 0, значит m = l.

Итак, все элементы множества различны. По лемме все эти элементы являются корнями n – й степени из 1, т. е. любой корень n – й степени из 1 является целой степенью .

- является первообразным. ЧТД

Экспонента комплексного числа. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма комплексного числа.

- КЧ.

Сходимость в C.

Определение: Говорят, что последовательность КЧ сходится к КЧ z (или ), если .

- окрестность точки z. Это круг без границ, с центром в точке z, радиуса .

Утверждение 1: Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда .

Док-во:

1 – й шаг (Оценки)

Аналогично:

2. Сравним квадраты:

2 – й шаг: Пусть

, по шагу 1: и , т. е. выполняется определение предела для вещественных последовательности и , т. е. .

Док-во:

3 - й шаг: Пусть .

Выбираем , тогда для .

Для .

Выбираем , тогда .

Используем шаг 1 – й для .

, тогда ,т. е. по определению . ЧТД.

Утверждение 2: . (Вновь с комплексной последовательности связаны 2 вещественные последовательности .)

Если и , то .

Док-во: , .

. Покажем, что :

.

Аналогично, . Тогда по утверждению 1, имеем, что , причём:

. ЧТД.

Определение: Пусть z – КЧ, тогда .

Теорема (Корректность определения.):

Док-во:

Пусть , тогда . Начиная с некоторого номера n: , т. е. будет либо в I либо в IV четвертях, тогда .

Мы исследуем сходимость последовательности: . По формуле Муавра:

В силу утверждения 2 мы докажем сходимость нашей последовательности, если покажем, что , (а) – (13.2).

Существует ли

Итак, показано, что По утверждению 2, , т. е. - определена корректно. ЧТД.

Следствие: В процессе доказательства теоремы был вычислен , а именно, если , то , т. е. - формула Эйлера.

Свойства функции:

1. , т. к. - определена для

2. . (Если k – поле, то k \ {0} обозначается . - все обратимые элементы.)

а) (по формуле Эйлера)

, т. к. , т. е. имеет ненулевой модуль, а значит отлично от 0.

Пусть .

, где . , то

Итак, является экспонентой некоторого количественного z.

3. периодическая функция.

Док-во: (Надо доказать, что) .

Рассмотрим комплексное число вида: .

. ЧТД.

4. .

Док-во:

.

Левая часть равенства:

Правая часть: = [правило умножения КЧ в тригонометрической форме.] = . Левая часть равна правой части, значит равенство верно. ЧТД.

Следствие: (Экспоненциальная форма комплексного числа.)

Пусть (произвольное число). В тригонометрической форме

, тогда - экспоненциальная форма КЧ.

5. .