Л. И. МЕДВЕДЕВА

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

НАСТРОЙКИ КОНТУРНЫХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию

Волгоградский государственный технический университет

Волжский политехнический институт (филиал)

Расчет оптимальных параметров настройки контурных систем

Учебное пособие

РПК «Политехник»

Волгоград

2006

УДК 621.313

Рецензенты:

Расчет оптимальных параметров настройки контурных систем. Учебное пособие / ВолгГТУ, Волгоград, 2006 – 62 с.

ISBN -4

Содержит сведения о типовых законах регулирования, основных характеристиках автоматических регуляторов и методах расчета оптимальных настроечных коэффициентов одноконтурных и многоконтурных систем управления.

Рекомендуется для использования в учебном процессе по естественнонаучным и техническим специальностям при изучении дисциплин «Теория автоматического управления», «Теоретические основы автоматического управления» для студентов специальностей 220200 дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Ил. 33, табл. 1, библиогрназв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета.

ISBN -4

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………. 4

Глава 1.

Одноконтурные системы автоматического управления…… 6

1.1.  Автоматические регуляторы и законы регулирования… 6

1.2.  Методы расчета и количественная оценка

работоспособности алгоритмов управления

одноконтурными САУ…………………………………… 27

Глава 2.

Многоконтурные системы автоматического управления…… 45

2.1. Структура математической модели алгоритма

управления многоконтурными САУ……………………. 45

2.2. Методика расчета оптимальных настроек алгоритмов

управления многоконтурными САУ……………………. 52

Список литературы…………………………………………… 61

Любой производственный, технологический процесс или тех­нический объект характеризуются определенными физическими параметрами (расход вещества и энергии, режимы резания, тем­пература, давление). Такие параметры называют управляемыми и для обеспечения требуемого режима эти параметры необходимо поддерживать постоянными или изменять по определенному закону.

В общем случае САУ состоит из объекта управле­ния ОУ, измерительного устройства ИУ, задающего устройства ЗУ, суммирующего устройства СУ, усилителя У и исполнитель­ного механизма ИМ.

ЗУ оказывает управляющее воздействие на вход системы, которое может иметь постоянную заданную величину при не­обходимости поддержания постоянного заданного значения управ­ляемой величины или же изменяться по определенному закону.

Управляемый технологический процесс — процесс, для которого определены основные входные (управляющие, управляемые и неуправляемые) воздействия и выходные переменные процесса, которые необходимо контролировать в реальном времени, установлены зависимости между входными воздействиями и выходными переменными (математические модели), разработаны методы их автоматического измерения и направленного изменения.

Методы, используемые для определения динамических характеристик объектов, непосредственно влияют на качественные показатели управления процессом.

1.  ОДНОКОНТУРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Автоматические регуляторы и законы регулирования

В системах автоматического регулирования поддержание заданного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону обеспечивается аппаратурными средствами, имеющими общее название – автоматические регуляторы.

По виду регулируемого параметра автоматические регуляторы подразделяются на регуляторы температуры, давления, влажности, разряжения, расхода, состава и т. п.

По характеру изменения регулирующего воздействия автоматические регуляторы подразделяются на регуляторы с линейными и нелинейными законами регулирования.

Примером регуляторов с нелинейным законом регулирования могут служить двухпозиционные регуляторы температуры в холодильных машинах. В трехпозиционных дискретных системах выходной сигнал может принимать три значения: –1, 0, +1, т. е. “меньше”, “норма”, больше”. Качество работы таких САР выше, хотя их надежность ниже.

Регуляторы с линейным законом регулирования по математической зависимости между входными и выходными сигналами подразделяются на следующие основные виды:

-  пропорциональные (П-регуляторы);

-  пропорционально-интегральные (ПИ-регуляторы);

-  пропорционально-дифференциальные (ПД-регуляторы);

-  пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД-регуляторы);

-  позиционные.

В зависимости от вида используемой энергии регуляторы подразделяются на электрические (электромеханические, электронные), пневматические, гидравлические и комбинированные.

В СКВ в основном применяются электрические регуляторы. Пневматические и гидравлические регуляторы, как правило, применяются во взрыво - и пожароопасных зонах.

В зависимости от задающего воздействия и параметров объекта регулирования подбирают регулятор с определенной характеристикой Wр. Изменение Wр адекватно ведет к изменению коэффициентов дифференциального уравнения общего передаточного звена (регулятор-объект) и тем самым достигается необходимое качество регулирования. В промышленных регуляторах эти величины называются параметрами настройки. Параметрами настройки являются: коэффициент усиления, зона нечувствительности, постоянная времени интегрирования, постоянная времени дифференцирования и т. д. Для изменения параметров настройки в регуляторах имеются органы настройки (управления).

Кроме органов настройки основных параметров, регуляторы имеют также органы настройки, косвенно влияющие на эти коэффициенты или режимы его работы, например, органы настройки, изменяющие чувствительность регулятора, демпфирование входного сигнала и др.

1.1.1. Пропорциональные регуляторы

Обобщенная структурная схема САР представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема САР: а – разомкнутой системы по каналу задающего воздействия; б – то же, но замкнутой системы

На рис. 2. приведен пример контура регулирования температуры приточного воздуха в канальном кондиционере. Температура воздуха поддерживается водяным калорифером, через который пропускается теплоноситель. Воздух, проходя через калорифер, нагревается. Температура воздуха после водяного калорифера измеряется датчиком (Т), далее эта величина поступает на устройство сравнения (УС) измеренного значения температуры (Тизм) и заданного (Tзад). В зависимости от разности между температурой уставки и измеренным значением температуры регулятор (Р) вырабатывает сигнал, воздействующий на исполнительный механизм (М – электропривод трехходового клапана). Электропривод открывает или закрывает трехходовой клапан до положения, при котором ошибка будет стремиться к нулю.

 Выходным сигналом регулятора может быть напряжение в определенном диапазоне (например, постоянное напряжение в диапазоне от 0 до 10 В, ток 0–20мА и т. д).

Рис. 2. Контур регулирования температуры приточного воздуха в канале центрального кондиционера

Диапазон изменения выходного сигнала называется диапазоном регулирования (рис. 3.). Диапазон изменения сигнала ошибки называют пропорциональным диапазоном.

В П-регуляторах имеется возможность изменять диапазон регулирования и пропорциональный диапазон.

Рис. 3. График пропорционального регулирования

Из графика (рис. 3.) видно, что чем меньше пропорциональный диапазон, тем круче характеристика регулирования. Кривая (1) соответствует диапазону изменения температуры 0–10 °С, а кривая (2) – диапазону 0–4°С.

При больших значениях коэффициента регулирования в контуре регулирования могут возникнуть колебания (рис. 4.). Так, если во время включения системы температура воздуха Тизм ниже заданной температуры Tзад, устройство управления выдает большой сигнал на открытие трехходового клапана. Температура водяного калорифера и приточного воздуха начнет повышаться.

Когда температура приточного воздуха после водяного калорифера достигает Tзад, устройство управления выдает команду на закрытие трехходового клапана (точка t1, рис. 4.).

Рис. 4. Переходной процесс при пропорциональном (П) регулировании

Однако из-за того, что калорифер разогрет, температура приточного воздуха до момента t2 еще будет расти, а затем начнет снижаться. Этот процесс имеет вид затухающих колебаний, и через определенное время (t3) процесс стабилизируется.

Чем большим выбран пропорциональный диапазон регулирования, тем большей будет величина статической ошибки. При малой величине пропорционального диапазона увеличивается время переходных процессов, и при некоторых условиях может возникнуть автоколебательный (незатухающий) процесс в контуре регулирования.

Путем выбора параметров регулирования П-регулятора можно существенно уменьшить установившуюся ошибку регулирования, однако ее полное устранение не представляется возможным даже теоретически.

Из рис. 2. видно, что в цепочке регулирования в реальном регуляторе установлено еще одно звено – исполнительный механизм (М). В данном случае – это электродвигатель привода трехходового клапана. Электрический привод является интегрирующим звеном и его влияние по возможности уменьшают, используя обратные связи. Это связано с тем, что динамические свойства участка, охваченного обратной связью, не зависят от динамических свойств прямого участка, а определяются в основном динамическими свойствами звена обратной связи. Эта особенность широко используется на практике при разработке автоматических регуляторов.

Исходя из этого, для устранения влияния исполнительного механизма его необходимо охватить отрицательной обратной связью. Для повышения коэффициента передачи прямого канала отрицательной обратной связью нужно охватить и усилительное звено регулятора. Такие П-регуляторы, называемые позиционерами, можно представить в виде последовательного соединения собственно П-регулятора и некоторого балластного звена с постоянной времени Тб.

Параметром настройки регулятора является коэффициент передачи устройства обратной связи kос. Коэффициент передачи регулятора kп тем больше, чем меньше kос. Однако следует иметь в виду, что чем больше kп, тем больше постоянная времени балластного звена и тем больше искажается идеальный закон П-регулирования.

На рис. 5. представлена структурная схема П-регулятора, а на рис. 6. – реализуемый ею закон регулирования.

Рис. 5. Структурная схема П-регулятора

Рис. 6. Закон П-регулирования

П-регулирование позволяет уменьшить установившуюся статическую ошибку, но только (1+k) раз, поэтому регулирование будет статическим.

1.1.2. Пропорционально-интегральные регуляторы

Статическую ошибку, возникающую при пропорциональном регулировании, можно исключить, если кроме пропорционального ввести еще и интегральное звено. Последнее образуется путем постоянного суммирования ε за определенный промежуток времени и формирования сигнала управления, пропорционального полученной величине.

Постоянная времени интегрирования в И-регуляторе равна времени, в течение которого с момента поступления на вход регулятора постоянного сигнала сигнал на выходе регулятора достигнет значения, равного значению входного сигнала.

Переходной процесс в И-регуляторе показан на рис. 7, б. Устраняя статическую ошибку интегральный регулятор, однако, ухудшает качество переходного процесса. Поэтому на практике применяют комбинированные ПИ-регуляторы.

Рис. 7. Закон регулирования (а) и переходный процесс (б) при интегральном (И) регулировании

При этом используется как параллельное соединение пропорционального и интегрального звена (рис. 8, а), так и последовательного (рис. 8, б).

Рис. 8. Структурная схема идеальных ПИ-регуляторов

Рис. 9. Переходный процесс при пропорционально-интегральном (ПИ) регулировании

Сочетает точность И-регулирования и быстродействие П-регулирования. 

Рис. 10. Структурные схемы промышленных ПИ-регуляторов

1.1.3.Пропорционально-дифференциальные (ПД) регуляторы

Сигнал воздействия на исполнительный ме­ханизм У пропорционален величине рассогласования X и ее про­изводной dX/dt (Тд—постоянная времени дифференцирования). Поскольку в закон регулирования введена составляющая, про­порциональная производной от рассогласования ПД-регулятор обеспечивает более быструю реакцию АСР на возможные откло­нения по сравнению со всеми выше рассмотренными регулятора­ми. Более того, ПД-регулятор как бы предвидит возможное бу­дущее поведение рассогласования и заранее реагирует на него.

Рис. 11. Детализированная структурная схема ПД-регулятора

Рис. 12. Переходная характеристика ПД-регулятора

Системы с ПД-регуляторами являются статическими и, следовательно, им свойственны с позиции статики все те же свойства и недостатки, что и для систем с П-регуляторами. Устранение их достигается введением регулирования по ПИД-закону.

1.1.4.Пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы

П - и ПИ-регуляторы не могут упреждать ожидаемое отклонение регулируемой величины, реагируя только на уже имеющееся отклонение. Возникает необходимость в регуляторе, который вырабатывал бы дополнительное регулирующее воздействие, пропорциональное скорости отклонения регулируемой величины от заданного значения.

Такое регулирующее воздействие используется в дифференциальных и ПИД-регуляторах. ПИД-регуляторы воздействуют на объект пропорционально отклонению ε регулируемой величины, интегралу от этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины.

По возможностям ПИД-регуляторы являются универсальными. Используя их, можно получить любой закон регулирования.

Рис. 13. Cтруктурная схема ПИД-регулятора (а) и закон ПИД-регулирования (б)

При скачкообразном изменении регулируемой величины ПИД-регулятор в начальный момент времени оказывает мгновенное бесконечно большое воздействие на объект регулирования, затем величина воздействия резко падает до значения, определяемого пропорциональной составляющей, после чего постепенно начинает оказывать влияние интегральная составляющая регулятора. Переходный процесс при этом (рис. 14.) имеет минимальные отклонения по амплитуде и по времени.

Параметрами настройки ПИД-регуляторов являются коэффициент пропорциональности регулятора kp, постоянная времени интегрирования Ти и постоянная времени дифференцирования Тд.

Рис. 14. Переходный процесс при ПИД - регулировании

1.1.5. Позиционное регулирование

Процесс позиционного регулирования является автоколебательным, т. е. регулируемая величина как в переходном, так и в установившемся режиме периодически изменяется относительно заданного значения.

Статическая характеристика наиболее распространенного двухпозиционного регулятора приведена на рис. 15.

Рис.15. Статическая характеристика двухпозиционного регулятора

  Величина 2D определяет зону неоднозначности регулятора. При изменении входной величины относительно заданного значения на D выходная величина скачком достигает максимального значения xвых max. У двухпозиционного регулятора имеются два органа настройки, с помощью которых устанавливают xвых max и D.

  Трехпозиционные регуляторы в отличие от двухпозиционных, которые могут задать регулирующему органу два устойчивых положения - "больше" и "меньше", обеспечивают еще и третье положение его - "норма". Нашли применение также релейные регуляторы, работающие в комплекте с исполнительными механизмами, которые имеют постоянную скорость вращения.

Принцип Т-регуляторов (позиционные регуляторы)

Позиционные регуляторы обеспечивают хорошее качество регулирования для объектов с малым запаздыванием, не требуют настройки и просты в эксплуатации. Эти регуляторы применяются наиболее часто.

Регуляторы с позиционным (релейным) законом регулирования.

Рис. 16. Структурная схема САР: U, d - векторы заданий и зон нечувствительности; X, Y - вектор регулируемой величины и выходной сигнал регулирования

Данные типы регуляторов еще называют Т-регуляторами. Они бывают с двухпозиционным и трехпозиционным законом регулирования.
  Двухпозиционные имеют дискретную выходную величину Y типа вкл./выкл. (например, включение/выключение нагревателя). Т-регулятор включает или выключает выходное реле в зависимости от того, достигла или не достигла регулируемая величина заданного значения.

Трехпозиционные регуляторы имеют дискретную выходную величину Y с двумя точками переключения типа вкл./выкл. и зоной нечувствительности (например, реверсивное управление сервоприводом). Динамические свойства объектов и выбор типа регулятора.

Для определения возможности применения Т-регулятора необходимо знать инерционность и время транспортного запаздывания регулируемого объекта.

Для их определения на практике чаще всего используют методику снятия переходной характеристики, которая излагается ниже.

Требуется, чтобы система находилась в покое и отсутствовали внешние возмущения.

На вход исполнительного органа подается ступенчатое воздействие Y, в результате чего состояние объекта представляет собой некоторый процесс X(t) – переходную характеристику (рис. 17).

Рис. 17. Переходные процессы для объектов с различными свойствами: to - время транспортного запаздывания; tи - постоянная времени (время согласования) определяется инерционностью объекта; Xy - установившееся значение; R - наклон разгонной кривой dX/dt (макс. скорость изменения Х)

По виду этого переходного процесса объекты можно подразделить на несколько основных категорий.

1. Объекты с малой инерционностью и без запаздывания (tи < 5 мин).

2. Объекты с инерционностью и с малым запаздыванием (to/tи < 0,1).

Исходя из соотношения to/tи и выбирается тип регулятора. Причем, Т-регулятор можно применять, если tо/tи < 0,1. Проиллюстрировать основные понятия to, tи, R можно на примере САР с водяным отоплением, изображенной на рис. 18.

Рис. 18. Блок-схема САР водяным отоплением с управлением задвижкой

Величина транспортного запаздывания  tо определяется временем притока воды в батарею из отопительной сети и временем распространения теплового потока в воздухе.

Инерционность  tи определяется объемом помещения V. Следовательно, уменьшая длину трубопровода и приближая датчик к батарее мы можем снизить соотношение to/tи и упростить задачу регулирования.

Итак, при соотношении to/tи<0,1 можно применять позиционные регуляторы – они не требуют настройки и обеспечивают при этом соотношении малый уход от заданной температуры.

Например, они используются для регулирования температуры воды в баках, в пастеризаторах, для управления нагревом печи Ш2ХПА-25 хлебозавода, в сушильных камерах ЖБК, в саунах и пр.

Алгоритмы позиционного регулирования

Алгоритм регулирования для позиционных регуляторов определяется статической характеристикой регулятора: зависимостью выходного сигнала Y от входного Х (см. рис. 19.).

Рис. 19. Статическая характеристика двухпозиционного регулятора L-типа

Выходная величина Y равна максимальному воздействию (нагреватель включен) при Е = X-U<-d, Y = 0 при E>d, где d – порог.

Процесс регулирования представляет собой колебание вокруг задания (см. рис. 20.). Частота и амплитуда определяются величинами to, R, tи, d.

Рис. 20. Процессы регулирования САР с Т-законом

Для объектов с большой инерционностью tи и с малым запаздыванием to регулирование происходит с постоянными колебаниями до 5-15% от U.

Чем больше d, to/tи, R, тем  больше амплитуда колебаний. Чем больше tо и tи, тем больше период колебаний.

Виды позиционных регуляторов

По виду статической характеристики двухпозиционные регуляторы могут быть в основном следующих видов (рис. 21).

Рис. 21. Виды двухпозиционных регуляторов

Вид  а применяется для вентиляции, в холодильниках и пр. Вид  б обычно применяется в различных нагревательных приборах, термошкафах, баках и т. п. Виды  в и г применяются для сигнализации выхода системы на рабочий режим. Эти регуляторы еще называют компараторами.

Применяются также многопозиционные регуляторы.

Трехпозиционные регуляторы применяются для управления сервоприводом, а также для регулирования микроклимата подогревателем и вентилятором (рис. 22). Четырехпозиционный регулятор применяют для улучшения точности регулирования.

Рис. 22. Многопозиционные регуляторы: а) трехпозиционный регулятор; б) четырехпозиционный регулятор

К достоинствам микропроцессорных регуляторов относятся:

– сохранение уставок в цифровом виде в энергонезависимом ОЗУ (в аналоговых регуляторах подстроечные резисторы меняют свои параметры в течение эксплуатации, что приводит к ненадежной работе);

– внешнее управление уставками;

– в одном устройстве можно реализовать несколько регуляторов (обычно до 4-х);

– повышение точности измерения регулируемой величины в широком диапазоне за счет цифровой коррекции нелинейности датчика;

– цифровая индикация регулируемой величины и уставок;

– возможность задания сложных программ техпроцесса, предусматривающих нагрев, выдержку и остывание с заданной скоростью, переход от одной уставки на другую по таймеру;

– наличие микропроцессора позволяет быстро адаптировать серийный регулятор под заказчика.

Кроме того, микропроцессорные регуляторы обладают дополнительными сервисными функциями без увеличения стоимости:

– документирование и регистрация параметров на принтере;

– связь с компьютером с возможностью контроля или перенастройки регулятора;

– объединение регуляторов в контрольно-измерительные системы.

Следует отметить, что позиционные регуляторы часто используют не для непосредственного регулирования, а для вспомогательных нужд.

Позиционные регуляторы практически неприменимы для систем с существенным транспортным запаздыванием  to>0,2tи и для объектов без самовыравнивания, так как регулируемая величина далеко выходит за необходимые пределы регулирования. В этом случае применяют регуляторы с пропорционально-интегрально-дифференциальным (ПИД) законом. Эти регуляторы позволяют для объектов с большой инерционностью Ти и с малым запаздыванием  to<0,2tи обеспечить хорошее качество регулирования: Е<<1% от U, достаточно малое время выхода на режим и невысокую чувствительность к возмущениям.

Методы расчета и количественная оценка работоспособности алгоритмов управления одноконтурными САУ

Как видно из главы 1 мы имеем дело с заданными параметрами синтеза автоматизированных систем. Параметрическая оптимизация САУ направлена на достижение определенной цели. Цель необходимо сформулировать и сформировать в виде математического описания.

Любая промышленная САУ кроме устойчивости должна обеспечить определенные качественные показатели процесса регулирования. Качество процесса регулирования обычно оценивают по переходной характеристике y(t) по отношению к ступенчатому единичному возмущающему воздействию. Основными показателями качества являются: время регулирования, перерегулирование, колебательность и установившаяся ошибка.

Время регулирования. Временем регулирования Тр называется время, в течение которого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклонения значений регулируемой величины Δy(t) от ее установившегося значения y0 = y (∞) будут меньше заранее заданного значения ς0. Таким образом, время регулирования определяет длительность (быстродействие) переходного процесса.

Перерегулирование. Перерегулированием σ называется максимальное отклонение ∆yмакс регулируемой величины от установившегося значения y0, выраженное в процентах по отношения к y0.

Колебательность системы характеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования Тр. Если за это время переходный процесс в системе совершает число колебаний меньше заданного по условиям технологии, то считается, что система имеет требуемое качество регулирования в части ее колебательности.

Установившаяся ошибка. В общем случае установившаяся ошибка ς0 или точность регулирования определяется как разность двух значений – установившегося регулируемой величины y0 после окончания переходного процесса и заданного g0:

ς0 = g0 - y0. (1)

По отношению к возмущающему воздействию

ς0 = - y0. (2)

Показатели качества регулирования определяются непосредственно по кривой переходного процесса, которую можно получить экспериментально или решением дифференциальных уравнений системы. Решение дифференциального уравнения является трудоемкой задачей, в связи с этим в инженерной практике находят широкое применение косвенные оценки качества регулирования. Косвенными оценками называются некоторые величины, в той или иной мере характеризующие отдельные особенности переходного процесса.

Косвенные оценки качества регулирования. Одной из косвенных оценок качества регулирования является степень удаления корней характеристического уравнения замкнутой системы от мнимой оси. Расстояние η ближайшего корня от мнимой оси характеризует запас устойчивости системы и называется степенью устойчивости этой системы и равно вещественной части корня, ближайшего к мнимой оси.

Наибольший из углов γ, образованных отрицательной вещественной полуосью и лучами, проведенными из начала координат через корни, характеризует колебательность системы. Котангенс этого угла m = ctg γ называется степенью колебательности.

Согласно:

, (3)

где у (t)св – свободная составляющая решения канонического уравнения во

временной области, определяемая корнями рi характеристического

уравнения;

Сi – постоянные, определяемые начальными условиями,

t – время.

Комплексно-сопряженные корни, имеющие максимальный угол γ, дадут составляющую колебательного переходного процесса, имеющую наименьшее затухание, и, следовательно, колебательность системы будет определяться этой составляющей, так как остальные составляющие имеют большее затухание. Для оценки колебательности в ряде случаев пользуются понятием «степень затухания».

Степенью затухания Ψ называется отношение разности двух соседних амплитуд одного знака кривой переходного процесса к большей из них:

. (4)

Степень колебательности и степень затухания связаны между собой выражением: Ψ = 1 – е – 2 π m.

При оценке качества по расположению корней характеристического уравнения можно исходить из следующих соображений. Предполагая, что переходный процесс в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем (или ближайшей к мнимой оси парой сопряженных корней), , можно найти допустимое значение степени устойчивости с учетом желаемого времени регулирования Тр. По истечении этого времени отклонение регулируемой величины уменьшится в n раз относительно начального отклонения ун, т. е. .

Частотные методы оценки качества регулирования. Эти методы базируются на преобразовании Фурье и на том, что переходный процесс при заданных возмущениях однозначно связан с видом АФХ замкнутой САУ. Таким образом, по частотным характеристикам можно судить о качестве переходного процесса.

Разложение ступенчатой единичной функции в непрерывный гармонический ряд осуществляется с помощью интеграла Дирихле:

, (5)

где ω – частота.

Если АФХ замкнутой САУ имеет вид W(iω) = P(ω) + iQ(ω), где P(ω) – действительная часть АФХ, Q(ω) – мнимая часть АФХ, то реакция системы на возмущение типа единичной ступенчатой функции может быть вычислена по формулам:

(6)

Эти выражения лежат в основе частотного метода исследования качества переходного процесса при единичном возмущении; пользуясь любым из них, можно составить предварительное приближенное суждение о качестве регулирования:

1) приблизительно одинаковым P(ω) соответствуют приблизительно одинаковые у(t);

2) для двух сходных P1(ω) и P2(ω), отличающихся только масштабом по оси ω, т. е. P1(ω) = P2(nω), переходные процессы отличаются только по оси t, т. е. у1(t/n) = у2(t);

3) в установившемся состоянии у(∞) = P(0);

4) чтобы у(t) стремилась к установившемуся значению, необходимо, но не достаточно соблюдения при всех ω неравенства | P(ω) | < P(0);

5) если P(ω) изменяется по монотонно убывающей кривой, для которой P(ω) > 0, P'(ω) < 0, P"(ω) ≥ 0, то это означает, что параметр стремится к установившемуся значению без перерегулирования, а длительность переходного процесса Тр ≈ 4π/ω01, где ω01 – верхняя граница области существенных частот для данной системы;

6) если P(ω) обращается в бесконечность при некотором значении ω, то САУ неустойчива;

7) продолжительность переходного процесса будет тем меньше, чем более пологий характер имеет P(ω).

Интегральные методы оценки качества. В основе этих методов лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой величины, так как эта площадь косвенно характеризует потери на регулирование. Наибольшее применение находят интегральные оценки следующего вида:

(7)

где Т – постоянная времени некоторой экспоненты, по которой желательно изменение переходного процесса для данной системы.

На практике преобладает подход, связанный с миниминизацией интегральных оценок качества регулирования вдоль границы области допустимых значений параметров настройки регулятора САУ.

Эти критерии являются простейшими с математической точки зрения и имеют экономическое и технологическое обоснование для многих промышленных объектов, связанных с регулированием температуры и давления, с поддержанием максимального значения КПД, минимальных материальных и энергетических потерь и т. д.

Таким образом, в качестве критерия эффективности был выбран интегральный среднеквадратический критерий качества, величина которого вычисляется по выражению:

, (8)

где Тр - время регулирования;

y(t)- текущее значение управляемой величины;

yз(t)-текущее значение величины задания.

Среднеквадратический критерий был выбран в качестве критерия эффективности, поскольку он обладает следующими преимуществами:

1) величина критерия практически не связана со временем регулирования;

2) среднеквадратический критерий качества отдает предпочтение начальным участкам переходного процесса, которые в основном и определяют динамику системы.

Расчет величины среднеквадратического критерия был произведен с использованием численного метода «правых» прямоугольников, который основан на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей) и дальше на основе этой суммы определяется необходимая точность для нахождения решения функции:

(9)

где А и В – конечные величины;

f(x) - непрерывная функция.

Вычисление проводится путем разбиения интервала от А до В на множество мелких интервалов и приближенным нахождением площади каждой полоски и в дальнейшем суммированием этих полосок (Рис. 23.).

Рис. 23. Графическая интерпретация метода «правых» прямоугольников

Вычисление интеграла осуществляется по выражению:

, (10)

где хi - узлы интерполяции;

i - номер узла;

Сi - коэффициент;

R - погрешность метода.

В методе «правых» прямоугольников для замены интеграла используется следующее выражение:

(11)

где hi = xi-xi-1;

xi-1 ≤ zi < xi;

zi = xi.

Таким образом, параметры настройки регуляторов должны быть выбраны такими, чтобы в замкнутой системе был обеспечен заданный запас устойчивости. При этом выбранный показатель качества регулирования должен быть не хуже требуемого (или должен иметь экстремальное значение).

Обеспечение заданного качества переходного процесса осуществляется путем изменения настроечных коэффициентов регуляторов или алгоритмов регулирования, при постоянном наблюдении за изменениями переходного процесса и оценивании выбранного критерия качества регулирования, добиваясь его оптимального значения. Существуют различные методы обеспечения заданного качества.

Экспериментальные методы в большинстве своем основаны на прямом контроле переходных или частотных характеристик САУ в процессе подбора оптимальных параметров настройки регуляторов. Сначала регулятор включают в работу с произвольными параметрами настройки, обеспечивающими устойчивое движение САУ. После этого наносят возмущения и наблюдают реакцию системы на эти возмущения. Целенаправленно изменяя параметры настройки регулятора по заранее известному алгоритму, добиваются нужного вида переходного процесса или определенного положения некоторых точек АФХ в комплексной плоскости.

Обычно это многошаговая итерационная процедура.

Экспериментальные методы применяются там, где усилия, затрачиваемые на получение динамических характеристик объекта неоправданно велики. Методы хорошо себя зарекомендовали для самовыравнивающихся объектов и объектов с малым временем запаздывания, но медленно изменяющимися переходными процессами.

По методу замкнутого контура подбор осуществляют по следующему алгоритму: настроечные коэффициенты блокируются или устанавливаются значения, равные нулю. Коэффициент пропорциональности к1 медленно увеличивают до тех пор, пока исполнительный механизм не начнет устойчиво колебаться. Величину к1, при которой начинаются устойчивые колебания, называют предельным коэффициентом усиления к1П, а период устойчивых колебаний обозначают Тпр и применяют для расчета оптимальных настроек регуляторов (k1o, k2o, k3o):

П-регулятор:

ПИ-регулятор: ;

ПИД-регулятор: ; ; .

Подобранные по методу замкнутого контура настройки регулятора обеспечивают качество регулирования со степенью затухания Ψ = 0,75. К недостаткам метода относится необходимость проведения пробных регулировок.

Метод заданного затухания требует меньшего количества пробных регулировок, так как при его реализации необходимо просматривать всего два цикла колебаний для обеспечения степени затухания Ψ = 0,75. Метод реализуется следующим образом: настроечные коэффициенты блокируются или устанавливаются равными нулю. Коэффициент при пропорциональной составляющей увеличивается до тех пор, пока не будет получен переходный процесс Ψ = 0,75. Полученный при этом коэффициент к1 и период колебаний переходного процесса Тр используют для расчета оптимальных настроечных коэффициентов регуляторов по следующим соотношениям:

П-регулятор:

ПИ-регулятор: ;

ПИД-регулятор: ; ;

Для объектов управления, характеризующихся чистым запаздыванием, можно использовать сочетание метода замкнутого контура с опытными данными, полученными в результате экспериментов. Для этого по методу замкнутого контура находят предельные значения коэффициента усиления к1 и периода колебаний Тпр, а затем рассчитывают оптимальные настройки по формулам из табл. 1. для различных соотношений чистого запаздывания t и постоянной времени Т.

Экспериментальные методы обеспечения качества регулирования предусматривают внесения в систему возмущения в виде ступенчатого скачка в значении задающего воздействия, что не всегда возможно. Задание используется для внесения в систему только потому, что ее легче изменять программным путем при непосредственном цифровом управлении.

Таблица. 1.

Формулы для расчета настроечных коэффициентов регуляторов

Сущность пошаговой оптимизации с оценкой переходной характеристики на каждом шаге заключается во взаимосвязи между формой переходных процессов при различных настройках САУ и расположением соответствующих точек в плоскости параметров настройки САУ. В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора существуют линии одинаковой степени затухания ψ и, следовательно, одну и ту же степень затухания можно получить при различном сочетании параметров настройки регулятора. Но другие показатели качества регулирования – максимальное динамическое отклонение, длительность переходного процесса и площадь под кривой переходного процесса – будут при этом различными. Таким образом, если путем изменения настройки регулятора двигаться слева направо вдоль любой линии равного затухания, то качество процесса регулирования будет повышаться до тех пор, пока не будет достигнут экстремум – минимум, I = Iмин. При этом улучшаются показатели качества переходного процесса. При дальнейшем движении вправо начинается постепенное ухудшение качества переходного процесса: кривая переходного процесса будет иметь растянутую во времени конечную часть, вследствие чего площадь под кривой и время переходного процесса увеличиваются.

Поиск оптимальных настроек САУ с ПИ-регулятором основан на следующих особенностях этих систем:

1) высокочастотные ветви линий равной степени затухания в плоскости параметров настройки САУ, имеющих самую разнообразную динамическую структуру объектов регулирования, расположены вертикально или под небольшим углом к вертикали. Следствием этой особенности САУ является то, что в области настроек, близких к оптимальным или отличающихся от них повышенным значением постоянной времени изодрома Тиз, степень затухания переходных процессов в основном определяется значением коэффициента передачи k1 регулятора и слабо меняется при изменении Тиз;

2) появление апериодической составляющей переходных процессов является признаком того, что точка, соответствующая данной настройке, расположена на высокочастотной линии равного затухания;

3) переходные процессы, соответствующие настройкам, расположенным на высокочастотной линии равного затухания, несущественно отличаются друг от друга по значению максимального отклонения регулируемого параметра, т. е. изменение интегральной оценки качества зависит главным образом от размеров апериодической составляющей переходных процессов. Следовательно, при движении снизу вверх вдоль оси высокочастотной ветви оптимум достигается, когда исчезнет апериодическая составляющая в переходном процессе или ее значение будет небольшим;

4) оптимальное значение Тиз. опт слабо зависит от значения ψ, т. е. найденное при данном ψ значение оптимального времени изодрома Тиз. опт остается оптимальным и для других значений ψ;

5) так как оптимум настройки, соответствующий Iмин при заданной степени затухания, имеет небольшую кривизну, то при решении практических задач под оптимальной настройкой следует понимать не точку, а определенную область в плоскости параметров настройки.

При выборе оптимальных настроек можно полагать, что оптимальным значением постоянной времени изодрома Тиз. опт является граничное значение Тиз, при котором исчезает апериодическая составляющая переходных процессов; оптимальным значением коэффициента передачи регулятора k1 можно считать то его значение, которое при Тиз. опт обеспечивает заданную степень затухания ψ. Переход через вершину равного затухания недопустим, так как ведет к резкому ухудшению качества регулирования.

Экспериментальные методы позволяют определить оптимальные настройки управляющих устройств на уже действующих производствах, к качественным характеристикам которых предъявляются не очень жесткие требования, т. е. требуют наличия как отлаженного объекта, так и готовой САУ. Такой вывод вытекает из предположения, что не всегда существует возможность активно вмешиваться в течение технологического процесса, т. к. это может привести к нарушению технологического режима и, как следствие, к выпуску продукции низкого качества.

В то же время относительная простота реализации этих методов привела к их широкому распространению в настоящее время.

Аналитические методы обеспечения качества регулирования представляют широкую группу методов, которые основаны на применении для расчетов настроек регуляторов динамических характеристик как объекта, так и регулятора. Основным условием применения аналитических методов является знание математических моделей объекта и регулирующего устройства в весовой или переходной функции. Таким образом, применение аналитических методов обеспечения качества регулирования состоит их двух этапов: получение динамических характеристик объекта и применение этих динамических характеристик для выбора коэффициентов алгоритма регулирования, которые обеспечат заданное качество регулирования.

В аналитических методах первая часть решения поставленной задачи связана с построением в плоскости параметров настройки регулятора области заданного запаса устойчивости свободного движения замкнутой САУ. Точность решения данной задачи зависит от того, как заданы (определены) динамические свойства объекта управления.

Если динамические свойства объекта управления (передаточная функция, АФХ и т. д.) определены в аналитической форме, то предпочтение отдается методу расширенных АФХ. Если динамические свойства определены экспериментально, то предпочтение следует отдать методу максимума АЧХ.

Дальнейшее решение поставленной задачи связано с выбором оптимальных значений параметров настройки регулятора – точки на границе области заданного запаса устойчивости, обеспечивающей экстремум выбранному косвенному показателю, оценивающему качество регулирования. Выбор этой точки не зависит от того, как была построена граница области заданной степени колебательности. Оно определяется в основном статистическими характеристиками действующих возмущений.

В основе метода расширенных АФХ лежит понятие так называемых расширенных комплексных частотных характеристик W(m;iω), получающихся из передаточных функций заменой P = ω (i – m), где m связана с ψ выражением:

Ψ = 1 – е – 2πm. (12)

Передаточная функция, например, ПИ-регулятора в рассматриваемом методе расчета задается в виде:

, (13)

где - интегральная настройка регулятора;

Тиз – время изодрома.

Расширенная характеристика регулятора:

. (14)

Передаточная функция объекта Wоб(m, iω) выбирается из числа типовых элементарных звеньев.

Исходным для расчета границы области заданной степени затухания ψ является соотношение: Wоб · R = 1, которое преобразовывается в систему двух уравнений:

Ap (m, ω) = 1/Aоб (m, ω)

φр (m, ω) = - φоб (m, ω)

Левая часть этих уравнений зависит от ω и искомых параметров настройки регулятора k1 и k2. Правая часть зависит от частоты ω и известных параметров объекта. Разрешив систему уравнений относительно k1 и k2, находится граница области заданной степени колебательности m в параметрической форме:

k1 = k1 (ω),

k2 = k2 (ω).

Задавая различные значения ω можно построить искомую границу заданной степени колебательности m и все значения k1 и k2, лежащие на этой кривой, обеспечат определенную заданную степень затухания.

Значения k1 и k2, лежащие внутри области, ограниченной кривой и осями координат, обеспечат процесс регулирования со степенью затухания больше заданной, а лежащие вне этой области – со степенью затухания меньше заданной. Далее необходимо выяснить, какую степень затухания следует рекомендовать и какие конкретно значения k1 и k2 надо выбрать на построенной линии заданного затухания, чтобы получить оптимальный процесс регулирования. Опыт эксплуатации показывает, что ψ = 0,75 может удовлетворять во многих случаях практики. Многочисленные промышленные опыты настройки регуляторов технологических процессов показывают, что следует выбирать значения k1 и k2, лежащие несколько правее максимума кривой заданного затухания.

В дисперсионном методе качество регулирования оценивают по значению дисперсии ошибки регулирования σε2. Если задающее воздействие узад(t) = сonst, а возмущающее воздействие φ(t) приложено к выходу объекта регулирования, то

, (15)

где Sφ(ω) – спектральная плотность возмущения φ(t);

Wоб(iω), R (iω) – АФХ объекта и регулятора соответственно.

Двигаясь вдоль границы области заданной степени колебательности можно построить по формуле зависимость σε2 = f (k1) и по критерию σε2 = min выбрать оптимальные значения k1 и Тиз.

Методы содержат множество формальных условий, которые аналитически не обоснованы и применимы в основном для задач с одной и двумя переменными.

Информационный метод. Одноконтурная САУ рассматривается как замкнутый канал передачи информации х→у.

С информационных позиций точность работы такого канала тем выше, чем больше его пропускная способность

, (16)

где ;

Sx (f) и Sφ (f) – спектральные плотности сигналов x(t) и φ(t);

Wоб(if), R (if) – АФХ объекта и регулятора;

F = - частота среза Sφ (f).

В информационной теории управления для оптимизации рассматриваемой системы применяют критерий Rx = max, который при нормальных видах одномерной плотности распределения вероятностей x (t) и φ (t) совпадает с критерием минимума дисперсии ошибки регулирования.

Следовательно, аналитические методы требуют для своей реализации обязательного знания математического описания объекта управления, что повышает их адекватность технологическому процессу. Реализация этих методов возможна без непосредственного вмешательства в работу оборудования, а рост современных компьютерных технологий значительно упрощает их формализацию.

Однако, аналитические методы предназначены для параметрической оптимизации локальных, одноконтурных систем управления. Их применение для определения оптимальных параметров сложных САУ (каскадных, многоконтурных) возможно лишь в ограниченных случаях.

Методы имитационного моделирования. В современных условиях часто приходится создавать системы регулирования, когда еще не существует самого объекта, то есть на этапах, когда создается новый технологический процесс.

В этих условиях огромную роль приобретают методы имитационного моделирования, которые применяются следующим образом: выбирается модель объекта управления и алгоритм регулирования. Аналитическими методами рассчитывают параметры алгоритма регулирования и моделированием на ЭВМ имитируется функционирование входных параметров системы и оценивается качество регулирования.

Блоки моделирования случайных процессов позволяют сделать имитационное моделирование и исследовать режимы работы объекта в условиях более приближенных к реальным, т. е. в условиях действия случайных помех, дрейфа характеристик и изменения входных переменных. Однако, введение этих блоков предъявляет особые требования к математическому обеспечению и, в частности, к выбору критерия эффективности. При имитационном статистическом моделировании он должен не только объективно отражать эффективность функционирования объекта, но и обладать способностью к оценке этой эффективности на продолжительном интервале времени.

2.  МНОГОКОНТУРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Структура математической модели алгоритма управления многоконтурными САУ

Структурная схема каскадного алгоритма управления показана на рис. 24. В качестве математической модели i-того управляющего устройства (блоки УУ1, УУi, УУn) применяется типовой закон управления, выраженный формулой :

, (17)

где k1, k2, k3 – параметры настройки i-того управляющего устройства.

Рис. 24. Структурная схема алгоритма управления

Сигналы У1, Уi, Уn поступают с выходов передаточных функций многосвязного объекта управления и с учетом случайного характера входных воздействий представляют собой функцию вида (рис. 25.).

В частном, но довольно распространенном, случае двухконтурной системы автоматического регулирования с настройками управляющих устройств k1≠0, k2= k3=0 и при использовании случайно смоделированного входного процесса, выходная величина уn будет иметь вид рис. 25.

Рис.25. Реализация функции Уi (t)

Правильный выбор настроечных коэффициентов любой промышленной системы автоматического управления повышает надежность и экономичность ее работы. В последнее время в связи с переходом от частичной к комплексной автоматизации производства правильный расчет настроек систем является не просто желательным, но и совершенно необходимым условием ее работоспособности. В то же время ужесточение требований к качеству готовой продукции и расходованию материальных и энергетических ресурсов привело к тому, что все больше внимания при разработке автоматических систем уделяется сложным каскадным структурам управления.

Для качественного анализа
работы локальных или одноконтурных САУ и определения настроек их управляющих устройств – автоматических регуляторов – в настоящее время существует сравнительно большое число точных и приближенных методов. Исследование же каскадных систем управления рассмотрено лишь в некоторых работах, где главное внимание уделяется либо последовательному соединению управляющих устройств с объектами управления, либо ограниченному числу контуров управления (чаще всего – это два контура: стабилизирующий и корректирующий).

Таким образом, возникает актуальная задача разработки и исследования методик расчета параметров функционирования программно-аппаратного комплекса и его управляющих устройств n-каскадных или n-контурных систем управления.

Рис. 26. Структурная схема n-контурной САУ (W1, Wi, Wn – передаточные функции объекта управления по каналам регулирования основной (Y1) и вспомогательных (Yi, Yn) величин; R1, Ri, Rn – передаточные функции управляющих устройств для поддержания основной и вспомогательных величин на заданном значении; ω1, ωi, ωn – рабочие частоты основного и вспомогательных контуров управления.)

Входной сигнал Х, поступает на вход передаточных функций многосвязного объекта управления, где преобразовывается в зависимости от порядка объекта. Выходные сигналы Y поступают на вход соответствующих управляющих устройств R для выработки сигнала рассогласования с заданием и формирования управляющих воздействий Z. При этом управляющее воздействие последующего управляющего устройства является заданием для предыдущего.

В каскадных системах (Рис. 26.) при регулировании основной технологической величины в объекте с большим запаздыванием используются также вспомогательные величины, реагирующие на изменения основных возмущений объекта и регулирующего воздействия с меньшим запаздыванием. В таких случаях стабилизация вспомогательных величин способствует качественному управлению основной величиной. Каскадная система состоит из нескольких контуров регулирования, каждый из которых регулирует свою технологическую (основную или вспомогательную) величину.

В системах подобного типа качество управления улучшается при уменьшении соотношения времени запаздывания в основном и вспомогательных контурах, т. е. при выполнении условия: ω1 > ωi > ωn. Поэтому в начале основной контур регулирования рассматривается как независимый, т. к. инерционность вспомогательных контуров существенно превосходит инерционность основного контура и сигнал Z3 можно принимать постоянным и, следовательно, определять параметры R1.

Значения же коэффициентов внешнего вспомогательного регулятора Rn зависят от переменных всех предшествующих контуров – как основного, так и вспомогательных. Поэтому исходную структурную схему (Рис. 26.) сначала необходимо привести к классическому виду одноконтурной САУ (Рис. 27.).

Рис.27. Структурная схема одноконтурной системы автоматического управления

Для этого внешний вспомогательный контур необходимо зрительно отсечь от схемы (Рис. 28.).

Рис. 28. Структурная схема n-контурной САУ без внешнего контура управления

Принимая Х = const и следуя от входного сигнала Zi+2 к выходному – Yn, схема преобразуется к виду на рис. 29.

Рис. 29. Преобразованная структурная схема n-контурной САУ

Использование методов структурных преобразований позволяет определить передаточную функцию эквивалентного объекта (18) для классической одноконтурной системы и рассчитать условия реализации внешнего управляющего устройства:

. (18)

При этом в выражении (18) используются настроечные коэффициенты промежуточных регуляторов Ri, которые предварительно находятся с использованием передаточных функций объектов управления, рассчитанных по формуле (19):

. (19)

Уравнение (19) отражает динамические особенности каскадных алгоритмов и соответствует условиям физической реализуемости динамических систем, т. е. предотвращает возникновение звеньев предварения сигналов.

Для проверки принятых ранее допущений находятся начальные условия функционирования основного регулятора R1 с учетом влияния всех вспомогательных контуров. Для этого он зрительно отсекается от исходной схемы (Рис. 30.) и представляется в эквивалентном виде (Рис. 31.).

Рис. 30. Структурная схема n-контурной САУ без внутреннего контура управления

Методы структурных преобразований позволяют определить эквивалентную передаточную функцию основного контура (20) и использовать ее при расчете параметров основного управляющего устройства с учетом работы всей системы в комплексе:

. (20)

Рис. 31. Преобразованная структурная схема n-контурной САУ

Оптимальная работа каскадных алгоритмов управления в основном зависит от численных значений коэффициентов управляющих устройств (R1, Ri, Rn) в структурной схеме (Рис. 26.), поэтому описанные математические принципы легли в основу разработанной методики расчета настроечных параметров.

Методика расчета оптимальных настроек алгоритмов управления многоконтурными САУ

Возможны два варианта определения параметров функционирования управляющих устройств в n-контурных схемах:

- когда рабочая частота основного контура регулирования много больше частот вспомогательных контуров;

- когда рабочие частоты контуров соизмеримы.

При расчете по первому варианту основной контур регулирования рассматривается как независимый и любым известным методом определяются численные значения настроечных коэффициентов регулятора R1.

Затем находятся значения коэффициентов внешнего вспомогательного регулятора Rn по формуле (18) с применением вышеописанных структурных и математических преобразований.

Теперь для проверки принятых ранее допущений вновь находятся коэффициенты основного регулятора R1 с использованием выражения (20).

Результаты проверки при этом должны удовлетворять условию:

, (21)

где ki1, ki2 – настроечные коэффициенты внутреннего управляющего устройства, найденные до и во время поверки соответственно.

В противном случае коэффициенты внешнего регулятора Rn изменяются на 10 % и расчет повторяют вновь.

Согласно второму варианту порядок расчета несколько меняется.

Расчет системы управления начинают с внешнего контура и определяют настроечные параметры n-го управляющего устройства. При этом все остальные управляющие устройства принимаются равными единице, и формула эквивалентного объекта будет иметь вид (22):

, (22)

где Wn – передаточная функция внешнего объекта управления.

Используя полученную передаточную функцию эквивалентного объекта, определяют параметры внешнего регулятора любым известным методом.

Для нахождения настроечных коэффициентов внутреннего основного контура от исходной схемы зрительно отсекают внутренний регулятор и в качестве объекта управления используют эквивалентную передаточную функцию, найденную по выражению (20). Используя полученную передаточную функцию эквивалентного объекта, определяют параметры внутреннего регулятора любым известным методом.

Для проверки результатов расчета вновь определяют параметры внешнего контура с использованием данных внутреннего управляющего устройства. Для этого регулятор Rn рассчитывают вновь, используя в качестве объекта эквивалентную функцию (18).

Результаты расчетов должны удовлетворять условию (21), в котором используются коэффициенты внешнего вспомогательного управляющего устройства Rn. Если условие (21) не выполняется, то изменяют настройки основного регулятора и расчет повторяют вновь.

  Примеры расчета настроечных параметров двухконтурной и трехконтурной системы автоматического управления

2.3.1. Расчет двухконтурной каскадной САУ с пропорциональными управляющими устройствами

Рис. 32. Структурная схема двухконтурной САУ

1.  Исходные данные:

1.1.  Передаточные функции объектов управления

- внутренний контур – W1 = e- 0,1P;

- внешний контур – W2 = ,

1.2.  Передаточные функции управляющих устройств:

- внутренний контур – R1 = k11;

- внешний контур – R2 = k12.

1.3.  Надо определить числовые значения коэффициентов k11, k12.

2.  Методика расчета.

2.1.  Для определения направления расчета находятся рабочие частоты всех контуров управления с помощью критерия устойчивости Найквиста-Михалова:

Мо · Му = 1, (23)

где Мо – модуль объекта;

Му – модуль управляющего устройства.

Или в частотной области:

Ао · Ау = 1

Fo + Fy = π , (24)

где Ао, Ау – амплитудо-частотная характеристика объекта и управляющего устройства соответственно;

Fо, Fу - фазо-частотная характеристика объекта и управляющего устройства соответственно.

Решение второго уравнения в системе (24) дает численное значение рабочей частоты. Геометрически - это точка пересечения ФЧХ объекта с прямой, проведенной на уровне π. Таким образом, рабочие частоты внутреннего и внешнего контуров имеют вид: ω1 = 3,14; ω2 = 0,245.

2.2.  Так как частота внешнего контура много больше частоты последующего контура, то расчет начинается с определения коэффициента k11 с использованием передаточной функции W1. Для этого определяется амплитуда внутреннего объекта при рабочей частоте ω1 = 3,14 по формуле: А1(ω1) = к = 1 (где к – коэффициент усиления объекта по основному каналу регулирования). Из первого уравнения системы (24) находится k11:

Ау = . (25)

Определяется k12 внешнего контура с использованием передаточной функции: или - с подстановкой исходных данных: . Далее находится эквивалентная рабочая частота (аналогично п. 2.1.): ωэкв = 0,26 и эквивалентная амплитуда: Аэкв = 0,4 (аналогично п. 2.2.). Тогда: .

Поверочный расчет.

Вновь рассчитывается внутренний контур и его коэффициент k11, но для расчета используется передаточная функция вида: или . Таким образом: ω1 =0,24; А1экв = 2,7; k11экв = 0,4.

Для определения окончания расчета, вычисляется относительная погрешность:

. (26)

В данном случае δ = 60 %, что значительно превышает допустимые 10%. Следовательно, необходимо изменить численное значение внешней настройки k1. Принимаем k1 = 0,7. Тогда:

; ω1 =0,13; А1экв = 0,86; k11экв = 1,1 и δ = 9 % < 10%. Следовательно, расчет можно закончить.

3.  Ответ: k11 = 1,1;

K12 = 0,7

2.3.2. Расчет двухконтурной каскадной САУ с пропорциональным и пропорционально-интегральным управляющими устройствами

1.  Исходные данные:

1.1.  Передаточные функции объектов управления

- внутренний контур – W1 = e- 0,1P;

- внешний контур – W2 = ,

1.2.  Передаточные функции управляющих устройств:

- внутренний контур – R1 = k11;

- внешний контур –.

1.3.  Надо определить числовые значения коэффициентов k11, k12, k22.

2.  Алгоритм расчета.

2.1. Расчет настроек функционирования внутреннего контура аналогичен примеру рассмотренному выше, т. е. k11 = 1.

2.2. Для определения параметров внешнего управляющего устройства по передаточной функции составляется система уравнений Найквиста-Михалова:

,

где =,

=,

которая решается относительно коэффициентов k12 и k22 путем изменения численных значений ω. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найден максимум в плоскости настроечных коэффициентов k12 = f (k22). Частота, при которой это произошло, является максимальной ωм и используется для определения рабочей частоты по выражению ω2 = 1,1· ωм. При использовании исходных данных: ωм = 0,4; ω2 = 0,44 и k12 = 1,55, k22 = 1.

2.3. Поверочный расчет.

Вновь рассчитывается внутренний контур и его коэффициент k11, но для расчета используется передаточная функция вида: или . Таким образом: ω1 =0,14; А1экв = 7,8; k11 = 0,13. Вычисленная по формуле (26) ошибка превышает установленные 10 %. Следовательно, необходимо изменить численное значение внешнего регулятора R2. Принимаем k12 = 1, k22 = 0,1. Тогда: ω1 = 6,3; А1экв = 1,01; k11 = 0,99, δ = 1 %.

3.  Ответ: k11 = 0,99;

k12 = 1,

k22 = 0,1.

2.3.3. Расчет трехконтурной системы автоматического управления с пропорциональными типовыми регуляторами

Рис. 33. Структурная схема трехконтурной САУ

1.  Исходные данные:

  Передаточные функции объектов управления:

-  внутренний контур – W1 = e- 0,1P;

-  промежуточный контур - ;

-  внешний контур - .

  Передаточные функции управляющих устройств:

-  внутренний контур – R1 = k11;

-  промежуточный контур – R2 = k12;

-  внешний контур – R3 = k13.

  Надо определить числовые значения коэффициентов k11, k12, k13.

2.  Алгоритм расчета.

  Для определения направления расчета находятся рабочие частоты всех контуров управления с помощью критерия устойчивости Найквиста-Михалова (23). Таким образом, рабочие частоты внутреннего, промежуточного и внешнего контуров имеют вид: ω1 = 31,4; ω2 = 1,63; ω3 = 0,188.

  Так как частота внешнего контура много больше частот последующих контуров, то расчет начинается с определения коэффициента k11 с использованием передаточной функции W1. Для этого определяется амплитуда внутреннего объекта при рабочей частоте ω1 = 31,4 по формуле: А1(ω1) = к = 1. Из первого уравнения системы (24) находится k1:

Ау = . (27)

  Определяется численное значение коэффициента настройки промежуточного регулятора R2, для чего находится эквивалентная передаточная функция:

. (28)

Подстановка исходных данных в формулу (28) дает выражение: . Далее находится эквивалентная рабочая частота (аналогично п. 2.1.): ωэкв = 1,8; и эквивалентная амплитуда: Аэкв = 0,11 (аналогично п. 2.2.). Тогда: .

Определяется k3 внешнего контура с использованием передаточной функции: или с подстановкой исходных данных: . Методика определения численного значения коэффициента k13 аналогична п. 2.3., т. е. ω3экв = 0,5; А3экв = 4,15; k13 = 0,24.

Поверочный расчет.

Вновь рассчитывается внутренний контур и его коэффициент k11, но для расчета используется передаточная функция вида: или . Таким образом: ω1 =4; А1экв = 1,26; k11экв = 0,79.

Для определения окончания расчета, вычисляется относительная погрешность (26). В данном случае δ = 20 %, что превышает допустимые 10%. Следовательно, необходимо изменить численное значение внешней настройки k13. Принимаем k13 = 1.

Тогда: ; ω1 =3,5; А1экв = 1,09; k11экв = 0,92 и δ = 8,4 % < 10%. Следовательно, расчет можно закончить.

3.  Ответ: k11 = 0,92;

k12 = 9,09;

k13 = 1.