Линейное программирование

Линейное программирование

1. Составить математические задачи оптимизации для следующих проблем и решить их. Дать интерпретацию оптимальных значений двойственных переменных. Провести анализ чувствительности оптимального значение критерия по отношению к изменениям объемов используемого сырья. Найти пределы, в которых данные значения двойственных переменных могут быть использованы для расчета влияния изменения объемов сырья.

а) Имеется два вида сырья: S1 и S2 в количествах 800 и 1400 кг. Можно изготовить три вида продукции: Р1, Р2 и Р3. Затраты сырья на кг продукции составляют соответственно: 4;2;5 и 2;6;5. Цена готовых изделий: $8; $14; $10. При планировании максимизируется доход.

б) На заводе имеется запас олова и свинца в объеме 3 тонн и 5 тонн соответственно. Из этих металлов завод может изготовить три вида сплавов этих металлов: с содержанием олова 20 %, 30 % и 50 %. Сплав первого вида завод может реализовать по цене $80 за кг, второго – $140, третьего – $200. Составить план производства, максимизирующий доход, и вычислить этот доход.

в) Фирма по производству творожной пасты может выпускать два сорта пасты, используя три вида сырья – молоко, наполнители и специальные добавки. Затраты молока на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а второго вида – 0.5 кг. Затраты наполнителей на килограмм пасты первого вида составляют 0.2 кг, а второго вида – 0.1 кг. Наконец, затраты добавок на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а при производстве второго вида пасты не используются. Запасы молока составляют 350 кг, наполнителей – 160 кг, добавок – 60 кг. Цена 1 кг первого вида пасты составляет 200 рублей, а второго вида – 300 рублей. Найти план производства, максимизирующий доход от продажи творожной пасты, и соответствующее значение дохода. Записать двойственную задачу, найти ее решение и дать интерпретацию двойственным переменным. Провести анализ чувствительности к малым изменениям запасов.

Динамическое программирование.

1. Фирма вырабатывает план замены однотипного оборудования. Планирование производится на 5 лет вперед, после чего фирма прекращает существование, распродав оборудование по остаточной стоимости. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна (т. е. или менять все, или не менять ничего). Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет p миллионов рублей. После замены старое оборудование продается по остаточной стоимости. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании, эксплуатировавшемся до этого t лет, , определяется формулой миллионов рублей. Остаточная стоимость определяется формулой миллионов рублей.

Определить план замены оборудования, максимизирующий суммарную прибыль от производственной деятельности с учетом затрат на оборудование и дохода от его продажи.

а) p=9 миллионов рублей; б) p=17 миллионов рублей.

2 Составить математическую модель и решить методом динамического программирования следующую задачу об оптимальном сроке замены оборудования. Найти оптимальную по минимуму общих затрат стратегию и оптимальные затраты. Пояснить правила и логику решения.

Оборудование приобретается и затем эксплуатируется 4 года, после чего продается. Замена может быть сделана в начале любого года. Первоначальная стоимость оборудования, ликвидная стоимость и годовые эксплуатационные издержки в зависимости от возраста оборудования t приведены в таблице.

Принятие решений в условиях неопределенности

1) Подготовлено несколько вариантов стратегий xi управления фирмой. По каждой стратегии xi оценен объем pij прибыли для различных прогнозов , будущей ситуации, причем не известно, какой из прогнозов lj реализуется. Вероятности реализации прогноза также не известны. Величины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице.

Найти наилучшие стратегии по критериям минимакса, Бернулли-Лапласа, Гурвича и Сэвиджа.

Принятие решений в условиях риска (хрестоматия ТМП многокритериальных решений стр. 214-218)

1) (Winston) Инвестор намерен вложить $1000 на 6 месяцев в облигации или в добычу золота. По облигациям он через 6 месяцев наверняка получит $1296. При добыче золота через 6 месяцев он получит $400 с вероятностью ¾ и $10000 с вероятностью ¼. Его функция полезности u(x) = x½, где x – сумма, получаемая через 6 месяцев. Во что ему вложить деньги?

2) Упорядочить по предпочтению инвестиционные предложения по оценкам доходности и найти их детерминированные эквиваленты (x – в руб):

L1 = <0; 1/3 úç300; 2/3>, L2 = <190; ½ úç205; ½>, L3 = < -1200; 2/3 úç3000; 1/3>, L4 = <1000; ¼ úç500; ½úç-1000; ¼>

для функций полезности: a) u(x) = 2x + 1; b) u(x) = ln (x+1250) , x > -1250; c) u(x) = (x+1200)½; x ³ -1200; d) u(x) = (x+1200)2; x ³ 1200.

АДОЕ