Тема 5
Динамика поступательного движения

В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Обычно законы носят имя тех, кто их открыл, однако Ньютон не является создателем первого второго законов. Почему же они носят имя Ньютона? Исаак Ньютон объединил эти 3 закона и доказал в своем великом труде «Математические основы натуральной философии», что знания этих законов достаточно для решения любых задач механики. При этом подразумевалось, что известны выражения для всех сил, рассматриваемых в данной задаче.

Начнем последовательно рассматривать законы Ньютона.

Первый закон Ньютона

Закон: Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, в которых если на тело не действует сила, то тело или покоится или движется прямолинейно-равномерно.

Это закон существования инерциальных систем. Сколько же инерциальных систем существует согласно первому закону? Как для любой теоремы существования согласно первому закону Ньютона должна существовать хотя бы одна такая система. В развитие первого закона доказано, что если существует одна инерциальная система отсчета, то любая другая СО, движущаяся относительно нее с постоянной скоростью, также будет инерциальной.

Таким образом, инерциальных систем бесконечно много и для каждой задачи можно подобрать соответствующую СО.

В неинерциальных СО в отсутствие сил возможны сложные не прямолинейные движения. Поэтому использование таких систем неудобно, однако ими иногда приходится пользоваться, так как вращающаяся Земля - неинерциальная СО и нельзя объяснить некоторые явления без рассмотрения задачи в неинерциальных системах.

Второй закон Ньютона

Мы рассмотрим 4 различные формулировки этого закона и обсудим, зачем нужна каждая из них.

Первая формулировка – это экспериментальный закон. Он может быть легко установлен, например, для тела на воздушной подушке, если измерить его ускорение и действующую на него суммарную силу (с помощью динамометра).

Закон: Ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, совпадает по направлению с действующей на нее результирующей силой и прямо пропорционально этой силе.

В таком виде закон неудобен для использования, так как пропорциональности плохо поддаются математическим преобразованиям. Поэтому следует от пропорциональности перейти к равенству, которое удобно для математических преобразований. Для этого необходимо ввести коэффициент пропорциональности. В данном случае коэффициент пропорциональности – физическая величина, являющаяся мерой инертности. Мера инертности тела при поступательном движении, называется инертной массой .

Таким образом, получаем вторую формулировку второго закона в виде равенства

 

где

Надо подчеркнуть, что инертная масса во втором законе – это просто коэффициент пропорциональности между ускорением и силой. Ее физический смысл становится ясным при рассмотрении принципа эквивалентности.

Принцип эквивалентности

Этот принцип экспериментально установлен знаменитым венгерским физиком Лораном Этвешем (). Принцип многократно проверялся и подтвержден с очень большой степенью точности.

Принцип: инертная масса равна гравитационной массе.

Совпадение инертной и гравитационной масс не следует из каких-то общих принципов, это свойство окружающего мира. И это очень благоприятное для нас свойство, так как несовпадение указанных масс могло бы, например, привести к принципиально более сложным движениям планет, а, следовательно, резко уменьшить вероятность возникновения жизни на основе белков.

Теперь можно говорить просто масса, так как ее различные виды совпадают.

Импульс

Импульсом материальной точки массой , движущейся со скоростью , называется физическая величина, задаваемая следующим соотношением

 

Используя понятие импульса, получим третью формулировку второго закона Ньютона

Можно показать, что в рамках классической механики вторая и третья формулировки эквивалентны

Однако, в рамках современной физики эти формулировки неэквивалентны, поскольку, как следует из результатов специальной теории относительности (СТО) Альберта Эйнштейна, масса зависит от скорости следующим образом

 

Таким образом, только третья формулировка второго закона Ньютона является справедливой как в классической, так и в современной физике. Интересно отметить тот факт, что Ньютон в своих работах использовал именно третью формулировку закона. Это еще одно подтверждение его гениальности, ведь только гении способны предугадывать будущее.

Возможна еще одна (четвертая) формулировка второго закона, позволяющая формализовать решение механических задач.

Представив ускорение как вторую производную от радиус-вектора, получим

где - силы, действующие на материальную точку, которые в общем случае могут зависеть от координат, скоростей и времени, n- количество сил. Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого будет закон движения. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что при заданных начальных условиях такие уравнения всегда имеют единственное решение.

Такой подход позволяет сказать, что в рамках динамики обратная задача получает окончательное решение.

Третий закон Ньютона

Закон: Если два тела взаимодействуют друг с другом, то сила, действующая на первое тело со стороны второго, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на второе тело со стороны первого.

В виде формулы 3 закон записывается так

 

где - сила, действующая на первое тело со стороны второго, а - сила, действующая на второе тело со стороны первого. На рисунке 1 показан опыт, подтверждающий третий закон.

 

Рис. 1

Закон сохранения импульса.

Определенный нами импульс также как и некоторые другие физические величины, которые мы рассмотрим позже, обладает особым свойством – сохраняемостью при некоторых условиях.

Совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.

Импульс системы, состоящей из материальных точек, равен

где - массы материальных точек, входящих в систему.

Силы взаимодействия можно разделить на внутренние и внешние.

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними.

Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.

Эти определения позволяют выделить важный вид механических систем – замкнутые системы.

Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (изолированной).

Закон сохранения импульса для замкнутой системы. В инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой системы с течением времени не изменяется. То есть

Докажем это утверждение. Для этого воспользуемся третьей формулировкой второго закона Ньютона, подразделением всех сил на внутренние и внешние, определением замкнутой системы и третьим законом Ньютона.

 

Сумма внешних сил равна нулю вследствие определения замкнутой системы, а сумму внутренних сил можно представить в виде суммы пар противоположно-направленных сил, удовлетворяющих третьему закону Ньютона. Так как производная от полного импульса равна нулю, то

 

Замечание. Данное доказательство справедливо в рамках механики, в других разделах физики для доказательства требуется использовать соответствующие законы этих разделов. В то же время закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы (справедлив для любых явлений природы), так как является следствием однородности пространства.

Введем определение очень важного для динамики и статики системы материальных точек и твердого тела понятия – понятия центра масс.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка C, радиус-вектор, который равен

где и - масса и радиус – вектор ой материальной точки. Точка центра масс обладает следующим важным свойством.

Импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость поступательного движения ее центра масс.

 

Докажем это.

 

Доказанное свойство обеспечивает возможность использования системы отсчета центра масс – очень удобной инерциальной системы отсчета.

Работа постоянной силы

Рис. 2

Понятие работы возникает как развитие золотого правила механики, полученного для простых механизмов типа рычага или блока.

Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работой силы называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

(1)

Используя определение скалярного произведения это определение можно записать иначе (см. рисунок 2)

(2)

Здесь - угол между векторами силы и перемещения. Однако в большинстве случаев движения тел не соблюдаются оба условия справедливости формулы (1), поэтому необходимо обобщить определение на случай переменной силы и криволинейной траектории движения.

Работа переменной силы

Рассмотрим перемещение материальной точки под действием силы вдоль криволинейной траектории от точки до точки (см. рисунок 3).

Рис. 3

Разобьем траекторию на маленькие отрезки , такие, что на каждом из них силу можно считать постоянной, а перемещение – прямолинейным. Тогда на каждом отрезке для расчета работы можно воспользоваться формулой (2)

(3)

Просуммировав частные работы (3) по траектории получим приближенное выражение для полной работы

(4)

Для получения точного выражения надо найти предел сумм (4) при стремлении длин отрезков к нулю. Этот предел называется интегралом, то есть

(5)

Формула (5) – это и есть искомое общее определение работы силы.

Так как согласно геометрическому смыслу интеграла его значение численно равно площади под графиком подынтегральной функции, то работу можно определить как на рисунке 4.

 

Рис. 4

Энергия

Энергией называется скалярная физическая величина, характеризующая общую количественную меру различных процессов и видов взаимодействия.

В физике обычно используют конструктивное определение полной энергии как суммы частных энергий, для которых можно записать конкретные выражения.

Механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел и равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия материальной точки с массой , движущейся со скоростью в заданной инерциальной системе отсчета или имеющей импульс , равна

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме

 

Теорема о связи энергии и работы

Теорема. Работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии на концах траектории.

Докажем эту теорему.

Консервативные силы

Если под действием силы происходит перемещение тела из одного положения в другое и работа, совершаемая при этом, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такая сила называется консервативной.

Данное определение можно записать формально так (см. рисунок 5)

 

Здесь 1-й и 2-ой пути – два произвольных пути, соединяющих точки и .

Назовем произвольную замкнутую кривую в пространстве замкнутым контуром, а интеграл вдоль такой кривой контурным интегралом. Эти понятия дают возможность сформулировать другое определение консервативных сил.

Рис. 5

Сила называется консервативной, если ее работа по замкнутому контуру равна нулю.

Можно доказать, что оба определения эквивалентны.

Второе определение, в частности, позволяет показать, что силы трения, которые всегда направлены противоположно направлению движения, являются неконсервативными.

Потенциальная энергия

Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела взятому с обратным знаком

.

При этом потенциальная энергия определяется с точностью до константы, так как разность при этом не изменится. Для определенности необходимо выбрать начальную точку (начальный уровень) и задать в ней значение потенциальной энергии (начальное значение). Выбор начального уровня и начального значения произволен и обычно вызван упрощением выражения в каждом конкретном случае. Таким образом, потенциальная энергия в точке с радиус-вектором равна разности ее значения в начальной точке и работы силы по перемещению из начальной в рассматриваемую точку.

 

Вычисление сил

В механике часто приходится решать обратную задачу, а именно находить значение силы по заданному выражению для потенциальной энергии. Если

 

то

Закон сохранения механической энергии

В замкнутой системе тел, между которыми действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем

 

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами.

Возможен качественный анализ движения таких систем, ограничивающий область возможного движения неравенством

 

Закон сохранения полной энергии

Существует еще один вид систем – диссипативные системы – такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.

В замкнутой системе при наличии силы трения, которая не является консервативной, полная механическая энергия системы при движении убывает. В этом случае закон сохранения механической энергии не справедлив.

Пусть на материальную точку действуют 3 силы: консервативная, трения и внешняя неконсервативная, тогда

 

Согласно теореме о связи энергии и работы

 

Действие диссипативной силы приводит к переходу части механической энергии в тепло, поэтому определим изменение внутренней энергии следующим образом . Тогда, используя определение изменения потенциальной энергии , получим

 

Если внешняя неконсервативная сила отсутствует, то

 

Аналогичное рассмотрение для замкнутой диссипативной системы позволяет утверждать, что это соотношение справедливо также и в этом случае. Таким образом, в общем случае можно использовать закон сохранения полной энергии, которая включает кроме механической еще внутреннюю энергию тел.

Закон. В замкнутой системе полная энергия сохраняется.

В общем случае во внутреннюю энергию помимо тепловой энергии могут входить ядерная, химическая, электромагнитная и т. д.