ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: получение равноускоренного движения грузов на машине Атвуда, определение значения ускорения грузов и вычисление ускорения свободного падения.

Оборудование: машина Атвуда, секундомер, лабораторный источник питания (ЛИП), грузы и перегрузок.

Общие указания

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой притягиваются две материальные точки m1 и m2 друг к другу, пропорциональна массам материальных точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

(1)

где γ ‒ гравитационная постоянная, – единичный вектор, направленный от первой материальной точки ко второй. Если тела представляют собой однородные шары, то сила притяжения шаров вычисляется также по формуле (1).

Если одно из тел представляет собой шар большого радиуса R (например, земной шар), а второе тело, имеет размеры, гораздо меньшие R, и находится вблизи поверхности шара, то их взаимодействие описывается формулой (I), где вместо r нужно взять радиус шара R.

Численное значение γ определяется путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. Точным считается значение γ=6,670·10–11 м3/кг·с. Физический смысл γ: гравитационная постоянная численно равна силе, с которой притягиваются два шара с массой 1 кг каждый, центры которых находятся на расстоянии 1 м.

Всякое тело создает в пространстве гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, что на помещенное в него другое тело действует сила. Для характеристики поля вводится векторная величина

где - сила, действующая в данной точке на тело массы m. Эта величина называется напряженностью гравитационного поля. Размерность напряженности гравитационного поля совпадает с размерностью ускорения.

Вектор напряженности совпадает по направлению с действующей силой. Напряженность гравитационного поля вблизи Земли можно считать равной ускорению свободного падения тел.

Согласно формуле (1) на тело массы m, находящееся в гравитационном поле Земли на расстоянии r от ее центра, действует сила:

где М ‒ масса Земли, ‒ единичный вектор радиус-вектора , проведенного из центра Земли к телу. Разделив эту силу на массу тела, получим, напряженность гравитационного поля Земли в точке, определяемой радиус-вектором :

(2)

Используя формулу (2), можно вычислить модуль вектора напряженности гравитационного поля: =9,81.

Устройство лабораторной установки

Машина Атвуда предназначена для исследования движения тел в гравитационном поле Земли. Удобнее всего изучать этот закон при свободном падении тел. Этому мешает большая величина ускорения свободного падения. Такой опыт возможен при большой высоте прибора или при помощи методов, позволяющих точно измерить малые промежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до небольших скоростей.

Устройство машины Атвуда изображено на рис.1. Блок 1 вращается вокруг оси, укрепленной в верхней части стойки. Через блок перекинута нить, на концах которой висят грузы А и Б, имеющие равные массы M. На груз А надевается перегрузок массы m. Грузы при этом начинают двигаться ускоренно. Электромагнит служит для пуска грузов. Перемещение измеряется линейкой 3. Одновременно с пуском грузов включается секундомер. Столик 4 предназначен для остановки секундомера в момент соприкосновения с ним груза.

Вывод рабочей формулы

Найдем закон движения грузов. Будем пользоваться системой координат, центр которой совмещен с осью блока. Ось ОХ направим вниз. На груз А с перегрузком действуют две силы: сила тяжести (М+m) и сила натяжения нити Т1. Из второго закона Ньютона, уравнение движения груза А с перегрузком:

(3)

Аналогично получим уравнение движения груза Б:

(4)

где ‒ натяжение второго конца нити. В силу нерастяжимости нити ускорения и равны по абсолютной величине: ||=||= а. В проекции (3) и (4) на ось ОХ, получим:

(М+m) = (М+m) ‒ (5)

-М = М‒ (6)

В данной установке масса блока достаточно велика, поэтому в условиях опыта ею пренебречь нельзя и к системе уравнений (5) и (6) необходимо добавить уравнение вращения блока:

I·ε = М, (7)

где I ‒ момент инерции блока (для сплошного диска, каким является блок)

где R ‒ радиус блока, m0 ‒ масса блока, ε ‒ угловое ускорение блока, ,

М ‒ момент сил, создаваемый силами натяжения нитей Т1 и T2:

M = T1R – T2R

Решая совместно систему уравнений (5)-(7), получим:

(8)

Формула (8) может служить для определения ускорения свободного падения.

(9)

Эксперимент осложняется тем, что не существует простых способов прямого измерения a. Воспользуемся для определения ускорения a, равноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время движения t. Они связаны соотношением:

S=, тогда a=

Порядок выполнения работы

I. Включить в сеть источник питания.

2. Завести нить, на которой висит груз Б, между якорем и сердечником электромагнита.

3. Расположить груз А с перегрузком так, чтобы путь S, проходимый грузом, был равен расстоянию между нижней поверхностью груза А и приемным столиком. Зафиксировать это положение, для чего с помощью ключа подать напряжение на электромагнит.

4. Нажать кнопку "Cброс" секундомера и поднять приемный столик.

5. Для приведения системы грузов в движение, разомкнуть ключ, при этом выключается электромагнит и одновременно включить секундомер.

6. Как только груз достигнет приемного столика, секундомер выключится, записать показания секундомера.

7. Величину пути S, пройденного грузом и показания секундомера занести в таблицу.

8. Измерения повторить 5 раз. Найти tср.

9. Повторить все измерения для 5 различных величин пути, проходимого грузом А (всего 25 измерений).

Si

S1, м

S2, м

S3, м

S4, м

S5, м

t1, с

t2, с

t3, с

t4, с

t5, с

1

2

3

4

5

tcp

Обработка полученных результатов

Применим графический метод, для чего по полученным средним значениям построим график прямой y=kx, который в нашем случае имеет вид

На оси ОХ откладываем tср, а на оси ОУ ‒ . Проводить прямую следует так, чтобы она лежала как можно ближе к точкам на графике. Из графика определим угловой коэффициент наклона прямой:

Тангенс угла наклона связан с ускорением следующим образом:

Определив из графика тангенс угла наклона k прямой, можно вычислить ускорение грузов: a=2k2

Этот метод обработки данных не позволяет точно определить ускорение и не дает возможности установить погрешность измерения. Более точное значение k можно получить аналитически, используя метод наименьших квадратов, который позволяет определить коэффициент k как тангенс угла наклона прямой, проходящей максимально близко к экспериментальным точкам.

Согласно этому методу

Вычислив k, можно рассчитать a. Затем по формуле (9) определим ускорение свободного падения g . Массы грузов, перегрузка и блока, указаны на установке.

Значение ускорения свободного падения g, полученное в работе, будет отличаться от табличного значения. Это связано с пренебрежением при расчетах силой трения в подшипниках оси блока

Предварительно надо рассчитать среднеквадратичную ошибку σ в определении k

где N – количество измерений ti для каждого S. В нашем случае N =5.

Величину абсолютной погрешности для g найдем по формуле:

=

Результат записать в виде gист = g ± Δg

Контрольные вопросы

1. Сформулировать закон всемирного тяготения.

2. Физический смысл гравитационной постоянной.

3. Дать определение напряженности гравитационного поля, физический смысл напряженности гравитационного поля.

4. Сформулировать законы Ньютона.

5. Используя второй закон Ньютона, получить формулу, описывающую зависимость пути, пройденного телом при равнопеременном движении S от времени t.

6. Каковы преимущества использования машины Атвуда при изучении равноускоренного движения тела в гравитационном поле Земли?

7. В чем заключается различие между графическим и аналитическим методами определения k?

8. Каковы причины отличия полученного значения ускорения свободного падения от табличного значения?