Содержание:

Введение

3

1

История развития цепных дробей и их приложения

6

1.1

История появления и развития цепных дробей

6

1.2

Применение цепных дробей в теории чисел

9

1.3

Применение цепных дробей в аналитической теории

11

1.4

Приложения цепных дробей

13

2

Приближение действительных чисел рациональными дробями

17

2.1

Представление действительных чисел правильными цепными дробями

17

2.1.1

Разложение действительного числа в правильную бесконечную цепную дробь

17

2.1.2

Свертывания цепной дроби в обыкновенную дробь

20

2.2

Приближения действительных чисел подходящими дробями

23

2.2.1

Свойства подходящих дробей

23

2.2.2

Оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью

26

2.2.3

Доказательство теоремы Дирихле о диофантовых приближениях

31

3

Подходящие дроби в качестве наилучших приближений

36

3.1

Сравнение точности приближения подходящей дробью и любым соответствующим рациональным числом

36

3.2

Цепные дроби как аппарат отыскания наилучших приближений к заданному действительному числу

40

3.3

Алгоритм выделения наилучших приближений к заданному числу из множества рациональных чисел

44

Заключение

48

Литература

49

Приложение 1

52

Введение

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.

Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение

где и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , (), то дробь будет называться правильной цепной дробью.

Также различают ветвящиеся цепные дроби:

Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики.

В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.

Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.

Задачи:

1.  рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;

2.  овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

3.  изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

4.  рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

5.  выбрать наилучшие способы аппроксимации действительных чисел;

6.  подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

Этапы исследования:

1.  Курсовая работа: «Приближение действительных чисел цепными (непрерывными) дробями»

2.  Курсовая работа: «Систематические цепные дроби как аппарат представления действительных чисел в школе»

3.  Выпускная квалификационная работа «Аппроксимация действительных чисел рациональными дробями».

Опытная проверка разработанного факультатива была проведена в 8-ом классе лицея им. г. Йошкар-Ола в учебном году. Данный курс подтвердили интерес учащихся к данной теме, хорошее усвоение теории и успешность её применения к решению задач. По результатам апробации была опубликована статья «Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике» [18]. Результаты исследований докладывались на научной студенческой конференции в 2005, 2006 году.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава содержит вопросы истории появления и развития цепных дробей, в ней также рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также их приложения в других областях науки. Во вторую главу включены элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. В третьей главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа.

Ссылки в работе, отмеченные квадратными скобками, указывают на источник под соответствующим номером в списке литературы, а ссылки, отмеченные круглыми скобками, относятся к материалу данной работы.

1. История развития цепных дробей и их приложения

1.1  История появления и развития цепных дробей

По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н. э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед (ок. 287-212 до н. э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга: , где S - площадь, а D – диаметр круга. Формула дана в виде рецепта: «Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю; на остающемся построй квадрат». Здесь используются наилучшие рациональные приближения. Трудно сказать, однако, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений , найденных Архимедом.

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н. э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину .

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. ). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год [4].

Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для следующего вида [17]. Это частный случай формулы .

Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (), им был предложен второй частный случай данной формулы: . В 1613 г. он ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, т. е. уже настоящее обозначение цепной дроби, только вместо + он употреблял перлюэт (&), т. е. сокращённое обозначение латинского союза et (и). И его запись разложения выглядела следующим образом: =4&&… Кроме разложения иррационального числа в ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал способа последовательного вычисления подходящих дробей). При этом Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями.

Катальди и Бомбелли пришли к цепным дробям, исходя из извлечения квадратного корня из чисел, а Даниель Швентер (), немецкий математик, пришёл к цепным дробям путём приближённого представления обыкновенных дробей с большими числителями и знаменателями. Он раскладывал обыкновенную дробь в цепную, используя таблицу, с помощью весьма интересного способа [25]. Таким образом, он нашёл рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. Но при этом Швентер рассматривал только правильные дроби – дроби, числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными числами.

В середине XVII века английский математик Джон Валлис () первым по времени разложил трансцендентное число в бесконечное произведение: …, а У. Броункер (), первый президент Королевского общества, около 1659 г. без доказательства опубликовал разложение его в цепную дробь: .

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде (несократимой) дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Тогда Гюйгенс нашёл среди дробей с меньшим числителем и меньшим знаменателем подходящую дробь к числу [16]. Как и Швентер, Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь и поэтому ограничился рассмотрением правильных цепных дробей. Благодаря чему была найдена подходящая дробь , аппроксимирующая дробь с большими числителем и знаменателем, и имеющая погрешность, которая составляет лишь десятитысячную долю от единицы. Гюйгенс обратил внимание на то, что нельзя найти обыкновенную дробь с меньшими числителем и знаменателем, чем подходящая, которая была бы ближе к значению цепной дроби; а также, что подходящие дроби попеременно то больше, то меньше значения цепной дроби.

Можно сказать, что цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь». Вторая работа Эйлера, вышедшая в 1750 г., фактически являлась её продолжением, в ней рассматривались вопросы о применении цепных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные цепные дроби, представление иррациональных чисел в цепные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением цепных дробей.

1.2  Применение цепных дробей в теории чисел

Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.

Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Жозеф Луи Лагранж (), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n) [8]. Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля, где и - иррациональное число [14, Гл.6, §4, С. 196] в виде пары {Pn( ), Qn( )} для некоторых значений n. Законченное решение этой задачи дал Адриен Мари Лежандр (); частные решения были уже получены Эйлером (уравнение Пелля интересно, в частности, тем, что может быть использовано при решении задач аддитивной теории чисел, таких, как, например: «каждое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов». – Такой результат сформулировал Пьер Ферма () и впервые доказал Эйлер. Доказательство же, основанное на непрерывных дробях, дал ()).

Эварист Галуа () в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей [5, Гл.3, 3.3, С.71].

Жозеф Лиувилль () первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами. Он доказал, что для - корня неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n существует константа с: 0<c<1, что для всех подходящих дробей выполняется неравенство [2, Гл.29, п.2, Т 270, С. 264]. Используя этот результат, он получил возможность привести сколь угодно много примеров трансцендентных чисел.

Результат, полученный Адольф Гурвицем () в 1891 заключается в том, что неравенство всегда имеет бесконечное число рациональных решений (Т. 12, С. 33). Эмиль Борель () дал простое доказательство этого факта, заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой последующих дробей правильного непрерывно-дробного разложения имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет данному неравенству.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (), которые доказали, что для почти всех х: 0<x<1, последовательность {an} не ограничена. () дал дальнейшее развитие этому направлению – он основал метрическую теорию непрерывных дробей [21].

1.3  Применение цепных дробей в аналитической теории

Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Им были получены разложения в непрерывные дроби для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для может быть выведено либо из формулы приведения Валлиса, либо из знакопеременного ряда Грегори – Лейбница для . Другим вкладом Эйлера было решение дифференциального уравнения Риккати при помощи непрерывных дробей. В аналитическом направлении теории цепных дробей работали () (разложил в непрерывные дроби ln(1+x), arctgx и tgx; и полностью исследовал вопросы сходимости непрерывных дробей к этим функциям), Лагранж, Гаусс, Карл Густав Якоби (). Девятнадцатый век стал временем бурного развития аналитической теории цепных дробей. Методы непрерывных дробей использовались при изучении специальных функций, для нахождения конкретных численных результатов. В области теории разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного, работали такие математики, как Пьер Симон Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн, Лаггер, Бернхард Риман (), Томас Иоаннес Стилтьес, (), Фробениус () и Анри Пуанкаре (). Эти исследования оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов, теория интеграла Стилтьеса, начало систематического изучения сходимости последовательностей голоморфных функций и первое применение Гильбертом и его школой аппарата спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве к проблеме моментов. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых разложения в непрерывные дроби применялись в связи с расходящимися рядами, по-видимому, впервые появились асимптотические разложения.

Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики.

Гейне в гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки. Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы , (), и других математиков внесли значительный вклад в теорию цепных дробей.

В Марийском педагогическом институте под руководством в 50-60-е годы XX века работала аспирантура, в которой занимались исследованием аналитических вопросов цепных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ [10, 11, 12, 13], [26], C. С. Хлопонин [22, 23], [19].

Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером цепных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории цепных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки.

1.4  Приложения цепных дробей

Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.

Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести в I в. до. н. э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х. Гюйгенс при построении планетария (С.8).

В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Они также используются в теории сравнений.

На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида [14, Гл.3, §4, п.2, С. 81], [14, Гл.6, §4, С. 196], уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.

Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.

Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176].

В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

·  Решение обратных задач теплопроводности [6];

·  Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20];

·  Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3];

·  Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1].

Литература

1.  Боднарчук, и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / , // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8

2.  Бухштаб, чисел / . – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3.  Гапоненко, дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / , // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49.

4.  Глейзер, математики в средней школе. Пособие для учителей / . - М.: Просвещение, 19с., ил.

5.  Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. , ёва и ; под ред. - М.: Мир, 1985. – 416 с.

6.  Зотов, обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / , , // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57.

7.  Кудреватов, задач по теории чисел / . - М.: Просвещение, 1970. – с.

8.  Ламберт, сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. . – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198

9.  Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

10.  Маурер, одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 76 – 77.

11.  Маурер, Г. В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221.

12.  Маурер, Г. В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: тезисы докладов. – М.: ТВП, 1995.

13.  Маурер, некоторых неопределённых уравнений второй степени с помощью цепных дробей общего вида / // Учёные записки МГПИ им. : Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. – С. 431-442.

14.  Михелович, чисел / . - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

15.  Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. ; под ред. - М.: Мир, 19с.

16.  Пичурин, Л. Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы / – М.: Просвещение, 1990. – 237с.

17.  Рудио, Р. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. / Р. Рудио // О квадратуре круга / под ред. акад. . – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 9-94

18.  Семёнова, цепных дробей на факультативных занятиях по математике./ ёнова, // Педагогика будущего: сборник научных трудов аспирантов и студентов. Вып. 2 / под ред. . - Йошкар-Ола– С.305-308

19.  Смышляев, сжатых цепных дробей. Аналитическая геометрия треугольника вопросы теории цепных дробей / // Учёные записки МГПИ им. : Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. –С.443-444

20.  Терских, дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 34 – 40.

21.  Хинчин, дроби. / – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с.

22.  Хлопонин, сходимости цепных дробей / // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. . Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 96 – 97.

23.  Хлопонин, цепных дробей. / // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С.

24.  Хованский, цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа / . - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 204 с.

25.  Хованский, Л. Эйлера по теории цепных дробей / // Историко-математические исследования. – Вып. 10. – С.305-326.

26.  Шутова, Л. П. Об одном обобщении алгоритма цепных дробей и его приложение к приближённому вычислению некоторых функций / // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С.