Математический маятник

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля – не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например, некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке O (рис. 1). Будем определять положение точки M (маятника) углом отклонения радиуса OM от вертикали. Направляя касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла , составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfont} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \] \end{document}

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ m\vec{W}=\vec{F}+\vec{N} \] \end{document},

ZEqn1

(1)

где  - действующая на точку активная сила, а — реакция связи.


Рис. 1.

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \frac{d}{dt}(mv)=F, \] \end{document}

ZEqn2

(2)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \usepackage[russian]{babel} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ m\frac{dv}{dt}=F,\quad\textrm{или}\quad m\vec{W}=\vec{F}, \] \end{document}

ZEqn3

(3)

где %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{W} \] \end{document} есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось %FontSize=10 %TeXFontSize=10 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \tau \] \end{document} даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ m\frac{dv}{dt}=-mg\sin\varphi, \] \end{document}

ZEqn4

(4)

где есть масса маятника.

Так как %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{v}=l\cdot\vec{\omega} \] \end{document} или %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ v=l\frac{d\varphi}{dt} \] \end{document}, отсюда находим

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ ml\frac{d^2\varphi}{dt^2}=-mg\sin\varphi \] \end{document}

ZEqn5

(5)

Сокращая на %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ m \] \end{document} и полагая %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \frac{g}{l}=\omega^2 \] \end{document} будем окончательно иметь:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \frac{d^2\varphi}{dt^2}+\omega^2\sin\varphi=0. \] \end{document}

ZEqn6

(6)

Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi_0 \] \end{document} и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия при %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ t_0=0 \] \end{document} будут:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi(t_0)=\varphi_0,\quad\dot\varphi(t_0)=0. \] \end{document}

ZEqn7

(7)

Из интеграла энергии:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \frac{mv^2}2+mgl(1-\cos\varphi)=E, \] \end{document}

ZEqn8

(8)

где  — потенциальная энергия, а  — постоянная интегрирования (полная механическая энергия), следует, что при этих условиях в любой момент времени угол %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi\leqslant|\varphi_0| \] \end{document}.

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{gather*} \frac{mv^2}2+mgl(1-\cos\varphi)=mgl(1-\cos\varphi_0)(=E_0),\\ \cos\varphi=\cos\varphi_0+\frac{v^2}{2gl} \end{gather*} \end{document}

ZEqn9

(9)

Значение постоянной определяется по начальным данным. Допустим, что угол %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi_0 \] \end{document} мал (%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[\varphi_0\leqslant \pi/18 \] \end{document}), тогда угол %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi \] \end{document} будет также мал и можно приближённо положить %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \sin\varphi\approx. При этом уравнение (6) примет вид

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \frac{d^2\varphi}{dt^2}+\omega^2\varphi=0. \] \end{document}

ZEqn10

(10)

Уравнение (10) есть дифференциальное уравнение простых гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi=A\cos\omega t+B\sin\omega t=a\sin(\omega t+b), \] \end{document}

ZEqn11

(11)

где и или и %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ b \] \end{document} суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ T \] \end{document} малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью):

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \] \end{document}

ZEqn12

(12)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (7) вычисляем:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \dot\varphi=\omega(-A\sin\omega t+B\cos\omega t) \] \end{document}

ZEqn13

(13)

Подставляя значения (7) в уравнения (11) и (13), получим:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \left\{ \begin{aligned} \varphi_0&=A,\\ 0&=\omega B, \end{aligned}\right. \] \end{document}

ZEqn14

(14)

Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (7) будет:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \varphi(t)=\varphi_0\cos\omega t. \] \end{document}

ZEqn15

(15)

Моделирование колебаний математического маятника

Теперь всё готово для визуализации движения математического маятника в случае малых колебаний. Действительно, зная закон изменения угла отклонения от вертикали, можно выписать в явном виде уравнения движения в координатной форме:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \left\{ \begin{aligned} x(t)&=l\sin\varphi(t),\\ y(t)&=l(1-\cos\varphi(t)) \end{aligned} \right. \] \end{document}

ZEqn16

(16)

а также соотношения, определяющие направление и величину скорости %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{v} \] \end{document} и ускорения %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{a}=\vec{a}_{\tau}+\vec{a}_n \] \end{document}:

%FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \dot x(t)&=\dot\varphi(t)l\cos\varphi(t),\\ \dot y(t)&=\dot\varphi(t)l\sin\varphi(t),\\ \end{aligned} \right.\\ |\vec{v}|=l\dot\varphi(t) \end{gathered},\quad \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \ddot x(t)&=l\bigl(\ddot\varphi(t)\cos\varphi(t)-\dot\varphi^2(t)\sin\varphi(t)\bigr),\\ \ddot y(t)&=l\bigl(\ddot\varphi(t)\sin\varphi(t)+\dot\varphi^2(t)\cos\varphi(t)\bigr),\\ \end{aligned} \right.\\ |\vec{a}_{\tau}|=l\ddot\varphi(t),{\ }|\vec{a}_n|=l\dot\varphi^2(t),{\ }|\vec{a}|=l\sqrt{\ddot\varphi^2(t)+\dot\varphi^4(t)}=\sqrt{|\vec{a}_{\tau}|^2+|\vec{a}_n|^2}. \end{gathered} \] \end{document}

ZEqn17

(17)

Здесь %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{a}_{\tau} \] \end{document} и %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{a}_{n} \] \end{document} - тангенциальная (касательная) и нормальная (центробежная) составляющие вектора полного ускорения %FontSize=12 %TeXFontSize=12 \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \pagestyle{empty} \begin{document} \[ \vec{a} \] \end{document} математического маятника.

Результат моделирования движения маятника представлен в gif-файле.

Листинг fig1.nb получения gif-файла в MathematicaTM

Моделирование малых колебаний маятника