События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события

§ 1. События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события.

Событием называется результат некоторого опыта.

Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.

Случайные события обозначаем А, В, С,…

Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление – цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие можно определить следующими таблицами:

Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А2, или А4, или А6. Это означает, что А = А2 + А4 + А6.

Рассуждая аналогично, имеем:

В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и D = А4 + А5 + А6.

Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и , доказать равенство А + = А + .

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость равенства А + = А + .

Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и ненаступления события А+ С в зависимости от наступления и ненаступления событий А, В и С.

Решение. Составим таблицу:

Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что означает событие АВ + С?

Решение. События АВ + С означает попадание точки в область ( А Ç В ) È С, которая на рисунке 2 заштрихована.

Задачи.

1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие Аi – попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А1, А2 и А3 следующие события:

А – хотя бы одно попадание,

В – три промаха,

С – три попадания,

D – хотя бы один промах,

Е – не меньше двух попаданий,

F – не больше одного попадания,

G – попадание в мишень после первого выстрела.

2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события Г1, Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие события:

А – выпадение одного герба и двух цифр,

В – выпадение не более одного герба,

С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,

D – выпадение хотя бы двух гербов,

Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,

F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб.

3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события: ВС, , ++, А+ В+ С, + С + В+ А?

4. Перечислите все случаи наступления и ненаступления следующих событий в зависимости от наступления или ненаступления входящих в них событий А, В и С:

а) А+ С; б) +; в) А + ВС; г) (А + В) С; д) А(+ С).

5. Перечислив все случаи наступления и ненаступления событий, стоящих в левой и правой частях, докажите следующие равенства (свойства операции над событиями):

1) А + А = А, АА = А; 2) А + В = В + А, АВ = ВА;

3) A + V = A, AV = V, A + U = U, AU = A;

4) (A + B) + C = A + (B + c), (AB)C = A (BC);

5) (A + B) C = AC +BC, A + BC = (A + B) (A +C);

6) = , = +, A + = U, A = V.