Цель работы. Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.
Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.
Приборы и принадлежности. Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.
1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения
Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.
Рассмотрим одну из простейших колебательных систем – пружинный маятник, представляющий собой груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с коэффициентом жесткости k |
|
Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x, то сила упругости возрастает: Fупр = – kx2= – k(x1 + x). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.
Незатухающие свободные колебания
Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X
(1)
Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: 
. Подставляя 
в уравнение (1), получим: 
. Разделив правую и левую часть этого уравнения на m и принимая, что a = d2x/dt2, получим дифференциальное уравнение
. (2)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника. Из этого уравнения следует, что после прекращения внешнего воздействия, приводящего к первоначальному отклонению системы от положения равновесия, движение груза обусловлено только действием упругой силы (сила тяжести вызывает постоянное смещение).
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (2) имеет вид
. (3)
Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А0 называется амплитудой колебаний. Величина 
, стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания. Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний. Величина
(4)
есть круговая или циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением 
. Период колебаний определяется
. (5)
Затухающие колебания
Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:
Fтр = – rυ, (6)
где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения
ma = – kx – rυ. (7)
Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx/dt можно записать
, (8)
где 
– коэффициент затухания; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний.
Чтобы получить зависимость смещения x от времени t, необходимо решить дифференциальное уравнение (8). В случае малых затуханий (
) решение уравнения можно записать следующим образом:
, (9)
где А0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний; 
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> 
ω ≈ ω0.
Движение груза в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и переменной амплитудой, меняющейся по закону:
. (10)
На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.
Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения
Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания:
. (11)
Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания:
. (12)
Если за время t' амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что
. (13)
Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение
. (14)
Если за время t' амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний
. (15)
Следовательно, логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Чем больше θ, тем быстрее происходит затухание колебаний.
2. Методика эксперимента и экспериментальная установка
Рис. 3. Схема установки | Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2. К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5, которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой. В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле |
, (16)
где 
– угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m.
3. Порядок выполнения работы
Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.
1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m. Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени 
вычислить период 
. Результаты занести в табл. 1.
2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T2 от массы m. Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).
Таблица 1
Результаты измерений для определения периода собственных колебаний
m, г | ti, с |
|
|
|
200 | ||||
300 | ||||
400 | ||||
, с
, с
, с23. Дополнительное задание. Оценить случайную 
, полную 
и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.
Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.
1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.
2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t', в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.
3. Рассчитать по формуле (14) логарифмический декремент затухания θ, учитывая, что ln2 = 0,693.
Таблица 2
Результаты измерений
для определения логарифмического декремента затухания
Измерение периода колебаний | Измерение времени уменьшения амплитуды в 2 раза | |||||
i | ti, с |
|
| i | t'i, c |
|
1 | 1 | |||||
2 | 2 | |||||
3 | 3 |
4. Контрольные вопросы и задания
1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.
2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.
3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.
4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.
5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.
6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.
7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.
8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?
9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.
10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?
11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?
12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?
13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?
14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?
15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.
Библиографический список
1. И. Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.
2. В. Курс общей физики : в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.
3. С. Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.
