1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Различают две разновидности изгиба: а) чистый изгиб, когда изгибающий момент Мх является единственным силовым фактором (Мх ¹ 0, Qy = 0); б) поперечный изгиб, когда, наряду с изгибающим моментом, возникает и поперечная сила (Мх ¹ 0, Qy ¹ 0). Стержни, подвергающиеся изгибу, обычно называют балками.

. 1

. 2

В последующем предполагаем, что балка обладает хотя бы одной плоскостью симметрии и нагрузки действуют в этой плоскости. При этих условиях балка испытывает плоский прямой изгиб, т. е. изгиб происходит в плоскости нагрузки.

Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины. Этот слой называется нейтральным, а его след на плоскости поперечного сечения – нейтральной линией или осью.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

2.1. Нормальные напряжения

Нормальные напряжения определяются без учета влияния поперечной силы исходя из двух гипотез.

1. Гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения, плоские и нормальные к оси балки до деформации, остаются плоскими и нормальными к деформированной оси и после деформации (Я. Бернулли, 1705 г.).

2. Гипотеза об отсутствии взаимного надавливания продольных волокон балки.

. 3	Выделим из балкибесконечно малый элемент dz. В результате деформации изгиба его боковые сечения взаимно поворачивают-

ся на угол dq и произвольное волокно mn, расположенное на расстоянии y от нейтрального слоя, получает приращение nn¢ = ydq. Относительное удлинение

e = nn¢/mn = ydq/rq = y/r, (1)

где r - радиус кривизны нейтрального слоя.

По закону Гука s = Еe = Еy/r. (2)

. 4	При изгибе в плоскости yz N = 0, My = 0, Mx ¹ 0. Первое условие дает откуда Sx = 0, т. е. нейтральная линия проходит через центр

тяжести сечения (точка С).

Из второго условия

следует, что Ixy = 0 и, следовательно, оси xy являются главными центральными осями поперечного сечения.

Из третьего

получаем зависимость кривизны балки от изгибающего момента

. (3)

Подставляя (3) в формулу (1), находим

. 5	s = (Mx/Ix)×y (4) Как видим, напряжения распределяются по линейному закону. Наибольшие растягивающие и сжимающие напря-

жения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси:

(5)

где Wp = Ix/yp и Wс = Ix/yс – моменты сопротивления поперечного сечения для растянутых и сжатых волокон.

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие (пластичные материалы), опасной является наиболее удаленная от нейтральной оси точка, где возникает наибольшее по абсолютной величине напряжение

smax = (Mx/Ix)ymax = Mx/Wx,

где Wx = Ix/ ymax – осевой момент сопротивления.

Условия прочности:

- для хрупких материалов

(6)

- для пластичных материалов

. (7)

Таблица 1

Пример 1. Для балок, сечения которых показаны на. 6, построить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте, считая изгибающий момент положительным (отрицательным). Установить, как выгоднее расположить сечения, имеющие только одну ось симметрии, в плоскости которой действует изгибающий момент, если материал балки чугун, лучше работающий на сжатие, чем на растяжение.

. 6

Пример 2. Как выгоднее расположить Т-образное сечение чугунной балки: полкой вверх (. 7,а) или полкой вниз (. 7,б).

Решение

. 7

Поскольку точка К отстоит от центра тяжести сечения дальше, напряжение в ней по абсолютной величине будет больше, чем в точках L. При указанном направлении силы F растянутые слои балки располагаются сверху. Так как чугун на сжатие работает лучше, чем на растяжение, точку К рациональнее поместить снизу, т. е. следует предпочесть варианта.

Пример 3

В некотором сечении балки известен изгибающий момент, равный Мх = -15 кН×м. Требуется определить нормальное напряжение в заданной точке К, а также наибольшее нормальное напряжение.

Решение

. 8

Согласно закону распределения нормальных напряжений имеем .

Подставляя Ix = bh3/12 = 6×103/12 = 500 cм4 и yK = -(5-2) = -3 cм, получим sК = [-15×103/(500×10-8)] ×(-3×10-2) = 90 МПа.

Нормальные напряжения пропорциональны расстоянию от нейтральной оси, поэтому

smax = sK ×(ymax/yK) = 90(5/3) = 150 МПа.

. 9	Пример 4 Для некоторого сечения балки известно напряжение в точке А, равное sА = 100 МПа. Требуется определить по величине и по знаку напряжения в точках В и С.

. 10	Пример 5 Зная напряжение в точке К сечения mn, равное sо, определить наибольшее напряжение, возникающее в балке

Пример 6

Определить, в каком положении балки квадратного сечения, ее грузоподъемность выше: когда плоскость нагрузки параллельна сторонам квадрата или совпадает с диагональю?

. 11

Решение

Наибольший изгибающий момент равен

и .

Отношение грузоподъемностей

Учитывая, что , ,

, ,

получим ,

т. е. в первом варианте грузоподъемность на 41,4 % выше.

Пример 7. Определить, какой процент экономии металла будет достигнут, если при неизменных прочих условиях применить вместо сплошного круглого сечения кольцевое сечение с отношением диаметров a = dв/dн = 0,9.

Решение. Из условия равнопрочности балок или , откуда

. (а)

Отношение весов пропорционально отношению площадей поперечных сечений балок . (б)

С учетом выражения (а) окончательно получим

Как видим, экономия достигает 61 %.

Пример 8

Балки квадратного сечения cоставлены из n пластин, не соединенных между собой. В каком варианте грузоподъемность балки будет больше?

. 12

Решение. Отношение грузоподъемностей балок или, учитывая, что

, ,

получим раз,

т. е. в первом варианте грузоподъемность в n раз больше.

Пример 9. Определить максимальное напряжение, возникающее в стальной проволоке диаметром d = 0,8 мм при наматывании ее на барабан диаметром D = 50 см.

Решение. Кривизна связана с изгибающим моментом соотношением I/r = Mx/EIx, откуда находим изгибающий момент Mx = EIx/r.

Максимальное напряжение smax = Mx/Wx = EIx/(rWx).

Учитывая, что r = D/2, Ix/Wx = ymax = d/2, получим

smax =Ed/D = 200×109×0,8/500 = 320 МПа.

. 13	Пример 10 Тонкая стальная полоса, имеющая поперечное сечение размером 0,8х25 мм и длину l = 25 см, изгибается сосредоточенными моментами, приложенными на концах, в дугу

окружности, опирающуюся на угол a, равный 1 радиану. Чему равно максимальное напряжение в полосе?

Решение. Изгибающий момент связан с кривизной соотношением I/r = Mx/EIx, откуда Mx = EIx/r.

Максимальное напряжение smax = Mx/Wx = EIx/(rWx)

или, учитывая, что l = ra и r = l/a, Ix/Wx = ymax = h/2,

получим smax = E×h×a/(2l) = 200×109×0,8/(2×250) = 320 МПа.

Пример 11. Шарнирно опертая по концам стальная балка с поперечным сечением из двух швеллеров № 20а нагружена, как показано на. 14. Определить величину допускаемой нагрузки q, если а = 1 м, [s] = 150 МПа.

Решение

1. Построение эпюр Q и М.

Опорные реакции:

åmB = 0, RA×6a = = q×4a×4a + 2qa2 - 2qa×2a- - q×2a×a = 0, RA = 2qa;

. 14

åmA = 0, RB×6a = q×2a×5a + 2qa2-q×4a×2a + 2qa×4a = 0, RB = 2qa.

Проверка:

åYi = 0, -RA+ q×4a-2qa-q×2a+RB = -2qa+4qa-2qa-2qa+2qa = 0.

Эпюры Q и М строим по характерным точкам.

Расчетный изгибающий момент Мmax = 2qa2.

2. Определение допускаемой нагрузки.

Геометрические характетики сечения. Из таблиц сортамента согласно ГОСТ 8240-72 имеем для швеллера № 20а:

. 15

Ix = Iy = 139 cм4; А = 25,2 см2; zo = 2,28 cм; b = 8 см.

По формуле параллельного переноса осей момент инерции сечения относительно центральной оси х равен Ix = 2[Ix + (b - zo)2A], откуда момент сопротивления

Wx = Ix/ymax = 2[Ix +(b-zo)2A]/b = 2[139+(8-2,28)2×25,2]/8 = 241 см3.

Из условия прочности балки Мmax/Wx = 2qa2/Wx £ [s],

oткуда [q] = [s]Wx /2a2 = 150×106×241×10-6/(2×12) = 18 кН/м.

Пример 12

Подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки, составленной из двух скрепленных бревен, если q = 26 кН/м, [s] = 10 МПа, Q = 1 м.

. 16

Решение

1. Построение эпюр Q и М.

Опорные реакции:

åmB = 0, RA×4a = 0,5qа2 + 2qa×2a - q×a×0,5a, RA = qa;

åmA = 0, RB×4a = q×a×4,5a + 2qa×2а - 0,5qа2, RB = 2qa.

Проверка:

åYi = 0, RA + RB - 2qa - q×a = qa + 2qa - 2qa - qa = 0.

Строим эпюры q и М и находим расчетный изгибающий момент, равный Мmax = 1,5 qa2.

2. Подбор сечения балки.

Геометрические характетики. Сечение балки является составным, поэтому

Ix = 2(Ix+y2A) = 2[pd4/64+(d/2)2pd2/4] = (5/32)pd4,

Wx = Ix/ymax = Ix/d = (5/32)pd3.

Из условия прочности балки

Mmax/Wx £ [s]; 1,5qa2/(5pd3/32) £ [s].

. 17

Отсюда .

Пример 13. Тензометр Т, установленный на стальной балке, имеет коэффициент увеличения k = 1000 и базу s = 20 мм. Показание тензометра равно Dn = 5 мм. Определить наибольшее нормальное напряжение в балке.

. 18	Решение Напряжение в балке на уровне тензометра Т равно, с одной стороны, sТ = Е×eТ = Е×Dn/(k×s), (a) C другой стороны, sТ = (MT/Ix) ×yT. (б) Наибольшие нормальные напряжения возни-

кают в крайних волокнах того же сечения, где приложена сила F, т. е.

smax = (Mmax/Ix) ×ymax. (в)

Разделив (в) на (б), получим smax = sТ (Mmax/МТ)(ymax/yТ) = 4sТ или с учетом (а)

smax = 4Е×Dn/(k×s) = 4×200×109×5/(1000×20) = 200 МПа.

Пример 14

Тележка перемещается вдоль балки длиной l = 10 м. На каждое колесо действует нагрузка F = 20 кН. Найти опасное положение тележки, при котором изгибающий момент будет иметь наи-

. 19

большее значение и определить наибольшее напряжение, полагая С = 2 м.

Решение

Очевидно, наибольший изгибающий момент возникает в сечении, расположенном под передним колесом тележки (сеч. D), где

MD = RB(l – z - C) = F(2z + C)(l – z - C)/l, RB = F(2z + C)/l.

Из условия экстремума dMD/dz = 0 находим опасное положение тележки ,

z4 = (2l-3c)/4.

В нашем случае z* = (2×10 - 3×2)/4 = 3,5 м.

Наибольший изгибающий момент

Mmax = MD(z*) = F(2z* + c)(l - z* - c)/l,

Mmax = 20(2×3,5 + 2),5 - 2)/10 = 81 кН×м.

Максимальное напряжение

smax = Mmax/Wx = 81×103/953×10-6 = 85 МПа.

2.2. Касательные напряжения

Элементарная теория касательных напряжений, разработанная , основывается на двух допущениях.

1. Касательные напряжения направлены параллельно поперечной силе Qy.

2. Касательные напряжения распределяются равномерно по ширине сечения.

Сделанных допущений достаточно, чтобы найти закон распределения касательных напряжений по высоте сечения. Проще всего вычислить эти напряжения через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях.

. 20

Выделим из балки бесконечно малый элемент (. 20,г) и рассмотрим его равновесие в проекции на ось z:

. (а)

Вычисляя

и подставляя в (а), получим

или с учетом дифференциальной зависимости

(8)

Рассмотрим конкретные сечения.

Прямоугольник (. 21,а). Имеем: by = b,

, .

Следовательно,

и .

Как видим, касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы.

Для балки круглого сечения (. 21,б) аналогично можно найти

и .

. 21

Пример 15. Определить касательное напряжение в точке К данного сечения, если поперечная сила равна Q = 500 кН.

. 22	Решение По формуле Журавского имеем . Учитывая, что bK = 6 см,

получим .

Пример 16. Построить эпюры вертикальной составляющей касательного напряжения в частях от наибольшего значения tmax = tо для указанных форм поперечного сечения балки.