67. Является ли равенство P(A×B×C)=P(A)P(B)P(C) достаточным условием независимости событий A, B, C в совокупности?
68. При рассмотрении трех случайных событий A, B и C установлено, что при осуществлении события C события A и B независимы. Сохранится ли независимость A и B, когда никаких условий на событие C не налагается?
69. Пусть X – непрерывная случайная величина такая, что вероятность попадания ее значения на интервал 
пропорциональна длине общей части данного интервала и интервала 
Найти функцию распределения случайной величины X и ее функцию плотности вероятностей.
70. Построить графически и выразить аналитически функцию распределения случайной величины, которая c вероятностями, равными 
принимает значения -1 и 1 и с постоянной функцией плотности вероятностей распределена в интервале 
71. Показать, что если случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения 
то случайная величина 
равномерно распределена на отрезке 
.
72. Показать, что если случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [0, 1], то случайная величина 
где 
–– заданная функция распределения, имеет функцию распределения 
73. Найти функцию плотности вероятностей интервала времени Т между событиями в потоке событий, полученном из простейшего (пуассоновского) потока с интенсивностью 
путем удаления из него всех событий, кроме каждого 
-го события, 
74. На складе имеются запасы для удовлетворения N заявок. Заявки поступают поочередно так, что длины интервалов времени между моментами поступления очередных заявок независимы и имеют показательное с параметром 
распределение. Определить функцию распределения времени, на которое хватит запасов склада.
75. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А осуществляется с вероятностью р. Опыты прекращаются, как только событие А появится п раз (п > 1). Найти функцию распределения числа опытов, не приводивших к появлению события А («неудачных» опытов).
76. Пусть W = [0,1), F – минимальная s - алгебра с полуинтервалами вида [1-1/2n-1, 1-1/2n), n = 1, 2, …, …Является ли случайной величиной, заданной в áW, F ñ, функция Y = x, где x – координата точки wÎ W?
77. Показать, что функция распределения случайной величины может иметь не более чем счетное число разрывов первого рода.
78. Частица перемещается по целым точкам прямой по следующей схеме: за один шаг частица перемещается в соседнюю правую точку с вероятностью p и в соседнюю левую точку с вероятностью q=1 – p. Какова вероятность, что за n шагов точка, находившаяся в точке 0, перейдет в точку m?
79. На складе магазина имеется m экземпляров некоторого товара. Каждый посетитель магазина независимо от других покупает один экземпляр товара с вероятностью p. Найти распределение вероятностей номера посетителя, который купит последний экземпляр товара.
80. Допустим, что вероятность столкновения молекулы с другими молекулами в промежутке времени [t, t+Dt) равна p = lΔt + o(Dt) и не зависит от времени, прошедшего после предыдущего столкновения (l = const). Найти распределение времени свободного пробега молекулы и вероятность того, что это время превысит заданную величину t*.
81. Показать, что если в потоке событий интервал между событиями имеет показательное распределение, то поток является пуассоновским.
82. Заявки на банковский кредит образуют пуассоновский процесс с параметром l. Каждая заявка удовлетворяется с вероятностью p независимо от других. Найти распределение числа удовлетворенных банком заявок за время t.
83. Случайная точка A равномерно распределена на полуинтервале [0,1). Найти функции и плотности распределений величины большего и меньшего полуинтервалов, на которые точка A делит полуинтервал [0,1).
84. Два магазина торгуют поштучно однотипным товаром, причем покупатели с равными вероятностями выбирают для очередной покупки тот или иной магазин. В какой то момент в одном из магазинов весь товар оказался распроданным. Найти вероятность, что к этому моменту во втором магазине осталось k экземпляров товара, если начальный размер партий товара в обоих магазинах составлял по n экземпляров.
85. X – случайная величина с известной плотностью распределения fY(y). Найти плотность распределения случайной величины Y = j(X), где j(×) – известная строго монотонная взаимно дифференцируемая функция.
86. Случайная величина X имеет функцию распределения FX(u) и функцию плотности распределения fX(u). Найти функции распределения и плотности распределения (если последние существуют) для случайных величин: а) Y = aX+b; б) Z =eX; в) V = X2 (a и b – неслучайные величины). Конкретизировать решения при XÎ N(0,1).
87. Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y = j(X) (j -1(×) – непрерывная функция). Найти распределение случайной величины Y, если случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0,1].
88. Объект может принадлежать одному из двух классов H1 или H2 с известными априорными вероятностями P(H1) и P(H2) (P(H1) + P(H2) = 1). Для классификации объекта используется признак Y – непрерывная случайная величина с известными условными плотностями распределения f(y|H1) и f(y|H2). Построить алгоритм классификации объекта по критерию максимума апостериорной вероятности. Выразить вероятности ошибочной классификации (отнесения к классу H2 объекта класса H1, ошибки обратного характера, ошибки любого типа). Рассмотреть случай нормальных условных распределений признака:
f(y|Hi) = N(mi,si2), (i = 1, 2)
при вариантах: а)m1 < m2, s12 = s22; б) m1 < m2, s12 < s22; в) m1 = m2, s12 < s22.
89. Пусть Х – случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром l, 
положительная строго монотонная дифференцируемая функция. Найти функцию плотности распределения случайной величины 
.
90. Пусть X и Y – независимые случайные величины, имеющие функции распределения P(x) и G(x) соответственно. Найти функции распределения следующих случайных величин:
а) max{X, Y}; б) min{X, Y}; в) max{2X, Y}; г) min{X3, Y}.
91. X и Y – независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с параметром l. Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
92. Пусть X, Y - независимые случайные величины такие, что X имеет показательное распределение с параметром l, а Y равномерно распределена на отрезке [0, h]. Найти функцию плотности распределения случайной величины U = X + Y.
93. Случайные величины X и Y независимы. Найти вероятность P{ X = Y}, если а) X и Y имеют одинаковое дискретно распределение; б) X и Y имеют непрерывные распределения.
94. Могут ли быть независимыми две случайные величины, функционально связанные с одной и той же случайной величиной?
95. X, Y и Z –случайные величины, причем X не зависит от Y и от Z. Значит ли это, что X не зависит от Y + Z?
96. Является ли транзитивным отношение независимости (отношение зависимости) на множество событий произвольного вероятностного пространства?
97.Пусть Х и Y – случайные величины такие, что случайные величины 
и 
независимы. Независимы ли случайные величины Х и Y?
98.Пусть X, Y и Z – случайные величины такие, что Х не зависит от случайной величины 
Верно ли, что Х не зависит от Y и от Z?
99. Пусть Х и Y – случайные величины такие, что для любых вещественных a и b случайные величины min{ a, X } и min{ b, Y } независимы. Доказать что X и Y независимы.
100. Пусть X и Y – случайные величины такие, что справедливы соотношения Р( X >0 ) = P (Y > 0) = 3/4; P( X+Y > 0 ) = 1/2. Доказать, что X и Y зависимы.
101. Пусть X, Y и Z – случайные величины такие, что X не зависит от Y и от Z. Верно ли, что X не зависит от случайной величины Y+Z?
102. Пусть X, Y и Z – независимые случайные величины с конечными положительными дисперсиями. Могут ли быть независимыми случайные величины U и V :U = X + Z, V = Y + Z?
103. Показать, что из справедливости равенства 
не следует, вообще говоря, независимость случайных величин X и Y. Доказать, что независимость X и Y в этом случае имеет место, если они принимают по два значения.
104. Пусть Х – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1], и 
где 
или 1, есть двоичное разложение 
. Доказать, что при любом натуральном п справедливы равенства 
и случайные величины 
взаимно независимы.
105. Пусть Х и Y независимые случайные величины, имеющие функции плотности распределения 
и 
соответственно. Образуется двумерная случайная величина 
, где 
. Найти функцию плотности распределения случайной величины Z.
106. Пусть Х и Y – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезках 
и 
соответственно. Найти функцию плотности распределения случайной величины 
.
107 Пусть Х и Y – независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона. Доказать, что случайная величина имеет распределение Пуассона. Выявить вид условного распределения случайной величины Х при фиксированном значении случайной величины 
108. Пусть X и Y – независимые одинаково распределенные случайные величины. Найти условную функцию распределения случайной величины Х при фиксированном значении случайной величины в следующих случаях: а) X и Y имеют показательное распределение; б) X и Y равномерно распределены на отрезке [0.1].
109. Время безотказной работы изделия Т – случайная величина с функцией плотности распределения вероятностей 
Изделие проработало до момента времени 
без отказов. Найти распределение оставшегося времени его безотказной работы 
Рассмотреть случаи распределения Т по законам: а) равномерной плотности на отрезке [0, a]; б) показательному с параметром ; в) приближенно нормальному с параметрами 
и 
(m >> s).
110. Найти характеристическую функцию, математическое ожидание и дисперсию числа «неудачных» опытов в задаче № 75.
111. Начальная масса радиоактивного вещества (выраженная числом атомов) составляет m0. Определить математическое ожидание массы вещества в момент t, если вероятность распада ядра каждого атома в интервале времени [t, t+Dt) не зависит от t и равна pDt + o(Dt) (p = const). Найти время полураспада вещества (т. е. момент времени, к которому средняя масса вещества окажется равной половине начальной). Какое распределение имеет время распада каждого атома?
112. Число частиц N, падающих на единицу поверхности тела, имеет распределение Пуассона с интенсивностью . Каждая частица независимо от других сообщает телу энергию 
, равномерно распределенную на отрезке 
Найти математическое ожидание и дисперсию энергии, получаемой единицей поверхности тела за время .
113. В каждую i-ую единицу времени живая клетка получает случайную дозу облучения Хi, причем 
имеют одинаковую функцию распределения 
и независимы в совокупности для 
Получив интегральную дозу облучения, равную v, клетка погибает. Оценить среднее время жизни клетки МТ.
114. Пусть X и Y – случайные величины такие, что существуют 
и 
Доказать, что существуют МХ и МY, причем справедливо равенство
115. Пусть 
– случайные величины, имеющие конечные математические ожидания. Доказать справедливость неравенствo
и
116. Пусть 
– последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием m, m > 0, и дисперсией 
Случайная величина Y не зависит от данных случайных величин {Xi} и принимает натуральные значения, причем 
, 
. Определим случайную величину 
. Найти MZ и DZ.
117. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
определенной на вероятностном пространстве 
, представляющем собой отрезок [0,1] с 
алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, если:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
118. Брошены две игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.
119. Пусть X – случайная величина такая, что 
. Доказать справедливость неравенства 
120. Пусть Х и Y – независимые случайные величины такие, что 
Найти математическое ожидание следующих случайных величин:
а)
б) 
121. Доказать, что для любых случайных величин Х и Y, имеющих конечные дисперсии, справедливы неравенства
122. Пусть X и Y - одинаково распределенные случайные величины. Справедливо ли равенство
123. Случайная величина X принимает значения 
с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Найти зависимость между МХ и DX. Найти вероятности
при условии 
где а есть заданное число.
124. Урна содержит N шаров с номерами от 1 до N. Пусть K – наибольший номер, полученный при n их поштучных извлечениях с возвращением. Найти а) распределение K, б) асимптотику математического ожидания MK при N.
125. Найти математическое ожидание MZ, где Z – k-ая по величине из координат n точек, взятых наудачу на отрезке [0;1] (k £ n).
126. Пусть случайные величины X и Y – координаты двух точек, взятых наудачу на отрезке [0,1]. Построить график плотности распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X - Y.
127. Пусть X и Y – длины, соответственно, наименьшего и наибольшего из отрезков, на которые разбивается отрезок [0,1] взятой наудачу точкой. Найти отношение математических ожиданий MY/ MX и математическое ожидание отношения M(Y/X). Рассмотреть задачу, поменяв местами случайные величины X и Y.
128. Написаны п писем, предназначенные разным адресатам. Имеется п конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Пусть Хn есть число писем, посланных тем адресатам, которым они предназначены. Найти MXn.
129. Пусть X - ограниченная с вероятностью единица случайная величина: P{|X| < c}=1. Доказать справедливость неравенства DX 
cM | X |.
130.. Пусть X и Y независимые случайные величины с конечными дисперсиями. Доказать справедливость неравенства
.
131. Доказать справедливость неравенства
где r > 1, 1/r + 1/s = 1, X и Y – случайные величины.
132. Пусть X – случайная величина с конечным математическим ожиданием, принимающая только положительные значения. Доказать справедливость неравенства
133. Пусть X и Y – независимые случайные величины, принимающие только положительные значения. Доказать справедливость при любом 
неравенства
134. Пусть ak – начальный момент k-го порядка случайной величины X. Показать, что из существования ak следует существование as для "s < k.
135. Случайные величины Y1,Y2,… – независимы и одинаково равномерно распределены на [0;1]. Пусть Sn=Y1+…+Yn, N=min{n: Sn > 1}, Найти: а) функцию распределения суммы Sn при условии Sn £ 1; б) математическое ожидание MN ; в) функцию распределения cуммы SN.
136. Двумерный случайный вектор 
равномерно распределен на круге единичного радиуса с плотностью
Найти частные и условные распределения компонент 
. Являются ли они а) зависимыми, б) коррелированными?
137. Некоррелированные случайные величины X1 и X2 имеют распределения Бернулли с параметрами (соответственно) p1 и p2. Являются ли эти величины независимыми? Можно ли полученный результат распространить на пару некоррелированных бинарных случайных величин Y1 и Y2, имеющих распределения
(i = 1, 2).
138. Пусть X – центрированная нормально распределенная случайная величина. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y = Xn (n – целое).
139. Случайный вектор 
имеет функцию плотности распределения f(x, y) . Записать вероятности следующих событий:
а) 
140. Найти коэффициент корреляции между числом выпадений: "единиц" и числом выпадений "шестерок" при n независимых бросаниях "правильной" игральной кости.
141. Пусть совместное распределение случайных величин X и Y нормально, причем МХ = МY = 0, а коэффициент корреляции X и Y равен величине r. Найти, коэффициент корреляции случайных величин X 2 и Y2.
142. Пусть X1, X2 ,…, Xn – случайные величины такие, что коэффициент корреляции любых двух из них равен величине r. Доказать справедливость неравенства
r 
– (n –
143. Пусть X и Y независимые случайные величины такие, что 
, 
, 
. Будут ли независимы случайные величин Y и 
? Будут ли они некоррелированными?
144. Пусть Х – случайная величина такая, что P{Х >0} = a, P{X<0} = b, MX = a, M | X | = b, где a, b, a, b есть заданные числа. Найти величину 
145. Пусть X и Y случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции r. Доказать справедливость неравенства
146 В урне находится a белых, b черных и c серых шаров. Пусть X и Y – количества белых и черных шаров, полученных при n-кратном выборе с возвращением. Найти коэффициент корреляции между X и Y.
147. Случайный вектор 
имеет плотность распределения
Найти распределение вектора 
, если
148. Пусть (X,Y) – вектор с независимыми компонентами, обладающими стандартным нормальным распределением N (0,1) и (r, j) – его полярные координаты. Найти распределение (r, j). Зависимы ли r и j?
149. n мерный вектор X имеет известное нормальное распределение: 
.Найти:
а) распределение вектора Y = AX (A –матрица размерности k´n, k £ n; рассмотреть случаи рангA = k и рангA < k);
б) частное распределение подвектора 
вектора X ;
в) преобразование вектора X, приводящее к нормальному вектору Z с некоррелированными координатами (операция «декорреляции» компонент вектора);
г) условное распределение подвектора относительно подвектора 
(
).
150. Пусть X1 и X2 – независимые случайные величины с стандартным нормальным распределением N(0,1). Верно ли, что случайные величины Y1 = 2X1-X2 и Y2 = 2X1+4X2 независимы?
151. Концы двухмерных случайных векторов X и Y с началом в (0,0) равномерно независимо распределены на окружности с радиусом 1 и с центром в (0,0). Найти плотность распределения случайной величины Z = |X +Y|.
152. Компоненты случайного вектора 
попарно некоррелированы. Следует ли из этого их попарная независимость и независимость в совокупности, если а) X имеет нормальное распределение; б) компоненты 
имеют распределение Бернулли с параметром 
.
153. Компоненты случайного вектора имеют нормальное распределение. Следует ли из этого, что вектор имеет нормальное распределение?
154. Случайный вектор Z = (X, Y)¢ равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
155. Случайный вектор Z = (X, Y)¢ имеет распределение, сосредоточенное в некоторой прямой. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
156. Коэффициент корреляции случайных величин X и Y равен единице. Может ли случайный вектор Z = ( X, Y)¢ иметь функцию плотности распределения?
157. Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Найти функцию распределения F2(u, v) случайного вектора Z:
а) Z = (X, X)¢; б) Z = ( X, | X |)¢.
158. Пусть случайная величина X имеет функцию плотности распределения. Будет ли иметь функцию плотности распределения случайный вектор Z = (X, X2, …, Xn )¢?
159. Найти распределение суммы независимых случайных величин 
, обладающих распределениями
а) Xi Î Po(li), 
; б) Xi ÎN(mi,si2), .
160. Пусть случайные величины Х, Y, и Z независимы, характеристические функции 
и 
известны, 
. Найти характеристическую функцию 
, где 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Проекты по теме:
Основные порталы (построено редакторами)