Учебно-методическое пособие: Основы векторного и тензорного анализа (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. А. НОВАКОВИЧ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Часть I I

для студентов бакалавриата

Ростов-на-Дону

2007

Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики ЮФУ .

Ответственный редактор доктор физико-математических наук,

профессор .

Компьютерный набор и верстка .

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и

вычислительной физики физического факультета ЮФУ,

протокол от 01.01.01 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Криволинейные системы координат .…………………………………стр. 4

2. Векторы и тензоры. Их преобразования при поворотах

системы координат ………………………………………...…………..стр. 9

3. Действия над тензорами ………………………………………………стр. 18

4. Свойства тензоров второго ранга ……….…………………………….стр. 25

5. Символ Леви-Чивита ………………………….………………………стр. 33

6. Преобразование тензорных величин при инверсии ………..………..стр. 37

7. Элементы тензорного анализа …………….………………………….стр. 42

Литература………………………………………………………………стр. 47

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Нередко удобно определять положение точки в пространстве не декартовыми координатами, а тремя другими величинами , , , более соответствующими характеру решаемой задачи. Эти величины называют криволинейными координатами. Если наложить должные ограничения на область изменения криволинейных координат, то можно добиться взаимно однозначного соответствия между переменными и : или , . Поверхности, описываемые уравнением , называются координатными. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. Понятно, что вдоль координатной линии изменяется только одна из трех криволинейных координат. Если координатные линии в каждой точке пространства взаимно перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными. Примерами ортогональных криволинейных координат являются сферическая система координат и цилиндрическая система координат .

Введем в каждой точке пространства орты , направленные по касательным к координатным линиям в сторону возрастания соответствующих переменных . В ортогональных координатах эти орты взаимно перпендикулярны:

Определим частную производную радиус-вектора по координате . Приращение вектора при малом изменении переменной направлено вдоль орта : ,

так что

Положительные величины называются коэффициентами Ламе.

Учтя, что , получим: . Отсюда .

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками выражается через квадраты коэффициентов Ламе по формуле:

Если провести через две бесконечно близкие точки координатные поверхности, то они ограничат бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с длинами ребер . Грани этого параллелепипеда имеют площади: , , ,

а объем выражается формулой: .

В ортогональной криволинейной системе координат выражение для градиента скалярного поля имеет следующий вид:

(1.1)

Дивергенция векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат определяется по формуле:

(1.2)

Ротор векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат можно записать через определитель:

(1.3)

Результат действия оператора Лапласа на скалярное поле определяется, как =div grad. Из приведенных выше формул для градиента и дивергенции непосредственно следует его выражение в криволинейной ортогональной системе координат.

. (1.4)

Задачи.

1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения координатных поверхностей и координатных линий.

1.2 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в сферической системе координат. (Для сферической системы координат , , ).

Решение задачи 1.2 Искомая величина равна сумме квадратов полных дифференциалов декартовых координат . Для их вычисления используем формулу .

В результате получим

. Раскроем скобки и упростим выражение. Итого:

1.3 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в цилиндрической системе координат. (Для цилиндрической системы координат , , ).

Решение задачи 1.3 Вычислим сумму квадратов полных дифференциалов декартовых координат:

1.4 Найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем координат.

Решение задачи 1.4 Искомые значения коэффициентов Ламе легко найти, используя их определение и ответы к задачам 1.2 и 1.3.

Для сферической системы координат:

.

Для цилиндрической системы координат:

.

1.5 Записать формулы для длин ребер, площадей граней и объема бесконечно малого параллелепипеда, ограниченного координатными плоскостями, в сферической и цилиндрической системах координат.

1.6 Получить формулы для градиента скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.6 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.1) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.7 Получить формулы для дивергенции векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.7 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.2) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.8 Получить формулы для ротора векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

1.9 Получить формулы для лапласиана скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.9 Подставим в выражение (1.4) соответствующие коэффициенты Ламе. В итоге получим для сферической системы координат:

Соответственно для цилиндрической системы координат:

1.10 Найти , в сферической системе координат для функций:

а) , б) , в)

1.11 Найти , , , в цилиндрической системе координат для функций:

а) , б) .

2. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ. ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ПРИ ПОВОРОТАХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Пусть и две декартовы системы координат, повернутые друг относительно друга, с базисными векторами (ортами) , , образующими правые ортонормированные тройки. Поскольку системы координат и декартовы, то и .

Здесь - символ Кронекера.

Произвольный вектор можно разложить подобно радиус-вектору по ортам обеих систем координат:

(Данные выражения записаны с использованием правила Эйнштейна, которое подразумевает суммирование по парам повторяющихся индексов, в то время как знак суммы опускается. Это правило будет использовано в дальнейшем).

Величины и называются компонентами вектора и являются ортогональными проекциями данного вектора на орты и :

, и .

Установим связь между проекциями вектора на различные базисные орты:

(2.1)

где - матричные элементы матрицы поворота . Если объединить компоненты в одностолбцовую матрицу , а компоненты в одностолбцовую матрицу , то закон преобразования компонент вектора можно записать в матричных обозначениях:

Задание. Убедиться в справедливости последнего равенства, раскрыв в явном виде произведение матриц.

Докажем, что матрица ортогональна, т. е. :

При выводе мы воспользовались свойствами скалярного произведения и тем, что , поскольку левая часть равенства представляет собой разложение базисного орта по базисным ортам .

Задание. Докажите, что

С учетом закона преобразования компонент вектора при повороте системы координат можно дать следующее определение вектора:

Вектором называется трехкомпонентная величина, компоненты которой преобразуются при повороте системы координат так же, как компоненты радиус-вектора по правилу (2.1) с помощью матрицы поворота .

Такое определение вектора допускает обобщение на случай величин с числом компонент, большим трех. Так возможны девятикомпонентные

величины, компоненты которых нумеруются двумя векторными индексами , каждый из которых пробегает независимо значения 1,2,3. Возможны 27-и

компонентные величины, компоненты которых нумеруются тремя векторными индексами. Наконец, возможны - компонентные величины, компоненты которых нумеруются N векторными индексами (векторные индексы независимо пробегают множество значений 1,2,3). Если компоненты этих многокомпонентных величин преобразуются по законам:

то эти многокомпонентные величины называются тензорами соответственно второго, третьего и N-ранга. Ранг тензора определяется числом векторных индексов, нумерующих его компоненты. Максимальное число независимых компонент тензора ранга N равно в случае трехмерного пространства.

Вопрос. Чему равно число независимых компонент тензора ранга N в случае двумерного пространства?

Компоненты тензора второго ранга естественно объединяются в квадратную матрицу со следующим законом преобразования матричных элементов:

или ,

где и квадратные матрицы с матричными элементами и .

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр - нулевого. Ранг тензора также называют тензорной размерностью, или валентностью.

Задачи.

2.1 Найти матрицу преобразования системы декартовых координат на плоскости при повороте на угол .

Решение задачи 2.1 Матричные элементы искомой матрицы вычисляются как скалярные произведения , здесь индексы i, j принимают только два значения: 1 или 2. Так как все орты по определению имеют единичные модули, каждое скалярное произведение равно косинусу угла между соответствующими ортами. Нарисуйте на листе бумаги пояснительный чертеж и убедитесь, что углы между парами базисных орт и одинаковы и равны углу поворота . Поэтому . Угол между ортами равен , и соответственно . Угол между ортами равен , поэтому .

2.1.1. Убедиться, что определитель матрицы равен 1.

2.1.2 Убедиться, что матрица ортогональна, т. е. , где -транспонированная матрица, а -единичная матрица.

2.1.3 Убедиться, что - матрица поворота на угол совпадает с произведением матриц и , которые являются матрицами поворота на углы и соответственно.

2.1.4. Убедиться, что матрица поворота на угол совпадает с матрицей , где - матрица поворота на угол .

2.2 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве относительно заданной координатной оси на угол .

2.2.1 Вокруг оси Oz

Решение задачи 2.2.1 Очевидно, что базисные орты , повернутой вокруг оси Oz системы координат, лежат в Oxy плоскости исходной координатной системы. Выше (см. задачу 2.1) мы уже вычислили скалярные произведения для i, j=1 и 2. Фактически мы нашли соответствующие им матричные элементы искомой матрицы повороты в трехмерном пространстве: , . Для нахождения остальных матричных элементов заметим, что базисные орты ортогональны орту , поэтому . После выполнения поворота вокруг оси Oz направление аналогичной оси новой системы координат не изменится, т. е. орт . Оставшиеся матричные элементы вычисляются тривиально: (j=1,2,3). Выпишем явный вид матрицы поворота вокруг оси Oz:

2.2.2 Вокруг оси Ox

Решение задачи 2.2.2 во многом аналогично решению предыдущей задачи.

Приведем в качестве ответа явный вид искомой матрицы поворота:

2.2.3 Вокруг оси Oy

2.3 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве на углы Эйлера. Углы Эйлера определены следующим образом: вначале проводится поворот на угол вокруг оси , затем производится поворот на угол вокруг новой оси , а после этого производится поворот на угол вокруг новой оси .

2.3.1 Доказать, что матрица может быть записана в виде произведения трех матриц , где матрица соответствует повороту на угол вокруг оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси .

Решение задачи 2.3.1 Рассмотрим вектор с компонентами , заданными в исходной системе координат . Объединим его компоненты в матрицу, состоящую из одного столбца (в так называемый вектор-столбец). Компоненты этого вектора в новой системе координат , повернутой вокруг оси на угол , вычислим как матричное произведение . Давайте рассматривать повернутую систему координат как новую исходную, и совершим далее поворот вокруг ее оси на угол . Компоненты вектора в новой, повернутой системе координат вычислим как матричное произведение .

Матрица поворота составлена из косинусов углов между ортами новой исходной, и новой повернутой координатных систем. Для ее вычисления мы фактически должны повторить решение задачи 2.2.2 и получить в результате ту же матрицу с заменой угла на . Давайте примем систему координат

за новую исходную, и выполним последний поворот вокруг оси на угол . Компоненты вектора в системе координат теперь вычисляются как .

Матрица составлена их косинусов углов между соответствующими ортами. Она совпадает с матрицей поворота вокруг оси Oz, найденной в ходе решения задачи 2.2.1, с заменой угла на . Итого: . Приведем для справки явный вид матрицы поворота на углы Эйлера , , .

2.3.2 Доказать, что .

2.3.3 Выразить матрицу обратного преобразования через произведение матриц поворотов вокруг осей Ox и Oz.

2.4 Найти матрицу для следующих углов Эйлера:

2.4.1

2.4.2

2.4.3

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.5 В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора в системе координат повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

2.5.1

2.5.2

2.5.3

2.5.4

2.5.5

2.5.6

2.6 В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора второго ранга в системе координат, повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты тензора и угол следующие:

2.6.1

2.6.2

2.6.3

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3