Аксиомы геометрии (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3
 просмотров

Аксиомы геометрии

1. Основные понятия геометрии

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. В соответствии с современными представлениями основные понятия не определяются, их смысл исчерпывается набором утверждений о свойствах и взаимосвязях между понятиями, определяемых в аксиомах. Однако, чтобы утверждения науки могли быть использованы для предсказания поведения и свойств реальных объектов окружающего мира основные понятия должны быть каким–либо способом связаны с этими объектами. Такие связи могут быть представлены в виде неформальных описаний основных понятий теории через объекты окружающего мира или формирования аналогий между понятиями и объектами. Описание не является определением понятия, более того, по мере построения теории может оказаться, что доказанные в рамках теории утверждения о свойствах и взаимосвязях будут противоречить ранее используемым описаниям понятий. С такой ситуацией неоднократно сталкивалась геометрия.

В тринадцатитомном труде «Начала» Евклид наряду с формулировкой аксиом сделал попытку сформулировать основные понятия: например точка в представлении Евклида это объект, не имеющий длины и ширины, линия - объект, имеющий длину, но без ширины и т. д. По всей видимости, Б Евклид отчетливо понимал разницу между описаниями понятий и формулировками утверждений, связывающих понятия, т. е. аксиом, поскольку при выводе теорем геометрии он опирался на аксиомы и тщательно избегал использования описаний понятий, приведенных им. В современном представлении любое описание основного понятия не рассматривается как определение понятия, а только как его пояснение.

В геометрии существует подход к описанию понятий известный как «кинематический метод». Взяв за основу описание точки, сделанное Евклидом, линию можно описать как след или траекторию движущейся в пространстве точки, поверхность как совокупность последовательных положений движущейся линии. Существуют линия и поверхность, получаемые наиболее простыми перемещениями – это прямая и плоскость. Хотя приведенные описания весьма наглядны, в современной геометрии рассматриваются линии и поверхности, лежащие за рамками этих описаний.

Другие понятия, которые необходимы для построения геометрии, определяются на основе основных или исходных на основе логических утверждений, устанавливающих связи между исходными и определяемыми понятиями. К исходным понятиям в современной геометрии относят понятия точка, прямая, плоскость, отношение связи между точкой и прямой, отношение связи между точкой и плоскостью, отношение «находиться между» для точек, отношение равенства для отрезков и углов. Понятие «Луч», «Отрезок», «Угол», «Параллельность», «Перпендикулярность» определяются из исходных понятий на основании утверждений, являющимися аксиомами.

2. Классификация аксиом геометрии

Первая попытка классификации аксиом была сделана еще Евклидом он называл утверждения о геометрических объектах (например: « от каждой точки до каждой другой точки можно провести прямую линию») постулатами, а общие утверждения о свойствах (например: « равные одному и тому же равны между собой») аксиомами. Система аксиом, разработанная Евклидом, на протяжении многих веков развивалась и совершенствовалась, большой вклад в развитие системы внесли Архимед, Гаусс, Лобачевский, Кантор, Гильберт. Современные формулировки системы аксиом геометрии взаимосвязаны с понятиями других разделов математики (прежде всего математическая логика и теория множеств) и разработаны в начале 20 века немецким математиком Давидом Гильбертом. В отличие от Евклида Гильберт разделяет аксиомы на 5 групп:

1 группа - Аксиомы связи или принадлежности

2 группа - Аксиомы порядка

3 группа - Аксиомы конгруэнтности

4 группа - Аксиомы непрерывности

5 группа (одна аксиома) - Аксиома о параллельности.

Основанием разделения аксиом на группы также как у Евклида являются понятия и объекты, относительно которых формулируются утверждения аксиом. Так, к аксиомам первой группы относятся аксиомы, устанавливающие отношения связи или принадлежности между понятиями точка, прямая, плоскость. Аксиомы второй группы устанавливают отношение «лежит между» между точкам на прямой и плоскости. В третьей группе аксиом конгруэнтности собраны аксиомы, устанавливающие отношение равенства между понятиями, определяемыми на основании исходных понятий: равенство отрезков, равенство углов. Особенно сложный характер имеют аксиомы четвертой группы –аксиомы непрерывности, поскольку в них в разных формах присутствуют фундаментальные математические понятия множества и натурального числа. В отдельную пятую группу внесена аксиома параллельности, которая по всем признакам должна принадлежать первой группе, однако особый характер этой аксиомы был выявлен Лобачевским, который построил непротиворечивую систему (геометрию Лобачевского) с другой формулировкой этой аксиомы.

Получить полный текст

3. Аксиомы связи или принадлежности

Аксиоматический метод в геометрии

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти  предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы  исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий  геометрической системы, и мы можем представить основные  понятия в виде объектов любой природы, которые обладают  свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным  доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление  первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н. э., в  Александрии  появилась  книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл  термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что  сочинения  предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книгкниги посвящены планиметрии, книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются  с  изложения 23 определений  и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие  понятия", остальные  называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил : "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние  односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при  неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века , Я. Бойяи и построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Получить полный текст

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. рисунок 1). Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее : "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии : от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия залет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Аксиоматический подход к геометрии

Идея построения научной теории была сформулирована к началу III века до н. э. в работах Аристотеля. Ну а к геометрии эта идея была применена впервые Евклидом в его работе "Начала". На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просущестовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматичекий метод, и на рубеже XIX-XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:

    Перечисляются основные (неопределяемые) понятия. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая - это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, - отношение между ними. Все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Формулируются аксиомы - предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений.


Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру. Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге "Основания геометрии" в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением - принадлежности, порядка, равенства. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними - это просто какие-то мыслимые "вещи", про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика ), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же , векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор "удобной" системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т. е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная в школьных учебниках система аксиом не является полной (то есть приведенных аксиом недостаточно для построения теории). Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без "дыр". Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется "аксиомой непрерывности". Но эта аксиома не приводится в курсе, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно. Таким примером является утверждение: простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две части - ограниченный многоугольник и неограниченную фигуру, дополняющую до всей плоскости.

Сообщение изменено ААЗ от 10:11:04

Проективная геометрия. Наступление 17 в. ознаменовалось настоящим взрывом научной активности. В развитии математики началась новая эра; наряду с Декартом Ж. Дезарг (1593–1662) и Б. Паскаль (1623–1662) попытались по-новому и критически взглянуть на старую евклидову геометрию, чтобы понять, все ли ее результаты представимы в терминах одних лишь точек и прямых.

Получить полный текст

К возникшей в результате такого критического пересмотра проективной геометрии можно подойти, вводя новую систему аксиом, но гораздо поучительнее рассмотреть наши предыдущие исходные допущения и попытаться понять, как их надлежит изменить. Если следовать зрительным восприятиям, то первое, что сразу подпадает под подозрение, – это постулат о параллельных прямых. Нам кажется, что такие прямые все-таки пересекаются в бесконечности. Предположим, что это действительно так, и дополним евклидову плоскость одной «идеальной точкой» или «бесконечно удаленной точкой», общей для любого множества параллельных прямых. Тогда утверждение о том, что прямые l и m параллельны, перейдет в утверждение о том, что прямые l и m пересекаются в бесконечности. Необходимо доказать, что все такие идеальные точки ведут себя так, как если бы они принадлежали «идеальной прямой», которая обладает всеми свойствами, которыми по предположению обладают обычные прямые. Доказательство этого утверждения основывается на знаменитой теореме Дезарга: если соответствующие вершины двух треугольников можно соединить тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и обратно.

Обосновав присоединение идеальных элементов к евклидовой плоскости, мы можем теперь сказать, что любые две прямые имеют точку пересечения, и в этом заключается основное отличие проективной геометрии. Аналогичным образом мы можем присоединить к трехмерному евклидову пространству «бесконечно удаленную плоскость» и построить проективное пространство любой размерности. Заметим, что теперь мы можем полностью отказаться от понятия «расстояние».

Нужно подчеркнуть, что проективная геометрия не есть что-то абстрактное, практически не связанное с внешним миром. Рассмотрим произвольную точку Р и любую плоскость p, не проходящую через точку Р, в обычной евклидовой геометрии. Любая плоскость p1, проходящая через Р, пересекается с плоскостью p по некоторой прямой l1; в частности, плоскость p¥ , проходящая через точку Р и параллельная плоскости p, пересекается с p по прямой l¥ , бесконечно удаленной прямой, лежащей в плоскости p. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между плоскостями, проходящими через точку Р, и прямыми, лежащими в плоскости p. Если воспользоваться интерпретацией

точка = прямая, проходящая через Р,

прямая = плоскость, проходящая через Р,

то можно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, а потому «пучок» прямых и плоскостей, проходящих через точку Р, образует проективную геометрию плоскости.

Вклад Паскаля в геометрию заключается в том, что он показал проективную природу известных со времен Аполлония свойств конических сечений, которые позднее были переведены Декартом на алгебраический язык. Эта работа была завершена Ф. де Лаиром (1640–1718), и, хотя дальнейшее развитие проективной геометрии прервалось и затем продолжилось лишь в 19 в., начало критическому анализу понятия длины было положено. См. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Непрерывность. Понятие касательной к кривой восходит по крайней мере к Архимеду, но только после того, как Ферма и Ньютон осознали его значение для дифференциального исчисления, это понятие обрело удобную для приложений явную форму. Однако прошло немало лет, прежде чем О. Коши (1789–1857) придал строгость огромному числу теорем, разложениям в степенные ряды, решениям дифференциальных уравнений и т. п., что позволило математическому анализу занять в математике место, сравнимое с геометрией. Понятие числа точек на прямой ничему не соответствует в нашем опыте визуального восприятия пространства, и именно это привело Зенона Элейского к упомянутым выше комментариям. Есть два способа интерпретации понятия непрерывности в терминах интуитивных представлений об окружающем нас мире: 1) через скрупулезный анализ отношений между точками и прямыми и 2) в терминах движения, т. е. средствами математического анализа (см. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ).

Конечная геометрия. Хотя целые числа возникают не обязательно в связи с точками прямой, тем не менее естественно рассматривать их как числа, представляющие кратные некоторого единичного отрезка. Это позволяет придать рациональным числам геометрическую интерпретацию, известную еще древним грекам. Однако такой подход к числу недостаточно тонок и сталкивается с трудностями, на которые и указал Зенон; наша концепция пространства включает в себя понятие числа, но для определения чисел понятие пространства не подходит.

Возвращаясь к аксиомам проективной геометрии (см. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ), заметим, что они не содержат понятия длины и не имеют следствием бесконечность числа точек на прямой. То, что число точек на прямой может быть конечным, подтверждается следующим примером. Предположим, что под точками мы понимаем 15 символов (ab), (ac), (ad), (ae), (af), (bc), (bd), (be), (bf), (cd), (ce), (cf), (de), (df), (ef), где (ij) = (ji). Существуют 35 прямых, каждая из которых содержит три и только три из этих точек. Такие прямые можно разбить на два типа:

Получить полный текст

1) прямая типа I содержит три точки вида (аb), (bc), (ca); таких прямых 20;

2) прямая типа II содержит три точки вида (ab), (cd), (ef); таких прямых 15.

Любая тройка точек, не принадлежащих ни к одному из этих двух типов, определяет некоторую плоскость; существуют 15 плоскостей, каждая из которых содержит семь точек и семь прямых. На прилагаемом рис. 5 показаны расположения точек и прямых на одной из этих плоскостей. (Заметим, что окружность представляет в конечной геометрии прямую.) Нетрудно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, из чего мы заключаем, что они непротиворечивы, но такая геометрия не очень соответствует нашему представлению о пространстве. Чтобы перебросить мост между привычным понятием пространства и построенной нами геометрией, необходимо исследовать возможную связь между точками на прямой и числами арифметики.

(7.77 Кб)

Первым, кто предложил средства, позволяющие геометрически определять операции сложения и умножения, был немецкий математик К. Штаудт (1798–1867), но именно Д. Гильберт (1862–1943) продемонстрировал, что законы арифметики в их геометрической интерпретации зависят от двух теорем – Дезарга и Паппа. В случае конечной геометрии из теоремы Дезарга следует теорема Паппа, а потому если она верна, то верна и теорема Паппа. В этом случае и сложение, и умножение ассоциативны, коммутативны и дистрибутивны, и координаты, которые можно поставить в соответствие точкам на прямой, могут образовать конечное «поле». Если число точек на прямой бесконечно (например, если точки на прямой, за исключением бесконечно удаленной точки, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с рациональными числами), то «сложение» точек на прямой ассоциативно и коммутативно при условии, что выполняется теорема Дезарга. Если размерность n > 2, то это заведомо так. Однако из семи аксиом проективной геометрии теорема Паппа не следует; это означает, что умножение, будучи ассоциативным, необязательно коммутативно. При n = 2 теорема Дезарга может не выполняться, и «алгебра» точек на прямой еще более усложняется. Возможные недезарговы плоскости исследуются с 1902, но многое еще остается неизвестным.

Если потребовать, чтобы для каждого действительного числа нашлась соответствующая ему точка на прямой, то мы получим т. н. «непрерывную» геометрию. Это требование выполняется введением дополнительного предположения, которое в свою очередь можно использовать для доказательства теоремы Паппа. Такая аксиома непрерывности описывает тот аспект нашего понятия пространства, который был Лейбницем охарактеризован как «лабиринт континуума». Тем не менее роль алгебры в геометрии стала очевидна, и в дальнейшем обе эти ветви математики стали нерасторжимы.

Гильберт Давид

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ <**>

(пер. с англ. ) <**>

Источник сканирования: Методологический анализ оснований математики (отв. ред. ). — М.: Наука, 1988. — стр. 97—104; первоисточник: Axiomatic Thinking //Philosophia Mathematica. Chicago, 1970. — Vol.7, P. 1—12)

Любое государство развивается успешно, — впрочем, это относится и к жизни любого отдельного человека, — если дела идут хорошо и у его соседей; жизнь наук в этом отношении аналогична жизни государств, и их преуспеяние зависит от порядка как в них самих, так и в их отношениях с другими науками. Ясно понимая это, наиболее известные представители математики всегда высказывали большой интерес к поддержанию закона и порядка в соседних науках и для пользы самой математики развивали отношения с этими соседними науками, в частности с физикой и философией. Сущность этих отношений и основа их плодотворности могут быть показаны более отчетливо, если коротко обрисовать тот общий метод исследования, который занимает все более и более важное место в современной математике, — я имею в виду аксиоматический метод.

Если соединять факты некоторой специфической области более или менее исчерпывающим образом, то мы быстро убедимся, что эти факты могут быть выстроены в определенном порядке. Этот порядок устанавливается неизменно с помощью некоторой понятийной структуры такой, в которой существует связь между индивидуальными объектами данной области знания и понятиями структуры и между теми же фактами в данной области знания и логическими отношениями среди понятий. Понятийная структура есть нечто иное, как теория данной области знания.

Именно таким образом геометрические факты организуются в геометрию, арифметические факты — теорию чисел, статические, механические, электродинамические факты — в теорию статики, механики, электродинамики, а факты из области физики газов — в теорию газа. То же самое верно для областей знания термодинамики, геометрической оптики, элементарной теории излучения, передачи тепла или даже для теории вероятности и для теории множеств. Также хорошо это подтверждается в таких специфических областях чистой математики, как теория поверхностей, теория уравнений Галуа, теория простых чисел и даже в некоторых областях знания, лишь отдаленно связанных с математикой, таких, как определенные разделы психофизики или экономики.

Получить полный текст

Если мы рассмотрим имевшиеся теории более тщательно, то во всех случаях увидим, что в основании их понятийной структуры лежат именно те несколько предположений о данной области знания, которые достаточны для построения из них полной структуры знания в этой области в соответствии с логическими принципами.

Утверждение линейности уравнения плоскости, таким образом, является достаточным в геометрии, а то, что ортогональное преобразование координат точек достаточно для получения полноты обширного знания в геометрии евклидова пространства, показывается исключительно посредством анализа. Аналогично законы и правила вычисления для целых чисел достаточны для задания теории чисел. Такая же роль придается закону параллелограмма сил в статике, нечто подобное можно сказать и о дифференциальных уравнениях движения Лагранжа в механике; в свою очередь, уравнения Максвелла в электродинамике учитывают условия поведения электронов. Термодинамика полностью построена посредством задания понятия функции энергии и определения температуры и давления как проистекающих из их измерения, энтропии и объема. В центре элементарной теории излучения находится закон Кирхгоффа об отношении между излучением и поглощением; сходную роль играет закон Гаусса при вычислении вероятности, теорема энтропии как отрицательный логарифм вероятности событий в теории газа, представление элемента дуги квадратичной дифференциальной формой, теорема существования корней в теории уравнений, теорема распределения и частоты нулей дзета-функции Римана, являющаяся фундаментальной теоремой в теории простых чисел.

Рассматриваемые с обозначенных позиций, такие теоремы могут быть рассмотрены как аксиомы отдельных областей знания. Это означает, что успешное развитие отдельных областей знания основывается на значительном возрастании полноты понятийной структуры. Эти исходные позиции выделения теорем и методов как аксиом доминируют в чистой математике, и именно благодаря им столь мощно развились геометрия, арифметика, теория функций и анализ в целом.

В упомянутых случаях проблема построения отдельных областей знания получила свое решение, однако это решение было, так сказать, пробным (приблизительным). Но по мере дальнейшего развития любой науки становится все более необходимым целенаправленное выделение ее основополагающих предположений в чистом виде, осознания их в качестве аксиом и «помещение» их в «фундамент» данной области знания. Так произошло с «доказательствами» линейности уравнения плоскости и ортогональности преобразования, выражающего движение, с законами арифметических вычислений, с параллелограммом сил, с уравнениями движения Лагранжа и с законами Кирхгоффа излучения и поглощения, с принципом энтропии и с теоремой о существовании корней уравнения.

Но критическое рассмотрение этих «доказательств» заставляет прийти к выводу, что это еще не доказательства в собственном смысле слова, а скорее этапы продвижения к более глубинным предположениям (утверждениям), которые, в свою очередь, могут быть рассмотрены как аксиомы более основополагающие, чем те предположения (утверждения), которые имелись первоначально. Таковы, в частности, современные аксиомы геометрии, арифметики, статики, механики, теории излучения и термодинамики. Эти аксиомы есть «более глубоко лежащий пласт» чем предшествующие, непредумышленно найденные (первые) основания отдельных областей знания. Механизм аксиоматического метода приводит к более глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения.

Если теоретическая основа конкретной науки — это представляющая ее понятийная структура, то для упорядочивания и развития исходной области знания ей необходимо соответствовать двум основным требованиям: она должна, во-первых, предлагать общий взгляд на зависимость или независимость утверждений теории и, во-вторых, гарантировать непротиворечивость всех утверждений теории. Эти пункты обязательны для аксиом каждой теории. Рассмотрим вначале первый из них.

Аксиома параллельности в геометрии является классическим примером исследования независимости аксиом. Евклид отрицательно ответил на вопрос о том, является ли утверждение о параллельности зависимым от других аксиом, поскольку он поместил его среди аксиом. Евклидов метод исследования стал типичным для представителей аксиоматического исследования, и со времен Евклида геометрия стала модельным примером аксиоматической науки в целом.

Классическая механика предоставляет другой пример исследования независимости аксиом. Лагранжево уравнение движения, как оно всегда рассматривается, способно действовать как аксиома механики — до тех пор, пока это бесспорно не делает механику более полной при общей формулировке произвольных сил и произвольных вторичных состояний. Более тщательное рассмотрение показывает, однако, что произвольные силы, как, впрочем, и произвольные вторичные состояния, не необходимы для конструирования механики и что, следовательно, система предположений может быть сокращена. Это понимание ведет, с одной стороны, к аксиоматической системе

Больцмана, который предполагал только силы, а именно центральные силы, а с другой - к аксиоматической системе Герца, который отрицал силы и считал достаточными только вторичные свойства, а именно фиксированные взаимосвязи. Эти две аксиоматические системы формируются на глубинном уровне аксиоматизации механики.

Сходный случай возникает, если представить как аксиому теорему о нулях дзета-функции Римана в теории простых чисел. Доказательство этой теоремы будет необходимым для движения к более глубинному уровню чисто арифметических аксиом, что будет лучшей гарантией сохранности важнейших следствий.

Специальный интерес для аксиоматического осмысления представляет вопрос о зависимости утверждений в области действия аксиомы непрерывности.

В теории действительных чисел показано, что аксиома измерения, так называемая аксиома Архимеда, независима от всех остальных аксиом арифметики. Как хорошо известно, этот факт существенно значим для геометрии, но мне представляется, что не меньший интерес он представляет и для физики, ибо ведет нас к следующему результату: к рассмотрению измерений и досягаемости небесных тел возможно подходить посредством соединения вместе земных досягаемостей, измерения небесных расстояний земными мерами, и в то же время можно расстояния внутри атомов выражать в терминах метрического измерения. Данное положение можно понять не только как логическое следствие утверждений о конгруэнтности треугольников и геометрических конфигураций, но и как результат реальной деятельности. Действительность аксиомы Архимеда в реальности в том смысле, в каком это было сейчас отмечено, нуждается в экспериментальном подтверждении точно так же, как утверждение о сумме углов треугольника в обычном смысле, в общем, я хотел бы сформулировать аксиому непрерывности в физике следующим образом: «Если данному физическому утверждению предписана некоторая произвольная степень точности, то затем может быть установлен малый диапазон, в пределах которого предположения, предшествующие исходному утверждению, могут свободно изменяться таким образом, что отклонения от утверждения не превысят предписанного уровня точности». Эта аксиома ценна лишь тем, что вытекает из самой сущности эксперимента; и она всегда принималась физиками, хотя никогда и не формулировалась ими прямо

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Геометрия

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства