Контент-платформа Pandia:     2 872 000 материалов , 128 197 пользователей.     Регистрация


Лекция 13. Винеровские процессы и лемма Ито

 просмотров

Лекция 13. Винеровские процессы и лемма Ито

Содержание

13.1. Марковское свойство ……………………………………………………………. 2

13.2. Стохастические процессы с непрерывным временем ………………………. 3

13.3. Процесс, описывающий изменение цены акции ……………………………... 8

13.4. Параметры ……………………………………………………………………… 13

13.5. Лемма Ито …………………………………………………………………………13

13.6. Свойство логонормальности …………………………………………………… 16

 

Ключевые понятия

Стохастический процесс

Непрерывные переменные

Дискретные переменные

Лемма Ито

Марковский процесс

Винеровский процесс

Броуновское движение

Скорость дрейфа (коэффициент сноса)

Дисперсия (коэффициент диффузии)

Обобщенный винеровский процесс

Стохастический процесс Ито

Геометрическое броуновское движение

Если значения переменной непредсказуемо изменяются во времени, говорят, что она подчиняются стохастическому процессу (stochastic process). Стохастический процесс с дискретным временем возникает, когда значения переменной только в фиксированные моменты времени. Стохастический процесс с непрерывным временем описывает поведение переменной, значения которой могут изменяться в любой момент. Кроме того, стохастические процессы образуют две категории: непрерывные переменные (continuous variable) и дискретные переменные (discrete variable). В первом случае переменная может принимать любое значение из определенного диапазона, а во втором – только дискретные значения.

В данной лекции рассматривается стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной, описывающей изменение цены акции. Чтобы научиться оценивать опционы и более сложные деривативы, необходимо хорошо понимать особенности этого процесса. На практике мы не можем интерпретировать изменение цены акции с помощью стохастического процесса с непрерывным временем и непрерывной переменной. Цена акции представляет собой дискретную величину (например, количество копеек), а ее изменения регистрируются только в момент открытия биржи. Несмотря на это стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной представляет собой весьма полезную модель.

Многие считают, что теория стохастических процессов с непрерывным временем настолько сложна, что освоить ее могут лишь избранные. Это не так. Наиболее сложным аспектом этой теории являются используемые обозначения. Однако поэтапный подход поможет преодолеть это препятствие. Кроме того, будет раскрыт смысл леммы Ито (Itos lemma) – центрального результата, на котором основана вся теория оценки деривативов.

13.1. Марковское свойство

 

Марковский процесс (Markov process) – это разновидность стохастического процесса, в котором будущее значение переменной зависит только от ее непосредственно предшествующего значения. Все остальные значения переменной игнорируются. Все остальные значения игнорируются. Как привило, считается цена акции описывается марковским процессом. Предположим, что в настоящий момент цена акции компании А равна $100[1]. Прогнозы будущих значений не являются точными и должны быть выражены в терминах распределения вероятностей. Марковское свойство означает, что распределение вероятностей цены акции в конкретный момент времени в будущем не зависит от пути, который эта цена прошла в прошлом.

Марковское свойство цены акции согласуются со слабой формой рыночной эффективности. Она утверждает, что текущая цена акции уже содержит в себе всю информацию о его предыдущих значениях. Если бы это условие не выполнялось, то интерпретируя графики прошлых лет, специалисты по техническому анализу извлекли бы доходы, превышающие средний уровень. Однако на самом деле у нас нет почти никаких оснований утверждать, что это происходит на самом деле.

Именно конкуренция, царящая на рынке, гарантирует выполнение слабого принципа рыночной эффективности. Цену акции внимательно отслеживают тысячи инвесторов. Любая попытка извлечь прибыли создает ситуацию, в которой цена акции, измеренная в любой момент времени, отражает информацию о его прошлых значениях. Предположим, что анализируя прошлые графики, инвесторы обнаружили конфигурацию, которая позволяет с вероятностью 65% предсказывать последующий рост цены акции. Следовательно, обнаружив такую конфигурацию, инвесторы поспешат покупать акции, и спрос на них немедленно возрастает. Это сразу повлечет за собой рост текущей цены акции, и наблюдаемый эффект, а с ним и возможность извлечь прибыль исчезнут.

13.2. Стохастические процессы с непрерывным временем

Рассмотрим переменную, подчиняющуюся марковскому стохастическому процессу. Предположим, что её текущее значение равно 10, а изменение течение года описывается функцией ø(0,1), где ø(μ,σ) – нормальное распределение вероятностей с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ. Какое распределение вероятностей описывает изменение этой переменной в течение двух лет?

Изменение переменной через два года описывается суммой двух нормальных распределений с нулевыми математическими ожиданиями и единичными стандартными отклонениями. Поскольку переменная является марковской, эти распределения не зависят друг от друга. Складывая два независимых нормальных распределения, мы получим нормальное распределение, математическое ожидание которого равно сумме математических ожиданий каждого из слагаемых, а дисперсия – сумме их дисперсий.[2]

Таким образом, математическое ожидание изменений рассматриваемой переменной на протяжении двух лет равно нулю, а дисперсия 2,0. Следовательно, изменение значения переменной через два года является случайной величиной с распределением вероятностей ø(0,

Рассмотрим далее изменение переменной за шесть месяцев. Дисперсия изменений этой переменной в течение одного года равна сумме дисперсий этих изменений на протяжении первых и вторых шести месяцев. Предположим, что эти дисперсии одинаковы. Тогда дисперсия изменений переменной на протяжении шести месяцев равна 0,5, а стандартное отклонение – Следовательно, распределение вероятностей изменения переменной на протяжении шести месяцев равно ø(0,

Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что изменение переменной на протяжении трех месяцев имеет распределение ø(0, Вообще говоря, изменение переменной на протяжении временного периода, имеющего длину Т, описывается распределением вероятностей ø(0, В частности, изменение переменной за очень короткий промежуток времени, имеющий длину ΔТ, описывается распределением вероятностей ø(0,

Квадратные корни этих выражений могут показаться странными. Они возникают из-за того, что при анализе марковского процесса дисперсии изменений переменной в последовательные моменты складываются, а стандартные отклонения – нет. В нашем примере дисперсия изменений переменной в течение одного года равна 1,0, поэтому дисперсия изменений этой переменной в течение двух лет равна 2,0, а через три года – 3,0. В то же время стандартные отклонения изменений переменных через два и три года равны и соответственно. Строго говоря, мы не должны говорить, что стандартное отклонение изменений переменной за один год равно 1,0 в год. Следует говорить, что оно равно «корню квадратному из единицы в год». Это объясняет, почему величину неопределенности часто считают пропорциональной квадратному корню из времени.

Винеровские процессы

Процесс, которому подчиняется рассмотренная выше переменная, называется винеровским (Wiener process). Он представляет собой частный случай марковского стохастического процесса, когда математическое ожидание изменений переменной равно нулю, а их дисперсия равна 1,0. Этот процесс широко используется в физике для описания движений частицы, участвующей в большом количестве столкновений с молекулами (это явление называется броуновским движением (Brownian motion)).

Говоря формально, переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет следующие свойства.

Свойство 1. Изменение Δz на протяжении малого промежутка времени Δt удостоверяет равенству:

(13.1)

где ε – случайная величина, подчиняющаяся стандартному нормальному распределению ø (0,1).

Свойство 2. Величины Δz на двух малых промежутках времени Δt являются независимыми.

Из первого свойства следует, что величина Δz имеет нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно а дисперсия равна Δt. Второе свойство означает, что величина z подчиняется марковскому процессу.

Рассмотрим увеличение переменной z на протяжении относительно долгого периода времени Т. Это изменение можно обозначить как z(T) – z(0). Его можно представить в виде суммы увеличения переменной z на протяжении N относительно малых промежутков времени, имеющих длину Δt. Здесь

Следовательно,

(13.2)

где εi, i = 1,2, … , N – случайные величины, имеющие распределение вероятностей ø(0,1). Из второго свойства виненровского процесса следует, что величины εi являются независимыми друг от друга. Из выражения (13.2) следует, что случайная величина z(T) – z(0) имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно нулю, дисперсия равна NΔt = T, а стандартное отклонение - Эти выводы согласуются с результатами, указанными выше.

Пример 13.1.

Предположим, что значение z случайной переменной, подчиняющейся винеровскому процессу, в первоначальный момент времени равно 25, а время измеряется годами. В конце первого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным 1,0. В конце пятого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным т. е. 2,236. Неопределенность значения переменной в определенный момент в будущем, измеренная его стандартным отклонением, возрастает как квадратный корень из длины прогнозируемого интервала.

В математическом анализе широко используется переход к пределу, когда величина изменений стремится к нулю. Например, при Δt → 0 величина Δx = aΔt превращается в величину dx = adt. При анализе стохастических процессов используются аналогичные обозначения. Например, при Δt → 0 описанный выше процесс Δz стремится к винеровскому процессу dz.

На рис. 13.1-3 показано, как изменяется траектория переменной z при Δt→0. Обратите внимание на то, что этот график является «зазубренным». Это объясняется тем, что, изменение переменной z за время Δt пропорционально величине а когда величина Δt становится малой, число намного больше, чем Δt. Благодаря этому, винеровский процесс обладает двумя интригующими свойствами.

1.  Ожидаемая длина траектории, которую проходит переменная z в течение любого промежутка времени, является бесконечной.

2.  Ожидаемое количество совпадений переменной z с любым конкретным значением на любом промежутке времени является бесконечным.

Обобщенный винеровский процесс

Скоростью дрейфа (drift rate), или коэффициентом сноса, стохастического процесса называется средняя величина изменения переменной величины за единицу времени, а дисперсией (variance rate), или коэффициентом диффузии – величина колебаний за единицу времени. Скорость дрейфа основного винеровского процесса dz, рассмотренного выше, равна нулю, а дисперсия равна 1,0. Нулевой дрейф означает, что ожидаемое значение переменной z в любой момент времени равно ее текущему значению. Единичная дисперсия означает, что дисперсия изменения переменной z на интервале времени Т равна его длине.

Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process) для переменной х можно определить через величину dz следующим образом.

(13.3)

где а и b – константы.

Чтобы понять смысл уравнения 13.3, полезно рассмотреть два слагаемых в правой части по отдельности. Слагаемое a dt означает, что ожидаемая скорость дрейфа переменной х равна а единиц в единицу времени. Без второго члена уравнение 13.3. превратится в уравнение

Откуда следует, что

Интегрируя это уравнение по времени, получаем

где х0 – значение переменной х в нулевой момент времени. Таким образом, за период времени Т переменная х увеличивается на величину at. Член bdz можно рассматривать как шум, или изменчивость траектории, которую проходит переменная х. Величина этого шума в b раз больше значения винеровского процесса.

Стандартное отклонение винеровского процесса равно 1,0. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины bdz равно b. На небольших промежутках времени Δt изменение Δх переменной х определяется уравнениями 13.1 и 13.3.

где ε, как и прежде, - случайная величина, имеющая стандартизированное нормальное распределение. Итак, величина Δх имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно aΔt, стандартное отклонение - , а дисперсия - Аналогичными рассуждениями можно показать, что изменение переменной х в течение произвольного интервала времени Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием аТ, стандартным отклонением и дисперсией Таким образом, ожидаемая скорость дрейфа обобщенного винеровского процесса (13.3), т. е. среднее изменение дрейфа за единицу времени, равна а, а дисперсия, т. е. дисперсия переменной за единицу времени - Этот процесс изображен на рис 13.4. проиллюстрируем сказанное следующим примером.

Пример 13.2.

Рассмотрим ситуацию, в которой доля активов компании, вложенных в краткосрочные денежные эквиваленты (cash position), измеренные тысячами долларов, подчиняется обобщенному винеровскому процессу со скоростью дрейфа, равной 20 тыс. долл. в год, и дисперсией, равной 900 тыс. долл. в год. В первый момент времени доля активов равна 50 тыс. долл. Через год эта доля активов будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 70 тыс. долларов, и стандартным отклонением, равным т. е. 30 долл. Через шесть месяцев она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 60 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным долл. Неопределенность, связанная с долей активов, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности, измеренная с помощью стандартного отклонения увеличивается как корень квадратный из длины прогнозируемого интервала. Обратите внимание на то, что эта доля активов может стать отрицательной (когда компания делает займы).

Процесс Ито

Стохастическим процессом Ито (Ito process) называется обобщенный винеровский процесс, в котором параметры а и b являются функциями, зависящими от переменной х и времени t. Процесс Ито можно выразить следующей формулой:

(13.4)

И ожидаемая скорость дрейфа, и дисперсия этого процесса со временем изменяются. За небольшой промежуток времени от t до Δt переменная изменяется от х до х + Δх, где

Это отношение содержит небольшую натяжку. Она связана с тем, что мы считаем дрейф и дисперсию переменной х постоянными величинами, которые на интервале времени от t до Δt равны и соответственно.

13.3. Процесс, описывающий изменение цены акции

 

В этом разделе обсуждается стохастический процесс, описывающий изменение цены бездивидендной акции.

На первый взгляд, естественно предположить, что цена акции описывается обобщенным винеровским процессом, т. е. имеет постоянную скорость ожидаемого дрейфа и постоянную дисперсию. Однако этот процесс не учитывает очень важные особенности цены акции. Дело в том, что ожидаемая инвестором доходность акций не зависит от ее цены. Если инвестор хочет получить ожидаемую доходность на уровне 14% годовых, а цена акции равна 10 долл., то при прочих равных условиях (ceteris paribus) он захочет получить эти 14% годовых и при цене акции, равной 50 долл.

Несомненно, гипотеза о неизменной скорости ожидаемого дрейфа не приемлема и должна быть заменена предположением, что постоянным является ожидаемая доходность (т. е. ожидаемый дрейф, деленный на цену акции). Если S – это цена акции в момент времени t, то ожидаемая скорость дрейфа должна быть равной μS, где μ – некая константа.

Это значит, что через короткий промежуток времени Δt ожидаемое значение, до которого поднимается цена акции, равно μSΔt. Параметр μ – это ожидаемый уровень доходности акции, выраженный в десятичном виде.

Если волатильность цены акции всегда равна нулю, из этой модели следует, что

Переходя к пределу при Δt → 0, получаем, что

т. е.

Интегрируя это равенство от нуля до Т, приходим к выводу, что

(13.5)

Из формулы (13.5) следует, что если дисперсия равна нулю, то цена акции за единицу времени увеличивается на величину процентной ставки μ.

Разумеется, на практике цена акции подвержена колебаниям. Резонно предположить, что изменчивость процентного дохода за короткий период времени Δt остается постоянной независимо от цены акции. Иначе говоря, инвестор не в состоянии точно предсказать доходность, какой бы ни была цена акции. Это значит, что стандартное отклонение изменений цены акции за короткий период времени Δt должно быть пропорциональным самой цене акции. Это приводит к следующей модели:

и

(13.6)

Формулы (13.6) наиболее широко используются для моделирования изменений цены акции. Переменная σ представляет собой волатильность цены, а μ – ожидаемая доходность. Модель (13.6) можно интерпретировать как предельный вариант случайного блуждания, представленного биноминальными деревьями, когда величина Δt стремится к нулю.

Пример 13.3

Проанализируем бездивидендную акцию. Допустим, что ее волатильность равна 30% годовых, а доходность – 15%. То есть μ = 0,15% и σ = 0,30. Процесс, описывающий цену акции, имеет следующий вид:

Если S – цена акции в конкретный момент времени, а ΔS – увеличение цены акции на протяжении короткого интервала времени, то:

где ε – случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение. Рассмотрим интервал времени, равный одной неделе, т. е. 0,0192 года, и предположим, что первоначальная цена акции равна 100 долл. Тогда Δt = 0,0192, S = 100 и

или

Отсюда следует, что цена возрастает величину, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0,288 долл., и стандартным отклонением, равным 4,16 долл.

Модель с дискретным временем

Модель цены акции, описанная в предыдущем разделе, называется геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion). Версия этой модели с дискретным временем имеет следующий вид.

(13.7)

или

(13.8)

Здесь переменная ΔS – это изменение цены акции S за небольшой период времени Δt, а ε – случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение (т. е. нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением). Параметр μ представляет собой ожидаемую доходность за единицу, а параметр σ – это волатильность цены акции. Оба эти параметра считаются постоянными.

Левая часть равенства (13.7) – это процентный доход, полученный благодаря акции за короткий период времени Δt. Слагаемое μΔt представляет собой ожидаемое значение этого процентного дохода, а - стохастическую компоненту процентного дохода. Дисперсия этой компоненты (а значит, и всего процентного дохода) равна Это соответствует определению волатильности σ, данному в разделе 10.7. Иначе говоря, параметр σ выбирается так, что представляет собой стандартное отклонение процентного дохода за короткий период времени Δt.

Из равенства (13.7) следует, что величина ΔS/S имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным μΔt, и стандартным отклонением, равным Иначе говоря,

ø (13.9)

Метод Монте-Карло

Моделирование стохастического процесса с помощью метода Монте-Карло – это процедура выбора случайных значений процесса. Мы применим ее для того, чтобы лучше разобраться в природе уравнения (13.6).

Допустим, что ожидаемая доходность акции равна 14% годовых, а стандартное отклонение доходности (т. е. волатильность) равно 20% годовых. Это значит, что μ = 0,14 и σ = 0,20. Предположим, что Δt = 0,01, т. е мы рассматриваем изменения цены акции на интервалах времени, длина которых равна 0,01 года или 3,65 дня. Из равенства (13.8) получаем, что

или

(13.10)

Траекторию цены акции можно смоделировать, повторно выбирая значения ε из генеральной совокупности чисел, имеющих распределение ø (0,1), и подставляя их в равенство (11.10). Формула = СЛЧИС ( ) в программе Excel возвращает случайное число из отрезка от до единицы. Значения функции, обратной к стандартному интегральному нормальному распределению, вычисляются с помощью функции НОРМАСТРАСП. Таким образом, чтобы сгенерировать случайную выборку, состоящую из значений, подлежащих генеральной совокупности чисел, имеющей стандартное нормальное распределение, необходимо выполнить формулу = НОРМСТРАСП (СЛЧИС ()). Конкретные результаты моделирования одной из возможных траекторий приведены в табл. 13.1.

Таблица 13.1. Моделирование цены акции при μ = 0,14 и σ = 0,20 на протяжении 0,01 года

Цена акции в начале расчетного периода

Случайное значение ε

Изменение цены акции за расчетный период

20,000

0,52

0,236

20,236

1,44

0,611

20,847

-0,86

-0,329

20,518

1,46

0,628

21,146

-0,69

-0,262

20,883

-0,74

-0,280

20,603

0,21

0,115

20,719

-1,10

-0,427

20,292

0,73

0,325

20,617

1,16

0,507

21,124

2,56

1,111

Первоначальная цена акции считается равной 20 долл. Для первого периода из генеральной совокупности чисел со стандартизованным нормальным распределением извлечено число ε = 0,52. Из формулы (13.10) следует, что изменение цены акции на протяжении первого периода равно

Следовательно, в начале следующего периода времени цена акции равна 20,847 долл. и т. д. Обратите внимание на то, что значение ε независимы друг от друга, поскольку мы моделируем марковский процесс[3].

В таблице 13.1 сделано предположение, что цена акции округляется до 0,001. Следует понимать, что в этой таблице продемонстрирован только один из многочисленных возможных вариантов изменения цены акции. Другие случайные выборки приведут к иным траекториям цены акции. Для моделирования можно использовать малый интервал времени при любом небольшом значении Δt. При Δt → 0 получаем идеальное описание стохастического процесса. Окончательная цена акции в таблице 13.1, равный 21,124, можно интерпретировать как случайную величину, извлеченную из генеральной совокупности цен акций, которые могут быть зафиксированы по истечении десяти расчетных интервалов времени (т. е. в конце одной десятой года). Повторяя вычисления, можно получить полное распределение вероятностей цены акции, которые могут быть зафиксированы в этот момент времени.

13.4. Параметры

 

Процесс, моделирующий цену акции, содержат два параметра: μ и σ. Параметр μ представляет собой непрерывно начисляемую доходность, полученную инвестором за год. Большинство инвесторов стремятся к более высокой доходности, что подвергает их более высокому риску, значение μ должно зависеть от величины риска[4]. Кроме того, этот параметр должен зависеть от уровня процентных ставок, установленных в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше доходность, ожидаемая инвестором от акции.

К счастью, параметр μ не обязательно анализировать слишком тщательно, поскольку стоимость производных ценных бумаг, зависящих от акции, как правило, не зависит от μ. Параметр σ, представляющий собой волатильность цены акции, наоборот, имеет очень большую важность для оценки большинства деривативов. Типичные значения параметра σ колеблется от 0,15 до 0,06 (т. е. от 15 до 60%).

Стандартное отклонение пропорционального изменения цены акции на небольшом промежутке времени Δt равно В первом приближении эта величина на относительно длительном промежутке времени Т равна Это значит, что волатильность можно интерпретировать как стандартное отклонение изменения цены акции за один год. Как известно, волатильность цены акции точно равна стандартному отклонению непрерывно начисляемой доходности акции на протяжении одного года.

13.5. Лемма Ито

 

Стоимость фондового опциона представляет собой функцию, зависящую от цены базовой акции и времени. Вообще говоря, стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей от стохастических переменных и времени. Таким образом, необходимо обратить внимание на некоторые свойства функций, зависящих от стохастических аргументов. Важный результат в этой области был получен математиком Киёси Ито (Kiyoshi Ito) в 1951 году. Он известен как лемма Ито[5].

(13.11)

где dz – винеровский процесс, а а и b – функции, зависящие от переменных x и t. Скорость дрейфа переменной x равна а, а дисперсия b2. Лемма Ито утверждает, что существует некая функция G, зависящая от переменных x и t и подчиняющаяся стохастическому процессу

(13.12)

Здесь dz – винеровский процесс из уравнения (13.11). Таким образом, функция G подчиняется процессу Ито. Её дрейф равен

а дисперсия –

Строгое доказательство Леммы Ито выходит за рамки нашего курса. В приложении 13.1 показано, что эту лемму можно интерпретировать как расширение известных результатов из дифференциального исчисления.

Ранее мы утверждали, что модель

(13.13)

где μ и σ – константы, хорошо описывает траекторию цены акции. Из леммы Ито следует, что функция G, зависящая от цены акции S и времени t, подчиняется стохастическому процессу

(13.14)

Обратите внимание на то, что значения S и G зависят от одного и того же источника неопределенности dz. Этот факт очень важен для доказательства результатов Блэка-Шоулза.

Применение к форвардным контрактам

Для иллюстрации леммы Ито рассмотрим форвардный контракт на бездивидендную акцию. Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и равна r для всех сроков погашения облигаций. Формула (5.1) утверждает, что

где F0 – форвардная цена в нулевой момент времени, S0 – цена спот в нулевой момент времени, а Т – срок действия контракта.

Нас интересует, что произойдет с форвардной ценой с течением времени. Пусть F и S – форвардная цена и цена акции в некий момент времени t соответственно (t < T). Величины F и S связаны между собой следующим соотношением

(13.15)

Предполагая, что процесс описывающий поведение переменной S, определяется уравнением (13.13), мы можем применить лемму Ито и определить процесс, описывающий поведение переменной F.

Из равенства (13.15) следует, что

Используя уравнение (13.14), получаем, что процесс, описывающий поведение переменной F, имеет следующий вид

Заменяя выражение переменной F, получим уравнение

(13.16)

Как и цена акции S, форвардная цена F подчиняется законами геометрического броуновского движения. Её скорость роста ожидаемой доходности равна μ – r , а не μ. Скорость роста функции F представляет собой дополнительную доходность за счет цены акции S при безрисковой процентной ставке.

13.6. Свойство логонормальности

 

Применим лемму Ито для вывода процесса, описывающего изменение величины ln S, когда S подчиняется процессу (13.13). Введем функцию

G = lnS.

Поскольку

из равенства (13.14) следует, что процесс описывающий поведение функции, G, имеет следующий вид.

Поскольку параметры μ и σ являются постоянными, из этого уравнения следует, что функция G = ln S подчиняется обобщенному винеровскому процессу. Он имеет постоянную скорость дрейфа и постоянную дисперсию Следовательно, изменение функции ln S на интервале времени от нуля до момента Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией Отсюда следует, что

~ ø (13.18)

То есть

ø (13.19)

где ST – цена акции в момент T, S0 – цена акции в нулевой момент, а ø(m,s) – нормальное распределение с математическим ожиданием m и стандартным отклонением s.

Уравнение (13.19) показывает, что функция lnST является нормально распределенной. Говорят, что переменная имеет логнормальное распределение, если ее натуральный логарифм имеет нормальное распределение. Итак, разработанная нами модель означает, что цена акции в момент Т имеет логонормальное распределение. Стандартное отклонение логарифма цены акции равно Как всегда, оно пропорционально квадратному корню из длины расчетного периода времени.

Выводы

Стохастические процессы описывают вероятностную эволюцию значений переменных во времени.

В марковском процессе для предсказания будущего значения переменной используется только ее текущее значение. В марковском процессе для предсказания будущего значения переменной используется только ее текущее значение. Вся предыдущая история переменной и ее траектория игнорируется.

Винеровский процесс dz описывает эволюцию нормально распределенной случайной величины. Дрейф этого процесса равен нулю, а дисперсия равна 1,0 за единицу времени. Это значит, что если в нулевой момент времени переменная имела значение х0, то в момент Т она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием х0 и стандартным отклонением

Обобщенный винеровский процесс описывает эволюцию нормально распределенной переменной. Его дрейф равен а за единицу времени, где а и b – константы. Это, как и прежде, означает, что если в нулевой момент времени переменная имела значение то в момент Т она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением

Процесс Ито – это стохастический процесс, у которого скорость дрейфа и дисперсия переменной х может зависеть от самой переменной х во времени. Изменение переменной х за очень короткий период времени хорошо аппроксимируется нормальным распределением, однако на более продолжительных интервалах времени отличается от нормального.

Чтобы понять сущность стохастического процесса, можно применить моделирование случайной переменной. Для этого анализируемый интервал времени необходимо разбить на большое количество маленьких расчетных интервалов и сгененировать случайные траектории. Это позволяет оценить будущее распределение вероятностей анализируемой переменной.

Лемма Ито позволяет вычислить стохастический процесс, зависящий от поведения функции, аргумент которой определяется стохастическим процессом, зависящего, в свою очередь, от самой переменной. Как будет показано в лекции 12, лемма Ито играет огромную роль в теории оценки производных ценных бумаг. Ключевым в этой лемме является факт, что винеровский процесс dz, лежащий в основе стохастического процесса, определяющего поведение переменной, точно совпадает с винеровским процессом, от которого зависит стохастический процесс, определяющий поведение функции.

Обычно считают, что цена акции хорошо описывается геометрическим броуновским движением. В этом случае процентный доход инвесторов, полученный от акции за короткий период времени, имеет нормальное распределение, а процентные доходы, полученные в течение разных и непересекающихся интервалов времени, не зависят друг от друга. Цена акции, прогнозируемая на будущий момент времени, имеет логонормальное распределение. Модель Блэка-Шоулза, описываемая в следующей лекции, основана на предположении, что цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения.

 

Литература: монографии

Адельмейер М. Опционы колл и пут. М. 2004. Балабушкин А.Н. Опционы и фьючерсы. М 1996. Буренин А. Н. Задачи с решениями по рынку ценных бумаг, срочному рынку и риск-менеджменту. М. 2006. Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. М. 1996. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М. 1998. Буренин А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М. 1995. Буренин А. Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. М. 2005. Вейсвеллер Р. Арбитраж. М. 1995. Галанов В. А. Производные инструменты срочного рынка. М. 2002. Де Ковни Ш., Таки К. Стратегия хеджирования. М. 1996. Ибрагимова Л. Ф. Рынки срочных сделок. М. 1999. Иванов К. Фьючерсы и опционы (механизм сделок). М. 1993. Финансовые деривативы. М. 1997. Криничанский К.В. Рынок ценных бумаг. М. 2007. Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. М. 2003. Михайлов Д.М. Современные долговые и финансовые производные инструменты мирового рынка ссудных капиталов. М. 1998. Рубцов Б.Б. Современные фондовые рынки. М. 2007. Салыч Г.Г. Опционные, фьючерсные и форвардные контракты: сверхприбыльные инвестиции в период инфляции. М. 1994. Сафронова Т. Ю. Биржевая торговля производными инструментами. М. 2000. Томсетт М. Торговля опционами. М. 2001. Фельдман А.Б. Основы рынка производных ценных бумаг. М. 1996. Фельдман А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты. М. 2003. Халл Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 6-е изд. М. 2007. Чесноков А.С. Инвестиционная стратегия, опционы и фьючерсы. М. 1993. Чикагская торговая палата. Коммерческая стратегия. М. 1993. , Александер Г. Дж. Бэйли Дж. В. Инвестиции. М. 1999. Шварц Ф. Биржевая деятельность Запада: фьючерсные и фондовые биржи, система работы и алгоритм анализа. М. 1992.

[1] Статистические свойства ретроспективных значений курса акций компании А не являются совершенно бесполезными. С их помощью можно определить характеристики стохастического процесса, описывающего изменения курса акций (например, его волатильности). Мы лишь хотим подчеркнуть, что для предсказания следующего курса акций используется не вся его история, а только последнее по времени значение.

[2] Дисперсия распределения вероятностей равна квадрату его стандартного отклонения. Следовательно, дисперсия изменений рассматриваемой переменной в течение года равна 1,0.

[3] На практике, как указано в разделе 17.6, удобнее генерировать выборку значений ln S, а не S.

[4] Точнее, величина μ зависит от той части риска, которую невозможно диверсифицировать.

[5] Ito K. On Stochastic Differential Equations //Memoirs. American Mathematical SocietyP. 1-51.



Мы в соцсетях:


Подпишитесь на рассылку:
Посмотрите по Вашей теме:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства