Республиканская математическая олимпиада «Юные дарования - 2011»





Новые авторы:


Новые материалы:
Вих. 25.10.2013 № 4-7512-2.12
Мирослава Максимушкинa (Подгурская)

Республиканская математическая олимпиада

«Юные дарования - 2011»

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 5 КЛАССА

Задача 1. У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно поставить свои часы. Как мне удалось это сделать?

Решение.

· Я завел свои часы и запомнил, сколько времени они показывают (например, 12.00). Придя к другу и уходя от него, я оба раза посмотрел на его часы (16.00 и 17.00), а поэто­му я знал, сколько времени я пробыл у него и во сколько от него ушел. Придя домой, я определил по своим часам, сколько времени я отсутство­вал (например, часы показывают 14.00, т. е. отсутствовал 2 часа), а вычтя из этого времени то время, которое пробыл у друга (1 час), опреде­лил, сколько времени я потратил на путь к нему и от него (2 -1=1 час). Разделив это время пополам (полчаса) и прибавив его к последнему показанию часов друга, я определил время прибытия к себе домой (17.00+0.30=17.30).

Задача 2. В этом примере пропущены два одинаковых числа:

(1155 - +8)×( :385+9). Какое число пропущено?

Решение.

· В первой скобке уменьшаемое не должно быть больше1155. Во второй скобке делимое не может быть меньше 385. Следовательно, cуществует три варианта пропущенных чисел: 385,780,1155.

Ответ: 385,780,1155

Задача 3. Изображенную на чертеже фигуру требуется разделить на шесть частей, проведя всего лишь две прямые.


Решение. Это можно сделать так:

Задача 4. Можно ли заменить несколько минусов на плюсы в равенстве =2011 так, чтобы оно стало верным?

Решение. При любом сочетании минусов и плюсов выражение 2012±1±2±3±4±5±6±7± 8=2003 будет четным, поэтому оно не может быть равно нечетному числу 2011.

Ответ: нельзя

1.  Задача 5. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решение. Для нумерации страниц с 1 по 9 понадобится 9 цифр, для страниц 10-99 требуется 90×2=180 цифр, тогда на страницы с трехзначными числами было использовано =1203. Следовательно, таких страниц 1203:3=4страница и еще 99 страниц, упомянутых выше, дают ответ 500 страниц.

Ответ: 500 страниц

Тщательно проверяйте правильность решения задач; имейте в виду, что приведённое нами решение пример — далеко не единственное!

Республиканская математическая олимпиада

«Юные дарования - 2011»

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 6 КЛАССА

Задача 1. У змея Горыныча 2000 голов. Сказочный богатырь одним ударом отрубает 1, 17, 21 или 33 головы, но при этом, соответственно, вырастают 10, 14, 0 или 48 голов. Если все головы отрублены, то новые не отрастают. Сможет ли богатырь победить змея?

Решение.

· Можно предложить такую тактику отрубания голов у Змея: 1) вначале будем отрубать по 21 голове 94 раза, т. е. отрубим 1974 головы, а 26 голов останется, новых при этом не вырастет; 2) далее отрубим 3 раза по 17 голов, с учетом того, что вырастает по 14 голов после каждого раза, получаем в итоге 17 голов; 3) отрубаем последним ударом 17 оставшихся голов.

Задача 2. Числа a и b – целые. Известно, что a+b=20014. Может ли сумма 7a+3b равняться 67999?

Решение. Так как a+b=20014, a и b – числа одинаковой четности. 1) a и b - четные, тогда 7a и 3b также четные и 7a+3b – четное и не может быть равно 679a и b - нечетные, тогда 7a и 3b также нечетные, но 7a+3b – четное и не может быть равно 67999. Следовательно, 7a+3b¹67999

Ответ: не может

Задача 3. В трех ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором – на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Решение. Если в первый ящик положить 6 орехов, то это будет столько, сколько во втором и третьем вместе. Если во второй ящик положить 10 орехов, то это столько, сколько в первом и третьем ящиках вместе. Из этих двух предложений следует, что, сложив орехи первого и второго ящиков плюс 16 орехов, получится то же самое количество орехов, что в первом, втором и двух третьих ящиках вместе. Тогда в третьем ящике 16:2=8 орехов.

Ответ: 8 орехов

Задача 4. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них было получено три ответа: 1) Андрей – первый, Борис – второй, 2) Андрей – второй, Геннадий – третий, 3) Вадим – второй, Геннадий – четвертый. В каждом из этих ответов часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?

Решение. Пусть Андрей занял I место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, т. е. Борис – не второй (но и не первый, т. к. первый - Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий - третий. Поэтому Борис не третий, а четвертый.

Итак, Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый.

Мог ли Андрей быть вторым? Нет, т. к. полностью был бы лжив первый ответ. Не мог Андрей быть и третьим, т. к. полностью был бы лжив второй ответ. Не мог он быть и четвертым, что следует из сопоставления 1, 2 и 3 ответов.



Ответ: Первый - Андрей, второй - Вадим, третий - Геннадий, четвертый – Борис

Задача 5. Игра-лотерея проводится следующим образом. Выбирается случайное число от 1 до 1000. Если оно делится на 2, платят один рубль, если делится на 10 – два рубля, на 12 – четыре рубля, на 20 – восемь, если же оно делится на несколько этих чисел, то платят сумму. Сколько можно выиграть (за один раз) в такой игре?

Решение. Составим таблицу выигрыша:

2

10

12

20

Выигрыш

-

-

-

-

0

+

-

-

-

1

+

+

-

-

3

+

-

+

-

5

+

+

-

+

11

+

+

+

+

15

Другого выигрыша быть не может.

Тщательно проверяйте правильность решения задач; имейте в виду, что приведённое нами решение — далеко не единственное!

Республиканская математическая олимпиада

«Юные дарования - 2011»

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 7 КЛАССА

Задача 1. Пусть запись a b обозначает наибольшее из чисел 2a и a+b. Решите уравнение .

Решение.

· За верный пример — 7 баллов. может означать либо 2х (если х³3), либо х+3 (если х3); может означать либо 10 (если х5), либо 5+х (если х³5). Поэтому уравнение выглядит так: 2х=10 (при 3х5) или х+3=10 (при х3) или 2х=5+х (при х³5), откуда х=5 (при 3х5) или х=7 (при х3) или х=5 (при х³5). Следовательно, х=5.

Ответ: х=5

Задача 2. Решите уравнение: x-(x-(x-…-(x-1)…))=1 (в записи содержится 2011) пар скобок).

Решение.

· За верный пример – 7 баллов. При раскрытии скобок, все слагаемые, содержащие х взаимно уничтожаются, поэтому получим уравнение 1=1, следовательно х – любое число.

Ответ: х – любое число

Задача 3. Из городов А и В навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 8 ч. Если бы скорость автомобиля, выехавшего из А, была больше на 14 %, а скорость автомобиля, выехавшего из В, была больше на 15 %, то встреча произошла бы через 7 ч. Скорость какого автомобиля больше и во сколько раз?

Решение. Пусть х (км/ч) скорость первого автомобиля, у (км/ч) скорость второго автомобиля. Тогда х+у (км/ч) скорость их сближения. По условию машины встретились через 8 часов, следовательно, расстояние между городами А и В равно 8×(х+у) км. По условию задачи если бы были увеличены скорости, то 1,14х (км/ч) скорость первого автомобиля, а 1,15у (км/ч) скорость второго автомобиля, тогда (1,14х+1,15у) (км/ч) стала скорость сближения, а 7×(1,14х+1,15у) км расстояние между городами. Расстояние между городами мы выразили дважды, приравняем: . Откуда раскрыв скобки и перенеся слагаемые, получим уравнение , т. е. . Значит скорость первого автомобиля больше скорости второго автомобиля в 2,5 раза.

Ответ: скорость первого больше в 2,5 раза

Задача 4. Если полторы курицы несут полтора яйца за полтора дня, то сколько кур плюс еще полкурицы, несущихся в полтора раза быстрее, снесут десяток яиц с половиной за полторы недели?

Решение. Полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, значит одна курица несет одно яйцо за полтора дня. Курица, несущаяся быстрее в полтора раза, сносит одно яйцо в день. Следовательно, за полторы недели одна эта курица снесет десять с половиной яиц. В задаче спрашивается сколько кур нужно добавить к половинке курицы, значит нужно добавить еще полкурицы, чтобы за полторы недели мы получили 10 с половиной яиц.

Ответ: полкурицы.

Задача 5. Нефтепровод проходит мимо трех деревень А, В, С. В первой деревне сливают 30% от первоначального количества нефти, во второй – 40% того количества, которое дойдет до деревни В, а в третьей – 50% того количества, которое дойдет до деревни С. Сколько процентов нефти от первоначального количества доходит до конца нефтепровода?

Решение. Обозначим за 1 исходное количество нефти. Тогда 30%=0,3 – количество нефти, сливаемое в А, 1-0,3=0,7 – количество нефти, идущее по нефтепроводу в деревне В. В деревне В сливают 40% , т. е. 0,7×0,4=0,28, остальное 0,7-0,28=0,42 идет в деревню С. В этой деревне сливают половину нефти, что составляет 0,21 и столько же отправляется дальше. Таким образом, до конца нефтепровода доходит 0,21=21% первоначального количества нефти.

Ответ: 21%

Тщательно проверяйте правильность примеров; имейте в виду, что приведённое нами решение — далеко не единственное!

Республиканская математическая олимпиада

«Юные дарования - 2011»

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 8 КЛАССА

Задача 1. Про два числа x и y известно следующее: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то . Найдите x и y.

Решение.

· Из третьего условия следует, что , т. е. х ³0 и одновременно , следовательно, . Тогда первое и третье условия выполняются вместе: в уравнение подставим , получаем уравнение . Решением этого уравнения является у=0, тогда х=1.

Ответ: х=1, у=0

Задача 2. Представьте число 2011 в виде дроби, числителем которой является девятая степень какого-то целого числа, а знаменателем – десятая.

Ответ.

2011=

Задача 3. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Достигнув берега, они сразу отправляются обратно. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение. Общее расстояние, которое они прошли к моменту первой встречи, равно ширине реки. Когда они встречаются во второй раз, суммарное расстояние равно утроенной ширине реки, что потребовало в 3 раза больше времени. К моменту первой встречи один из паромов прошел 720 м, тогда к моменту второй встречи 720×3=2160 м. Но это расстояние на 400 м превышает ширину реки. Следовательно, ширина реки 1760 м.

Ответ: 1760 м

Задача 4. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым ходом, взяв из второго ящика 30 шариков. Партнер обязательно нарушит полученное равенство, а мы опять его восстановим. Число шариков все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число шариков, доведет это равенство до 0 : 0, т. е. выиграет.

Ответ: нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков, и в дальнейшем каждый раз уравнивать их число

Задача 5. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой – целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось 13/23. Какая дробь была написана на доске?

Решение. Пусть х – числитель обыкновенной дроби, а у – ее знаменатель, т. е. на доске была записана дробь . Затем к знаменателю дроби прибавили числитель, получили новую дробь . К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получив . После этого, к знаменателю полученной дроби прибавили числитель, мы получили следующую дробь . Оказалось, что эта дробь равна . Перейдем к системе уравнений: . Из этой системы находим, что х=3, у=7. Значит, исходная дробь была равна .

Ответ:

Тщательно проверяйте правильность решения задач; имейте в виду, что приведённое нами решение — далеко не единственное!


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Проекты по теме списка:

Обсуждение


Комментировать: Войти / Создать аккаунт.





Pandia в социальных сетях