Когда не следует пользоваться шаблонными приемами вычислений

Математика      Постоянная ссылка | Все категории

Говоря об устном или полуустном счете, мы имеем в виду совсем не только вычисления, сводящиеся к выполнению арифметических действий над несколькими данными числами. Область применения устного счета значительно шире: она охватывает и выполняемые «в уме» различные преобразования, относимые обычно к алгебре. Нередко сложное числовое выражение, в котором, кажется, не обойтись без громоздких письменных вычислений, на самом деле быстро и легко вычисляется «в уме», если только находчиво использовать некоторые формулы и преобразования. Поясним сказанное несколькими примерами.

 

Как проще извлечь корень?

Пример 1 Найти катет прямоугольного треугольника, если другой катет равен 10,5 см, а гипотенуза —37,5 см. Как известно, длина искомого катета вычисляется по формуле . Сопоставим два возможных способа вычисления этого выражения. I  Всякое ли квадратное уравнение нужно решать по «Шаблонной формуле?»

Первый способ. Находим 37,52=1406,25; находим 10,52=110,25; вычитаем 1406,25-110,25 = 1296; находим = 36. Итак, потребовалось выполнить четыре операции, причем по крайней мере три из них, по-видимому, будут сделаны письменно.

Второй способ. Не приступая к непосредственному вычислению выражения , предварительно преобразуем его: Оказалось, что предварительное упрощение выражения позволило сразу получить окончательный результат, причем все указанные преобразования нетрудно выполнить устно.

 

 

Пример 2. Решим такое уравнение: 10×2-101x+10=0 Сопоставим опять два возможных способа решения. Первый способ. Поступим «по шаблону», т. е. немедленно используем формулу корней квадратного уравнения. Будем иметь: x1=10; x2=.

Второй способ. Замечаем, что в уравнении коэффициент при x2 и свободный член одинаковы; значит, произведение корней равно единице, т. е. корни уравнения — числа взаимно обратные. Но сумма этих двух взаимно обратных чисел равна . Теперь можно сразу назвать корни: один из них 10, другой . Нам удалось решить уравнение почти без вычислений; потребовалось лишь «увидеть» и использовать своеобразие коэффициентов этого уравнения.

Пример 3. Пусть потребовалось вычислить произведение . Если эти числа умножить последовательно в том порядке, как они написаны, то выполнить умножение, не прибегая к записи, будет трудно. Если же вспомнить и применить переместительное и сочетательное свойства произведения, то умножение будет выглядеть так:

 

Очевидно, такое вычисление совсем легко выполнить «в уме».

 

Пример 4. Найти корни уравнения х2—17x+52=0. Конечно, решить это уравнение по формуле корней квадратного уравнения нетрудно. Но если опять, не прибегая к каким-либо записям, вспомнить теорему Виета и искать такие два числа, сумма которых 17, а произведение 52, то после одной-двух проб «в уме» можно сразу уверенно назвать корни уравнения: Рассмотренные примеры показывают, как облегчается решение многих обычных задач, как резко упрощаются вычисления, если не поддаваться соблазну сразу, без раздумья воспользоваться привычным шаблоном, а пытливо искать, не допускает ли предложенная задача удобного решения «в уме». Что же нужно, чтобы такие попытки были успешны? Как научиться, не прибегая сразу к трафаретным приемам, находить там, где это возможно, такой подход к задаче, который обеспечивает наиболее «изящные» способы ее решения? Во-первых, конечно, необходимо сознательное и твердое знание основных формул и теорем. Во-вторых, нужна вдумчивость, умение видеть в обычной на первый взгляд задаче то числовое своеобразие, которое нередко заключено в ее условии. И, в-третьих, наконец, нужна настойчивость в поисках «остроумного» решения предложенной задачи, позволяющего быстро и просто получить нужный результат.

Математика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника